数学理卷·2018届四川省成都市龙泉二中高三4月月考（2018 11页

成都龙泉二中2018届高三下学期4月月考试题 数 学（理工类）‎ ‎（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5.考试结束后，请将答题卡上交；‎ 第Ι卷（选择题部分，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数，，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限　　 B．第二象限    C．第三象限      D．第四象限 ‎3.已知函数f（x）=cos（2x+ϕ）满足f（x）≤f（1）对x∈R恒成立，则 A．函数f（x+1）一定是偶函数,     B．函数f（x-1）一定是偶函数 C．函数f（x+1）一定是奇函数,      D．函数f（x-1）一定是奇函数 ‎4. 下列结论正确的是 ‎ A．命题“如果，则”的否命题是“如果，则”；‎ B．命题，命题则为假;‎ C．“若则”的逆命题为真命题;‎ D. 若的展开式中第四项为常数项，则=‎ ‎5. 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，则该抽样方法为②，那么①和②分别为 A. ①系统抽样，②分层抽样 B. ①分层抽样，②系统抽样 C. ①系统抽样，②简单随机抽样 D. ①分层抽样，②简单随机抽样 ‎6.若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为 A． B． C． D． ‎ ‎7.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 A．的图象关于直线对称 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在单调递增 ‎8.设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎9．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（bmodm），例如10=2（bmod4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于 A．20 B．21 C．22 D．23‎ ‎10. 已知函数，则方程 的根的个数不可能为 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 ‎11．已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题“，且，”是命题：“，”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C． 充要条件 D．既不充分也必要条件 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 ‎13．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）﹣f（4）=　 ． ‎ ‎14.在中，，，点为外接圆的圆心，则 ．‎ ‎15.若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_______．‎ ‎16.设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=log2xn，则a1+a2+…+a15的值为　　 ．‎ 三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列的前项的和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项的和.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：‎ ‎(Ⅰ) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；‎ ‎(Ⅱ) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图（1），在等腰梯形中，是梯形的高，， , 现将梯形沿折起，使∥且，得一简单组合体如图（2）示，已知分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ 第19题图（2）‎ 第19题图（1）‎ A B E F D C ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，则求平面与平面所成的锐二面角大小. ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .‎ ‎（1） 证明: 为定值;‎ ‎（2） 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试 ‎ 判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上恒成立，求正整数的最小值．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求与交点的极坐标（，）‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．‎ 成都龙泉二中2018届高三下学期4月月试题 数学（理工类）参考答案 ‎1—5 BDADC 6—10 BDDCD 11—12 AB ‎13. ﹣1　 14. ‎ ‎15.180‎ ‎【解析】显然n＝10，其展开式通项为Tr＋1＝C()10－r＝(－2)rCx5－，令5－＝0，即r＝2，因此常数项为T＝(－2)2C＝180.‎ ‎16.﹣4‎ ‎17.解析：（1），，所以，‎ 得.‎ ‎（2），所以，‎ 所以.‎ 错位相减得，‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎18.【解析】(Ⅰ)由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73－k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.6分 ‎(Ⅱ)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品“为事件A2”，恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3而P(A1)＝＝，P(A2)＝P ‎(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，‎ 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.12分 ‎19. （Ⅰ）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，‎ ‎∴为中点. ‎ 在中，为中点，故.‎ ‎∵平面，平面，平面. ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）依题意知 且 ‎∴平面，在面上的射影是.‎ 就是与平面所成的角.‎ 故在中 ‎ ‎.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设且，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系 则 ‎ 设分别是平面与平面的法向量 令，‎ 即 取 则．．．．．．．．．10分 平面与平面所成锐二面角的大小为.．．．．．12分 ‎20.解：(1) 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.‎ ‎ 因为点和在抛物线上, 所以,.‎ ‎ 所以直线的方程为. ……………………………1分 ‎ 因为点在直线上,‎ ‎ 所以,即. …………………………2分 ‎ 同理, . ………………………………………3分 ‎ 所以是方程的两个根.‎ ‎ 所以. ………………………………………4分 ‎ 又, ………………………………………5分 ‎ 所以为定值. ………………………………………6分 法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ……………1分 由消去得,‎ 由, 化简得. …………………………2分 所以. ………………………………………………………………3分 由,得,所以.‎ ‎ 所以直线的斜率为,直线的斜率为. ‎ ‎ 所以, 即. ………………………………………4分 ‎ 又, ………………………………………5分 ‎ 所以为定值. ………………………………………6分 ‎(2) 直线的垂直平分线方程为, ……………7分 ‎ 由于,,‎ ‎ 所以直线的垂直平分线方程为. ① …………8分 ‎ 同理直线的垂直平分线方程为. ② …………9分 ‎ 由①②解得, ,‎ ‎ 所以点. …………………………………………………10分 ‎ 抛物线的焦点为 则 ‎ 由于，…………………………………………………11分 ‎ 所以 ‎ 所以以为直径的圆恒过点 ………………………………………………12分 另法: 以为直径的圆的方程为 …11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.‎ 所以以为直径的圆恒过点 ………………………………………………12分 ‎21．解：（1）函数的定义域为，‎ 由于在上是减函数，‎ 所以当时，；当时，.‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）由在上恒成立，‎ 整理得：在上恒成立即可.‎ 令，‎ 当时，，以及在上，‎ 得在上恒成立，‎ 由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 所以有，即恒成立，‎ 所以正整数k的最小值为1． ‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 则曲线的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程，曲线的极坐标方程为，联立得，又，则或，‎ 当时，；当时，，所以交点坐标为，．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎23.【解析】（Ⅰ）由得，, ‎∴,即,∴,∴. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知,令, ‎ 则，∴的最小值为，‎ ‎∴实数的取值范围是. ‎