数学理卷·2018届陕西省咸阳市高三第二次模拟考试（2018 13页

‎2018年咸阳市高考模拟考试试题（二）‎ 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数（为虚数单位，）是纯虚数，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎6.双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）‎ A．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D．甲是工人，乙是农民，丙是军人 ‎9.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知实数，满足，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数图象上相邻两个最高点的距离为，是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.‎ ‎13.计算定积分 ．‎ ‎14.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是 ．‎ ‎15.的展开式中的系数为 （用数字作答）．‎ ‎16.具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角大小为，已知在内的曲线的方程是，曲线在平面内射影的方程，则的值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在圆内接四边形中，，，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，是上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：‎ 支持 保留 不支持 岁以下 岁以上（含岁）‎ ‎（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；‎ ‎（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人看成一个总体，从这人中任意选取人，求岁以下人数的分布列和期望；‎ ‎（3）在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过概率.‎ ‎20.已知，，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2） 若函数有两个零点，，且，证明：.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程是：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设过原点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）设，且，求证：.‎ ‎2018年咸阳市高考模拟考试试题（二）‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5: DBDDB 6-10: ABABC 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）在中，由余弦定理得 ‎，‎ 解得，‎ 注意到，‎ 可得.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得 ‎，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴.‎ 即面积的最大值为.‎ 法2：如图，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，易得，作上的高，‎ 在中，由，，得，‎ 可得，‎ 综上知，即面积的最大值为.‎ ‎18.（1）证明：连接，由平面，平面得，‎ 又，，‎ ‎∴平面，得，‎ 又，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，‎ 不妨设，则，，，‎ 在中，由射影定理得，‎ 可得，所以，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ 法2：取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，不妨设，则，，，‎ 由（1）知平面得法向量，而，‎ ‎∴.‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ 法3：设，，，，‎ ‎，‎ 则，‎ 由（1）知平面得法向量，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎∴.‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.解：（1）参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了人，所以.‎ ‎（2）在持“不支持”态度的人中，岁以下及岁以上人数之比为，因此抽取的人中，岁以下与岁以上人数分别为人，人，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎（3）总体的平均数为，‎ 那么与总体平均数之差的绝对值超过的数有，，，所以任取个数与总体平均数之差的绝对值超过的概率为.‎ ‎20.解：（1）设，则依题意得，又，，所以有 ‎，‎ 整理得，即为所求轨迹方程.‎ ‎（2）法1：设直线：，与联立得 ‎，即，‎ 依题意，即，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴，而，得，又，‎ 设为以为直线的圆上一点，则由，‎ 得，‎ 整理得，‎ 由的任意性得且，解得，‎ 综上知，以为直径的圆过轴上一定点.‎ 法2：设，则曲线在点处切线：，令，得 ‎，设，则由得 ‎，即，‎ 由的任意性得且，解得，‎ 综上知，以为直径的圆过轴上一定点.‎ ‎21.解：（1），，‎ 当时，，知在上是递减的；‎ 当时，，知在上是递减的，在上递增的.‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 依题意，即，‎ 由得，，，，‎ 由及得，，即，‎ 欲证，只要，‎ 注意到在上是递减的，且，‎ 只要证明即可，‎ 由得，‎ 所以 ‎，，‎ 令，，‎ 则，知在上是递增的，于是，即，‎ 综上，.‎ ‎22.解：（1）曲线：，即，‎ 将，代入得 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）法1：由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，‎ 如图，在中，易得，可知 直线的斜率为.‎ 法2：设直线：（为参数），代入中得，‎ 整理得，‎ 由得，即，‎ 解得，从而得直线的斜率为.‎ 法3：设直线：，代入中得 ‎，即，‎ 由得，即，‎ 解得直线的斜率为.‎ 法4：设直线：，则圆心到直线的距离为，‎ 由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，‎ 所以，解得直线的斜率为.‎ ‎23.解：（1）法1：由知，即.‎ 法2：由三角不等式得，即.‎ 法3：由绝对值不等式的几何意义知，即.‎ ‎（2）法1：∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当，即，，时取等号，‎ 即.‎ 法2：∵，‎ ‎∴由柯西不等式得，‎ 整理得，‎ 当且仅当，即，，时取等号.‎