【数学】2018届一轮复习人教A版选修4－4　坐标系与参数方程学案 14页

‎　选修4－4　坐标系与参数方程 第1课时　坐 标 系(对应学生用书(理)200～202页)‎ 理解极坐标的概念．会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化．能运用极坐标解决相关问题．‎ ‎① 了解极坐标系.② 会正确将极坐标方程化为直角坐标方程.③ 会根据所给条件建立直线、圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题．‎ ‎1. (选修44P11例5改编)在直角坐标系中，点P的坐标为(－，－)，求点P的极坐标．‎ 解：ρ＝＝2，tan θ＝＝，又点P在第三象限，得θ＝π，即P(2，π)．‎ ‎2. (选修44P17习题9改编)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，求△AOB(其中O为极点)的面积．‎ 解：由题意A，B的极坐标分别为，，得△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.‎ ‎3. (2016·扬州中学质检)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin＝1的距离．‎ 解：圆的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的普通方程为x＋y－1＝0，‎ ‎∴ 圆心到直线的距离为d＝.‎ ‎4. (选修44P19例1改编)在极坐标系中，求过圆ρ＝－2sin θ的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程．‎ 解：由题意圆ρ＝－2sin θ，可化为ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心是(0，－1)，所求直角坐标方程为y＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.‎ ‎5. 在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值．‎ 解：把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，‎ 把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，‎ ‎∴ 圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝4，‎ ‎∴ 直线和圆相切，‎ ‎∴ 圆上的点到直线的最大距离是8.‎ ‎1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．‎ ‎2. 在极坐标系中，同一个点M的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2nπ)(n∈Z)．‎ ‎3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n＋1)π)(n∈Z)．‎ ‎4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．‎ ‎5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．‎ ‎6. 常见曲线的极坐标方程 ‎(1) 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)；‎ ‎(2) 过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a；‎ ‎(3) 过点，与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a；‎ ‎(4) 圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r；‎ ‎(5) 圆心为(a，0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ；‎ ‎(6) 圆心为，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.‎ ‎7. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是 和 ‎,　　　　　　　　　1　求极坐标或极坐标方程)‎ ‎,　　　　　1)　在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sin θ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．‎ 解：(解法1)以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.‎ 圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4y，‎ 即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0，2)．‎ A的直角坐标为(，)．‎ 直线AC的斜率kAC＝＝－1.‎ 所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，‎ 极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝2，‎ 即ρsin＝2.‎ ‎(解法2)在直线AC上任取一点M(ρ，θ)，不防设点M在线段AC上．‎ 由于圆心为C，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM，‎ 所以×2×2sin ＝×2×ρsin＋×ρ×2sin，即ρ(cos θ＋sin θ)＝2，‎ 化简，得直线AC的极坐标方程为ρsin＝2.‎ 在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．‎ 解：(解法1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1，0)，‎ 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x.‎ 因为圆C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，‎ 所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1，‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(解法2)设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(ρ，θ ‎)，则 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sin θ，‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎,　　　　　　　　　2　极坐标方程与直角坐标方程的互化)‎ ‎,　　　　　2)　(2017·南京期初调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的极坐标方程为ρsin＝m.若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．‎ 解：曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，‎ 即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆．