高中数学选修2-2教案第五章 2_1 9页

‎2．1　复数的加法与减法 明目标、知重点 ‎1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．‎ ‎2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．‎ ‎1．复数加法与减法的运算法则 ‎(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.‎ ‎(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，‎ ‎(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎2．复数加减法的几何意义 如图：设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.‎ ‎[情境导学]‎ 我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么 复数加法的几何意义是什么呢？‎ 探究点一　复数加减法的运算 思考1　我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？‎ 答　仍然是个复数，且是一个确定的复数；‎ 思考2　复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．‎ 答　实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．‎ ‎(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.‎ 思考3　实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．‎ 答　满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.‎ 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ 证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，‎ 显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ 例1　计算：‎ ‎(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；‎ ‎(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．‎ 解　(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.‎ ‎(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)‎ ‎＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.‎ 反思与感悟　复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．‎ 跟踪训练1　计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；‎ ‎(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．‎ 解　(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.‎ ‎(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.‎ 探究点二　复数加减法的几何意义 思考1　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？‎ 答　如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的几何意义＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．‎ 思考2　怎样作出与复数z1－z2对应的向量？‎ 答　z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.‎ 例2　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：‎ ‎(1)表示的复数；‎ ‎(2)表示的复数；‎ ‎(3)表示的复数．‎ 解　(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2)因为＝－，所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3)因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.‎ 反思与感悟　复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．‎ 跟踪训练2　复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．‎ 解　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．‎ 则＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，‎ ＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.‎ ‎∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.‎ ‎∴，解得，‎ 故点D对应的复数为2－i.‎ 探究点三　复数加减法的综合应用 例3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.‎ 解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，‎ ‎∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，‎ ‎∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①‎ ‎(a－c)2＋(b－d)2＝1，②‎ 由①②得2ac＋2bd＝1，‎ ‎∴|z1＋z2|＝ ‎＝＝.‎ 方法二　设O为坐标原点，‎ z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.‎ ‎∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，‎ ‎∴△OAB是边长为1的正三角形，‎ ‎∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，‎ 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，‎ ‎∴|z1＋z2|＝||‎ ‎＝＝.‎ 反思与感悟　(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．‎ ‎(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．‎ 跟踪训练3　若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．‎ 解　设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图．‎ ‎∵|z＋i|＋|z－i|＝2，Z1Z2＝2，‎ ‎∴点Z的集合为线段Z1Z2.‎ 问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值．‎ 连接Z3Z1，Z3Z1⊥Z1Z2，则Z3与Z1的距离即为所求的最小值，Z1Z3＝1.‎ 故|z＋i＋1|的最小值为1.‎ ‎1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)‎ A．0 B.＋i C.－i D.－i 答案　C 解析　z1＋z2＝(2＋)－(＋2)i＝－i.‎ ‎2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 答案　B 解析　z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.‎ ‎3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　)‎ A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋2i 答案　C 解析　＝－＝－(＋)＝4－4i.‎ ‎4．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)‎ A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 答案　B 解析　∵|z－1|＝|z＋1|，‎ ‎∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上即虚轴上．‎ ‎5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴，解得a＝－1.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．‎ ‎2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．‎ 一、基础过关 ‎1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　)‎ A．0 B．2i C．6 D．6－2i 答案　D 解析　z＝3－i－(i－3)＝6－2i.‎ ‎2．复数i＋i2在复平面内表示的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限．‎ ‎3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于(　　)‎ A．2 B．2＋2i C．4＋2i D．4－2i 答案　C ‎4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)‎ A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 答案　D 解析　由得，∴a＋bi＝－2－i.‎ ‎5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.‎ 答案　3i 解析　设z＝a＋bi(a、b∈R)，‎ 则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，‎ ‎∴a＝0，b＋3≠0，又|b|＝3，∴b＝3，z＝3i.‎ ‎6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)＝__________.‎ 答案　－1 005＋1 005i 解析　原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ‎＝－1 005＋1 005i.‎ ‎7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；‎ ‎(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)；‎ ‎(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.‎ 解　(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)‎ ‎＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i ‎＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.‎ ‎(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)‎ ‎＝＋i＋2－i－＋i ‎＝(＋2－)＋(－1＋)i＝1＋i.‎ ‎(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，‎ z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.‎ 二、能力提升 ‎8．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．‎ 答案　＋i 解析　设这个复数为x＋yi(x，y∈R)‎ ‎∴x＋yi＋＝5＋i，‎ ‎∴，∴，∴x＋yi＝＋i.‎ ‎9．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________.‎ 答案　4＋i 解析　两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i.‎ ‎10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，则m的取值范围是________________________．‎ 答案　m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)‎ 解析　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，‎ ‎∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ‎＝＋(m2－2m－15)i.‎ ‎∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，‎ 解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．‎ ‎11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．‎ 解　∵＝－，‎ ‎∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，‎ 设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，‎ ‎∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，‎ 故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．‎ ‎12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．‎ 解　方法一　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，‎ 则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．‎ ‎∴AC中点为，BD中点为.‎ ‎∵平行四边形对角线互相平分，‎ ‎∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.‎ 方法二　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．‎ 则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)‎ ‎＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，∵＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.‎ ‎∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.‎ 三、探究与拓展 ‎13．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.‎ ‎(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；‎ ‎(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．‎ 解　(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示．‎ ‎(2)圆的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1.‎ 解得 A(，)，B(，－)．‎ ‎∴OA＝，OB＝.‎ ‎∵点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<.‎ ‎∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.‎