专题13 选讲部分（第02期）-备战2018高考高三数学（理）全国各地优质模拟试卷分项精品 26页

‎【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】‎ 专题 选讲部分 一、解答题 ‎1．【2018河北衡水联考】在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于， 两点，求点到， 两点的距离之积．‎ ‎【答案】（1）， ；（2）1‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线： 中，化简，得，‎ 设， 两点所对应的参数分别为， ，则，所以．‎ ‎2．【2018广西贺州桂梧高中联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点是曲线在极坐标系中的任意一点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：（1）证明：由（为参数），得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎（2）解：，∴（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，∴.，∴.‎ ‎3．【2018华大新高考联盟】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点, 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若，求直线交曲线所得的弦长；‎ ‎（2）若上的点到的距离的最小值为1，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出曲线C的普通方程知曲线为圆，进而利用直线与圆相交求弦长即可；‎ ‎（2）圆上的点到直线的最小即为圆心到直线的距离减去半径即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 设圆心到直线的距离为,则.‎ 从而直线交曲线所得的弦长为.‎ ‎（2）直线的普通方程为.‎ 则圆心到直线的距离.‎ ‎∴由题意知，∴.‎ ‎4．【2018河南漯河中学三模】在极坐标系中，圆的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）在直线坐标系中，点是圆上的动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）为参数）（2）的最大值为时，点的直角坐标为.‎ 试题解析：‎ 解：（1）因为，所以，‎ 即为圆的直角坐标方程，‎ 所以圆的参数方程为为参数）.‎ ‎（2）设，得，‎ 代入，整理得，‎ 则关于的方程必有实数根，所以，‎ 化简得，解得，即的最大值为，‎ 将代入方程得，‎ 解得，代入，得，‎ 故的最大值为时，点的直角坐标为.‎ ‎5．【2018安徽阜阳中学二模】曲线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 .‎ 化曲线的方程为普通方程，曲线的方程为直角方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ 设曲线 与 轴的一个交点的坐标为 ，经过点作曲线的切线，求切线 的方程.‎ ‎【答案】（1）曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；曲线是圆心为，半径为的圆；‎ ‎（2）切线的方程为 试题解析：（1）曲线；曲线 曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；‎ 曲线是圆心为，半径为的圆；‎ ‎（2）曲线与轴的交点坐标为和，因为，所以 显然切线的斜率存在，设为，则切线的方程为，由曲线是圆心为，半径为的圆得，解得，所以切线的方程为.‎ ‎6．【2018湖南株洲两校联考】已知曲线 的参数方程为 （为参数），‎ 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为=2.‎ ‎（Ⅰ）分别写出的普通方程， 的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知M，N分别为曲线 的上、下顶点，点P为曲线 上任意一点，求 的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为 ；曲线的普通方程为；‎ ‎（II）的最大值为 法二：设点坐标为，则，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简，再求出的最值，即可求出的最大值。‎ 试题解析（1）曲线的普通方程为， ‎ ‎ 曲线的普通方程为. ‎ ‎ （2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.‎ 因此 ‎ ‎ ‎.‎ 所以当时，有最大值28， ‎ 因此的最大值为. ‎ 法二：设点坐标为，则，由题意可知.‎ 因此 ‎ ‎ ‎.‎ 所以当时，有最大值28， ‎ 因此的最大值为.‎ 点睛：在极坐标的题目中运用参数方程和极坐标的基本性质，即可求出两直角坐标方程，在解答最值问题时可以运用三角函数来计算也可以转化为直角坐标来求解，部分题目还是运用三角函数求值计算更简单。‎ ‎7．【2018东北名校联考】 已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为的正半轴，建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）若曲线为参数）与曲线相交于两点，求；‎ ‎（2）若是曲线上的动点，且点的直角坐标为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：（1）化为直角坐标方程为，‎ 为参数）可化为为参数），‎ 代入，得的，化简得，‎ 设对应的参数为，则，所以.‎ ‎（2）在曲线上，设为参数）‎ 则，‎ 令，则，‎ 那么， ‎ 所以.‎ ‎8．【2018云南昆明一中摸底】极坐标系中， 为极点，半径为2的圆的圆心坐标为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直角坐标系的原点与极点重合， 轴非负关轴与极轴重合，直线的参数方程为（为参数），由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ 试题解析：解：（Ⅰ）设是圆上任意一点，‎ 如图，连接，并延长与圆交于点，‎ 当点异于， 时，连接、，‎ 直角△中， ，‎ 即，‎ 当点与， 重合时，也满足上式，所求圆的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，圆心到直线的距离为，‎ ‎，所以直线与圆相离，‎ 故切线长的最小值为. ‎ ‎9．【2018河南名校联考】在平面直角坐标系 中，曲线，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）求和焦点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）曲线的极坐标方程为，‎ 化为直角坐标系的方程为，联立，‎ 解得交点的坐标为.‎ ‎（2）把直线的参数方程为参数)代入，‎ 得，即，‎ 易知点在圆外，所以.‎ ‎10．【2018江西南昌摸底】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）3‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程；（2）根据（1）所得到的结果代入到极坐标方程中，利用几何意义可得结果.‎ ‎（2）设， ，将代入，得： ，∴，∴．‎ ‎11．【2018辽宁凌源三校联考】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（， 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；‎ ‎（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为 ‎，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ ‎(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，‎ ‎∴对，有恒成立，‎ 即（其中）恒成立，‎ ‎∴.‎ 又，∴解得，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎12．