‎ 直线l的极坐标方程是ρsin＝m，‎ 即ρcos θ＋ρsin θ＝m，‎ 化为直角坐标方程为x＋y－‎2m＝0.‎ 因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，‎ 所以＝1，解得m＝－或m＝.‎ 所以，所求实数m的值为－ 或 .‎ 变式训练 在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A和圆E的位置关系．‎ 解：点A的直角坐标为(2，－2)，‎ 圆E的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，‎ 则点A到圆心E的距离d＝＝4>r＝2，所以点A在圆E外．‎ ‎,　　　　　　　　　3　曲线的极坐标方程的应用)‎ ‎,　　　　　3)　在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎(1) 求a；‎ ‎(2) O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝，求OA＋OB的最大值．‎ 解：(1) 曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆；‎ l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1.‎ ‎(2) 不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则OA＋OB＝2cos θ＋2cos ‎＝3cos θ－sin θ＝2cos，‎ 当θ＝－时，OA＋OB取得最大值2.‎ 变式训练 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1) 求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2) 若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解：(1) 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的 极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2) 将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎1. (2017·苏北四市期中)已知曲线C的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．‎ 解：由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3.‎ 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x＋y－6＝0.‎ ‎2. 如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)的圆A的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C在极轴的上方，∠AOC＝.△OPQ是以OQ为斜边的等腰直角三角形，若C为OP的中点，求点Q的极坐标．‎ 解：点C的极角为.将点C代入极坐标方程ρ＝2cosθ，‎ 得点C的极坐标为.‎ 故点P的极坐标为，‎ 则点Q的极角为－＋2π＝，‎ 极径为ρ＝×2＝2，‎ 故点Q的极坐标为.‎ ‎3. (2016·苏北四市一模)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2－8ρsin＋13＝0.已知A，B，P为 圆C上一点，求△PAB面积的最小值．‎ 解：圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x－4y＋13＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝3.‎ 又A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB＝2.‎ P到直线AB距离的最小值为2－＝，‎ 所以△PAB面积的最小值为×2×＝.‎ ‎4. 自极点O任意作一条射线与直线ρcos θ＝3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM·OP＝12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．‎ 解：设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，‎ ‎∵ OM·OP＝12，∴ ρρ′＝12.‎ ‎∵ ρ′cos θ＝3，∴ ·cos θ＝3.‎ 则动点P的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎∵ 极点在此曲线上，‎ ‎∴ 方程两边可同时乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ.‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.‎ ‎1. (2016·南通密卷)在极坐标系中，过点P作曲线ρ＝2cos θ的切线l，求直线l的极坐标方程．‎ 解：曲线ρ＝2cos θ的普通方程为(x－1)2＋y2＝1, ‎ 点P的直角坐标为(1，1)，所以点P在圆上．‎ 因为圆心(1，0)．[来源:学科网]‎ 故过点P的切线为y＝1，‎ 所以所求的切线的极坐标方程为ρsin θ＝1.‎ ‎2. 已知极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4，直线l的方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(1) 将圆C、直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2) 求直线l截圆C所得的弦长．‎ 解：(1) 由ρ＝4，得＝4，‎ 即圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝16；‎ 由θ＝(ρ∈R)得tan θ＝tan ＝，‎ 即直线l的直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2) ∵ 直线l：y＝x过圆C：x2＋y2＝16的圆心，‎ ‎∴ 直线l截圆C所得的弦长即为圆C的直径，故所求弦长为8.‎ ‎3. (2016·江苏预测卷)已知极坐标系中的曲线ρcos2θ＝sin θ与曲线ρsin＝交于A，B两点，求线段AB的长．[来源:Zxxk.Com]‎ 解：曲线ρcos2θ＝sin θ化为x2＝y；‎ ρsin＝同样可化为x＋y＝2；‎ 联立方程组，解得A (1，1), B (－2，4), ‎ 所以AB＝＝3.‎ ‎4. (2017·扬州中学期初摸底)已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为(θ为参数)，以Ox轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点为圆心，且过点的圆．‎ ‎(1) 求圆M及圆N在平面直角坐标系xOy下的直角坐标方程；‎ ‎(2) 求圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值．‎ 解：(1) 圆M：＋＝4，‎ N对应直角坐标系下的点为，‎ 对应直角坐标系下的点为(0，2)，‎ ‎∴ 圆N：＋＝1.‎ ‎(2) 由(1)知在直角坐标系下，M，N，‎ ‎∴ PQmin＝MN－3＝4－3＝1.