2012福州3月份质检理数试卷 11页

‎2012年福州市高中毕业班质量检查 数学（理科）试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）‎ ‎1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. D 9. B 10. C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）‎ ‎11． 12. 13. 14. ①②③ 15. 3、6、3‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．)‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，所以 又，‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 3分 所以． 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以 7分 所以, 10分 所以 ‎. 13分 ‎17．(本小题满分13分) ‎ 解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 1分 ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎， 6分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 7分 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则 8分 ‎， 9分 ‎， 11分 的期望值.‎ 答：的期望值等于. 13分 ‎18．(本小题满分13分) ‎ 解：（Ⅰ）依题意，得． 1分 ‎∵，，∴． 3分 ‎∴椭圆的标准方程为． 4分 ‎（Ⅱ）（法一）‎ 证明：设，，‎ 则，且．‎ ‎∵为线段中点， ∴． 5分 又，∴直线的方程为．‎ 令，得． 8分 又，为线段的中点，∴． 9分 ‎∴． 10分 ‎∴‎ ‎=． 12分 ‎∴． 13分 ‎（法二）同（法一）得： ，． 9分 当时，，‎ 此时，‎ ‎∴，不存在，∴．‎ ‎ 10分 当时，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴ 12分 综上得． 13分 ‎19．(本小题满分14分) ‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎∵　菱形的对角线互相垂直，‎ ‎∴，∴， 1分 ‎∵ ，∴． ‎ ‎∵　平面⊥平面，平面平面，‎ 且平面，‎ ‎∴　平面, 2分 ‎∵ 平面，‎ ‎∴　. 3分 ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴　平面. 4分 ‎（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 5分 ‎（ⅰ）设 ‎ 因为，所以为等边三角形，‎ 故，.‎ 又设，则，.‎ 所以，，，‎ 故 ， 6分 所以，‎ 当时，. 此时， 7分 由（Ⅰ）知，平面 所以. 8分 ‎（ⅱ）设点的坐标为，‎ 由（i）知，，则，，，.‎ 所以，， 9分 ‎∵，　‎ ‎∴． ‎ ‎∴，‎ ‎∴． 10分 设平面的法向量为，则．‎ ‎∵，，∴　，‎ 取，解得：， 所以. 11分 设直线与平面所成的角， ‎ ‎∴‎ ‎． 12分 又∵∴． 13分 ‎∵，∴．‎ 因此直线与平面所成的角大于，即结论成立． 14分 ‎20.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知可得为等边三角形.‎ 因为，所以水下电缆的最短线路为.‎ 过作于E，可知地下电缆的最短线路为、. 3分 又，‎ 故该方案的总费用为 ‎ ‎ ‎ ‎（万元） …………6分 ‎（Ⅱ）因为 所以. 7分 则， 9分 令则 ， 10分 因为，所以，‎ 记 当，即≤时，‎ 当，即<≤时， ，‎ 所以，从而， 12分 此时，‎ 因此施工总费用的最小值为（）万元，其中. 13分 ‎21．（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换 解：方程组可写为， 2分 系数行列式为，方程组有唯一解. ‎ 利用矩阵求逆公式得， 5分 因此原方程组的解为，即 ‎ ‎ 7分 ‎（2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程 解：∵直线的极坐标方程为，‎ ‎ ∴直线的直角坐标方程为， 2分 又圆的普通方程为， ‎ 所以圆心为，半径为. 4分 因为圆心到直线的距离， 6分 又因为直线与圆相切，所以. 7分 ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 ‎（法一）解：∵ ，，，,‎ ‎∴ . 5分 当且仅当时，取得最大值． 7分 ‎（法二）解：∵，， ‎ ‎∴ ‎ ‎ 3分 ‎∵ ,‎ ‎∴，当且仅当时等号成立， 6分 ‎∴的最大值为． 7分