2018届二轮复习空间中的垂直关系课件（全国通用） 11页

第八章 立体几何 1 . 线面垂直的判定定理 : 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 , 则该直线与此平面垂直 . 数学符号表示 : 2 . 线面垂直的性质定理 : 一条直线如果垂直于一个平面 , 则该直线垂直于平面内的任意直线 . 数学符号表示 : 第 6 节　空间中的垂直关系 3 . 面面垂直的判定定理 : 一个平面过另一个平面的垂线 , 则这两个平面垂直 . 数学符号表示 : 4 . 面面垂直的性质定理 : 两个平面垂直 , 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 . 数学符号表示 : 【 例 1】 　 (2015 福建 ) 如图 , AB 是圆 O 的直径 , 点 C 是圆 O 上异于 A , B 的点 , PO 垂直于圆 O 所在的平面 , 若 D 为线段 AC 的中点 , 求证 : AC ⊥ 平面 PDO. 【 证明 】 　因为 O 为圆心 ,∴ OA=OC , ∵ D 为线段 AC 的中点 ,∴ OD ⊥ AC , ∵ PO 垂直于圆 O 所在的平面 ,∴ AC ⊥ PO , ∵ OD ∩ PO=O ,∴ AC ⊥ 平面 PDO. 【 例 2】 　 (2010 全国新课标 (Ⅱ)) 如图 , 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形 , AC ⊥ BD , 垂足为 H , PH 是四棱锥的高 . 证明 : 平面 PAC ⊥ 平面 PBD. 【 证明 】 　∵ PH 是四棱锥 P-ABCD 的高 . ∴ AC ⊥ PH , 又∵ AC ⊥ BD , PH ⊂ 面 PHD , BD ⊂ 面 PHD , 且 PH ∩ BD=H. ∴ AC ⊥ 平面 PBD. ∵ AC ⊂ 平面 PAC. ∴ 平面 PAC ⊥ 平面 PBD. 1 . (2015 汕头 ) 正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ⊥ 平面 CDE. 求证 : AB ⊥ 平面 ADE. 【 证明 】 　∵ AE ⊥ 平面 CDE , CD ⊂ 平面 CDE , ∴ AE ⊥ CD. 在正方形 ABCD 中 , CD ⊥ AD ,∵ AD ∩ AE=A , ∴ CD ⊥ 平面 ADE. ∵ AB ∥ CD ,∴ AB ⊥ 平面 ADE. 2 . (2014 北京高考文科 ) 如图 , 在三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 , 侧棱垂直于底面 , AB ⊥ BC , E 为 A 1 C 1 的中点 . 求证 : 平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 【 证明 】 　∵三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 侧棱垂直于底面 ,∴ AB ⊥ BB 1 ,∵ AB ⊥ BC , BC ∩ BB 1 =B ,∴ AB ⊥ 平面 BB 1 C 1 C. ∵ AB ⊂ 平面 ABE ,∴ 平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 3 . (2015 江苏 ) 如图 , 在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 , 已知 AC ⊥ BC , BC = CC 1 , B 1 C ∩ BC 1 = E. 求证 : BC 1 ⊥ AB 1 . 【 证明 】 　在直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 有 : AC ⊥ CC 1 已知 AC ⊥ BC ,∵ BC ∩ CC 1 =C ,∴ AC ⊥ 平面 BB 1 C 1 C. ∵ BC 1 ⊂ 平面 BB 1 C 1 C ,∴ AC ⊥ BC 1 . 又∵ BC=CC 1 , 直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的侧棱 CC 1 ⊥ BC , ∴ BB 1 C 1 C 为正方形 . ∴ BC 1 ⊥ B 1 C , 所以由 BC 1 ⊥ B 1 C , BC 1 ⊥ AC , AC ∩ B 1 C=C , 得 BC 1 ⊥ 平面 AB 1 C ,∵ AB 1 ⊂ 平面 AB 1 C ,∴ BC 1 ⊥ AB 1 . 　 4 . (2015 湖南文科 ) 如图 , 直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 的底面是边长为 2 的正三角形 , E , F 分别是 BC , CC 1 的中点 . 证明 : 平面 AEF ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ; 【 证明 】 　∵△ ABC 为正三角形 , E 为 BC 中点 ,∴ AE ⊥ BC , 又∵三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 为直三棱柱 ,∴ CC 1 ⊥ 平面 ABC , 而 AE ⊂ 平面 ABC ,∴ AE ⊥ CC 1 , 而 CC 1 ∩ BC=C ,∴ AE ⊥ 面 CC 1 B 1 B. ∵ AE ⊂ 平面 AEF ,∴ 平面 AEF ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 5 . (2015 桂城中学七校联考 ) 如图 , 在三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 , 各个侧面均是边长为 2 的正方形 , D 为线段 AC 的中点 . (1) 求证 : 直线 BD ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ; (2) 求证 : 直线 AB 1 ∥ 平面 BC 1 D. 【 证明 】 　 (1)∵ 三棱柱的侧面是正方形 , ∴ CC 1 ⊥ BC , CC 1 ⊥ AC , BC ∩ AC=C. ∴ CC 1 ⊥ 底面 ABC. ∵ BD ⊂ 底面 ABC ,∴ CC 1 ⊥ BD. 由已知可得 , 底面 ABC 为正三角形 . ∵ D 是 AC 中点 ,∴ BD ⊥ AC. ∵ AC ∩ CC 1 =C ,∴ BD ⊥ 平面 ACC 1 A 1 . (2) 如图 , 连接 B 1 C 交 BC 1 于点 O , 连接 OD. 显然点 O 为 B 1 C 的中点 . 又 D 是 AC 中点 ,∴ AB 1 ∥ OD. 又∵ OD ⊂ 平面 BC 1 D , AB 1 ⊄ 平面 BC 1 D ,∴ 直线 AB 1 ∥ 平面 BC 1 D. 　　图 (1) 　　 　　 图 (2) 6 . (2015 陕西文科 ) 如图 (1), 在直角梯形 ABCD 中 , AD ∥ BC , ∠ BAD = , AB = BC = AD = a , E 是 AD 的中点 , O 是 AC 与 BE 的交点 , 将△ ABE 沿 BE 折起到图 (2) 中△ A 1 BE 的位置 , 得到四棱锥 A 1 — BCDE. 证明 : CD ⊥ 平面 A 1 OC. 【 证明 】 　在图 (1) 中 ,∵ AB=BC= AD=a , E 是 AD 的中点 ,∠ BAD= , ∴ ABCE 为正方形 ,∴ BE ⊥ AC. 在图 (2) 中 BE ⊥ A 1 O , BE ⊥ OC , A 1 O ∩ OC=O ,∴ BE ⊥ 平面 A 1 OC , 又∵ DE ∥ BC , DE=BC ,∴ BCDE 为平行四边形 , BE ∥ CD. ∴ CD ⊥ 平面 A 1 OC.