‎ ‎1. 极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎(1) 将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧．‎ ‎(2) 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及ρ＝，tanθ＝(x≠0)，同时要掌握必要的技巧，通常情况下，由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时又分三种情况：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.‎ ‎2. 求简单曲线的极坐标方程的方法 ‎(1) 设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解|OM|与θ的关系；‎ ‎(2) 先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．‎ ‎[备课札记]‎ 第2课时　参 数 方 程(对应学生用书(理)203～206页)‎ 理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义．‎ ‎① 会正确将参数方程化为普通方程.② 会根据给出的参数，依据条件建立参数方程．‎ ‎1. (选修44P45例1改编)已知直线l的参数方程为(t为参数)，求此直线的倾斜角以及在y轴上的截距．‎ 解：∵ ∴ y－2＝(x－1)．‎ 故此直线的斜率为，所以它的倾斜角为60°.‎ 令x＝0，得它在y轴上的截距为2－.‎ ‎2. (选修44P45例2改编)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值．‎ 解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4.‎ ‎3. (选修44P57第3题改编)选择适当的参数，将普通方程4x2＋y2－16x＋12＝0化为参数方程．‎ 解：由4x2＋y2－16x＋12＝0，得4(x－2)2＋y2＝4，选择参数θ，令y＝2sin θ，则x＝2＋cos θ，故所求曲线的参数方程是(答案不唯一)‎ ‎4. (2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝.若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：曲线C的普通方程为(x－)2＋y2＝4，表示以(，0)为圆心，2为半径的圆．直线l的直角坐标方程为y＝x.‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以线段AB的长为2＝‎ eq (13).‎ ‎5. (2016·镇江期末)已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．‎ 解：由ρsin＝3，可得ρ(sin θ－cos θ)＝3，‎ ‎∴ y－x＝6，即x－y＋6＝0.‎ 由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，‎ ‎∴ 圆心到直线l的距离d＝＝3.‎ ‎∴ P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.‎ ‎1. 参数方程是用第三个变量(即参数)分别表示曲线上任一点M的坐标x，y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y的一种间接关系．‎ ‎2. 参数方程是根据其固有的意义(物理、几何)得到的，要注意参数的取值范围．‎ ‎3. 一些常见曲线的参数方程 ‎(1) 过点P0(x0，y0)，且倾斜角是α的直线的参数方程为(l为参数). l是有向线段P0P的数量．‎ ‎(2) 圆方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是(θ为参数)．‎ ‎(3) 椭圆方程＋＝1(a>b>0)的参数方程是(θ为参数)．‎ ‎(4) 双曲线方程－＝1(a>0，b>0)的参数方程是 (t为参数)．‎ ‎(5) 抛物线方程y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)．‎ ‎4. 在参数方程与普通方程的互化中注意变量的取值范围．‎ ‎,　　　　　　　　　1　参数方程与普通方程的互化)‎ ‎,　　　　　1)　(2016·宿迁期中)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．　‎ 解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.‎ 直线l的方程化成普通方程为x－y＋1＝0.‎ 圆心到直线l的距离为d＝＝，‎ 所求弦长AB＝2＝.‎ 变式训练 ‎(2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：将直线的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1　①.[来源:Zxxk.Com]‎ 将曲线的参数方程化为普通方程，得 y＝1－2x2(－1≤x≤1)　②.‎ 由①②，得或 所以A(－1，－1)，B(0，1)，‎ 从而AB＝＝.‎ ‎(2016·南通、扬州、泰州、淮安二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：将直线的参数方程化为普通方程，得y＝2x＋1.　①‎ 将曲线的参数方程化为普通方程，得 y＝1－2x2(－1≤x≤1)．　②‎ 由①②，得或 所以A(－1，－1)，B(0，1)，‎ 从而AB＝＝.‎ ‎,　　　　　　　　　2　求曲线参数方程)‎ ‎,　　　　　2)　如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ 解：设P(x，y)，则随着θ取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2＋y2－x＝0，即＋y2＝，表示以为圆心，为半径的圆，可得弦OP＝1×cos θ，‎ 所以从而 eq lc{(avs4alco1(x＝cos2θ，,y＝cos θ·sin θ，))‎ 故已知圆的参数方程为(θ为参数)．‎ 已知直线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．‎ ‎(1) 当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2) 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ 解：(1) 当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，.‎ ‎(2) 依题意，C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，则A点的坐标为(sin2α，－sin αcos α)，‎ 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)，‎ 所以点P轨迹的普通方程为＋y2＝.‎ 故点P的轨迹是圆心为，半径为的圆．‎ ‎,　　　　　　　　　3　参数方程的应用)‎ ‎,　　　　　3)　(2016·苏州期中)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求‎2m＋n的取值范围．‎ 解：曲线C1：的直角坐标方程为y＝3－2x，与x轴交点为.‎ 曲线C2：的直角坐标方程为＋＝1，‎ 与x轴交点为(－a，0)，(a，0)，‎ 由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，‎ 所以a＝.‎ 所以‎2m＋n＝3sin θ＋3cos θ＝3sin，‎ 所以‎2m＋n的取值范围为[－3，3]．‎ ‎(2016·南通密卷)已知直线l：(t为参数)恒经过椭圆C：(φ为参数)的右焦点F.‎ ‎(1) 求m的值；‎ ‎(2) 设直线l与椭圆C交于A，B两点，求FA·FB的最大值与最小值．‎ 解：(1) 椭圆的参数方程化为普通方程，得＋＝1.‎ 因为a＝5，b＝3，c＝4，则点F的坐标为(4，0)．‎ 因为直线l经过点(m，0)，所以m＝4.‎ ‎(2) 将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：‎ ‎(9cos2α＋25sin2α)t2＋72tcos α－81＝0.‎ 设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则 FA·FB＝|t1t2|＝＝‎ eq f(81,9＋16sin2α).‎ 当sin α＝0时，FA·FB取最大值9；‎ 当sin α＝±1时，FA·FB取最小值.‎ ‎,　　　　　　　　　4　极坐标、参数方程的综合应用)‎ ‎,　　　　　4)　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l： ‎(t为参数)．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．设圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．‎ 解：直线l：(t为参数)化为普通方程为4x－3y＝0，圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆C的圆心到直线l的距离为d＝＝，所以AB＝2＝.‎ ‎(2016·常州监测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＋4＝0.求曲线C上的点到直线l的最大距离．‎ 解：将l转化为直角坐标方程为x＋y＋4＝0.‎ 在C上任取一点A(cos α，sin α)，α∈[0，2π)，则点A到直线l的距离为d＝＝＝.‎ 当α＝时，d取得最大值，最大值为2＋，此时A点为(，1)．‎ ‎1. (2016·徐州、连云港、宿迁三模)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C交点P的直角坐标．‎ 解：直线l的普通方程为y＝x　①，‎ 曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2，2])　②，‎ 联立①②解方程组得或 根据x的范围应舍去 故P点的直角坐标为(0，0)．‎ ‎2. (2016·南通密卷)已知点P(－1＋cos α，sin α)(其中α∈[0，2π))，点P的轨迹记为曲线C1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C2：ρ＝上．‎ ‎(1) 求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2) 当ρ≥0，0≤θ<2π时，求曲线C1与曲线C2的公共点的极坐标．‎ 解：(1) 曲线C1：(x＋1)2＋y2＝2，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－1＝0，‎ 曲线C2的直角坐标方程为y＝x－1.‎ ‎(2) 曲线C1与曲线C2的公共点的坐标为(0，－1)，极坐标为.‎ ‎3. ‎ ‎(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解：椭圆C的普通方程为x2＋＝1，将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得＋＝1，即7t2＋16t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－.‎ 所以AB＝|t1－t2|＝.‎ ‎4. 已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：y＝x和l2：y＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦、余弦，θ∈[0，π]．记＝＋，求动点M的轨迹的普通方程．‎ 解：设M(x，y)，则两式平方相加得x2＋y2＝2.‎ 又x＝sin，y＝sin，θ∈[0，π]，‎ 所以x∈[－1，]，y∈[－1，]．‎ 所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2(x，y∈[－1，])．‎ ‎1. 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．‎ 解：因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，所以直线l的普通方程为y＝x.[来源:Zxxk.Com]‎ 又曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为y＝x2(x∈[－2，2])，‎ 联立解方程组得x＝0，y＝0，或x＝2，y＝6(舍去)．‎ 故P点的直角坐标为(0，0)．‎ ‎2. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为(α为参数)．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－cos θ)＝1，直线l与圆M相交于A，B两点，求弦AB的长．　‎ 解：圆O：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋1＝0，‎ 圆心O到直线l的距离d＝＝，‎ 弦长AB＝2＝.‎ ‎3. (2016·南通密卷)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(s为参数)，直线l：(t为参数)．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．‎ 解：由消去s得曲线C的普通方程为y＝x2；‎ 由消去t得直线l的普通方程为y＝3x－2.‎ 联立直线l的方程与曲线C的方程，即 解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)．‎ 所以线段AB的长度为＝.‎ ‎4. (2016·保定一模)已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ(其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)．‎ ‎(1) 写出曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2) 若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P(4，2)，求|PM|＋|PN|的取值范围．‎ 解：(1) ∵ ρ＝4cos θ，∴ ρ2＝4ρcos θ，‎ ‎∴ 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x.‎ ‎(2) 直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，‎ ‎∴ ∴ sin α·cos α>0.‎ 又0≤α<π，∴ α∈，且t1<0，t2<0.‎ ‎∴ |PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4(sin α＋cos α)＝4sin.‎ 由α∈，得α＋∈，‎ ‎∴