【2018辽宁庄河两校联考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极轴， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点坐标为，圆与直线交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)直线的普通方程为： ，圆的直角坐标方程为： (2)4.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合所给的方程可得：直线的普通方程为： ，圆的直角坐标方程为： ；‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得： 的值是4.‎ ‎（2）将代入得： ‎ 得，则 ‎ ‎13．【2018山东、湖北部分高中调研】已知曲线 的参数方程分别为 ， .‎ 求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知点的直角坐标为（1,0），若曲线与曲线交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程；（2）将直线参数方程代入的普通方程，结合韦达定理及参数几何意义得，最后根据三角函数范围求范围 试题解析：（1）曲线 ‎14．【2018山东、湖北部分高中调研】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为；曲线的极坐标方程为；曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程、曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）若直线与曲线曲线在第一象限的交点分别为,求之间的距离.‎ ‎【答案】（1）， ， ；（2）.‎ ‎（2）由求得交点坐标，利用两点间的距离公式可得结果.‎ 试题解析：（1）直线的直角坐标方程： ，‎ 曲线的直角坐标方程： ，‎ 曲线的普通方程： . ‎ ‎（2）由（1）知所以， ‎ ‎， ‎ ‎.‎ ‎15．【2018河南洛阳联考】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．‎ ‎（1）求直线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）椭圆的内接矩形的周长取得最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为曲线的极坐标方程为，即，‎ 将， 代入上式并化简得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，于是， ，‎ 直线的普通方程为，将代入直线方程得，‎ 所以直线的普通方程为．‎ ‎（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），‎ 所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），‎ 此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．‎ ‎16．【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：解：（1）当时，无解；‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ 综上， .‎ ‎（2）函数的最小值为， ，所以.‎ ‎17．【2018四川德阳三校联考】（1）函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）； （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）构造函数，去绝对值号的分段函数，画出图象，数形结合即可；（2）由柯西不等式即可求出不等式的最小值.‎ 试题解析：‎ 解：令，则，即 作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ‎ 所以，实数的取值范围是 由柯西不等式： ‎ 即，故 当且仅当时，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ ‎18．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意， 故不等式的解集为 点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以，解得答案。‎ ‎19．【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数的一个零点为2.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由零点2，可得a=4,由x的分段讨论解不等式。（2）画出y=f(x)，与y=kx-2两个图像的草图，后一函数图像恒过（0，-2）点，结合图像可求得的取值范围。‎ 试题解析：（1）由， ，得，‎ ‎∴，∴或或，‎ 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ 直线过定点，‎ 当此直线经过点时， ；‎ 当此直线与直线平行时， .‎ 故由图可知， .‎ ‎20．【2018陕西西安长安区联考】 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎ （2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）3（2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）＜4m成立，即|x﹣3|+|x+2|＜4m成立，‎ 故（|x﹣3|+|x+2|）min＜4m，‎ 而|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣3）+（﹣x﹣2）|=5，‎ ‎∴4m＞5，解得：m＞，‎ 即m的范围为（，+∞）．‎ ‎21．【2018河南漯河中学三模】若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若正实数满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】试题分析：（1）由绝对值的三角不等式得到则；（2）考察基本不等式的应用，将构造为，则 ‎，从而。‎ ‎（2）因为 ‎ ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ 点睛：（1）利用绝对值三角不等式来解决绝对值不等式问题，也可以利用绝对值函数图象来解题；（2）不等式问题考察基本不等式“1”的妙用，得到，解得答案。‎ ‎22．【2018安徽阜阳临泉一中二模】已知函数.‎ 当时，，解不等式；‎ 若的解集为，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）不等式的解集为；（2）的最小值为 ‎【解析】试题分析：（1）把代入解绝对值不等式，运用零点区间，讨论，和，去绝对值解不等式，最后求并集即可得到；（2）根据的解集为，可求出的值，再根据柯西不等式的性质求解最小值.‎ ‎（2）‎ 因为的解集为，所以，即 所以，由，得 当且仅当时等号成立，故的最小值为 ‎23．【2018湖南株洲两校联考】设函数 ‎ ‎（I）解不等式 ；‎ ‎（Ⅱ）当 时，证明： ‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（II）证明见解析 ‎【解析】试题分析： ‎ 运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可。‎ 由分段函数可得的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证。‎ 解析：（Ⅰ）解：由已知可得： ，‎ 由时， 成立； 时， ，即有，则为．‎ 所以的解集为 ‎ ‎（II）证明：由（Ⅰ）知， ，‎ 由于，‎ 则，‎ 则有 ‎24．【2018江西宜春六校联考】设函数， ．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的实数恒成立，求的取值范围 .‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）等价于，∴，‎ ‎∴或，∴不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）令 ， 对任意的实数恒成立，即的图象恒在直线的上方，故直线的斜率满足，‎ 即的范围为．‎ ‎24．【2018东北名校联考】选修4-5：不等式选讲 ‎ 设，若的解集为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）1（2）3‎ 试题解析:（1）,‎ 当时， ，‎ 当时， ，此时无解，‎ 当时，也无解.‎ ‎（2）由，‎ 则，‎ 所以，此时.‎ ‎25．【2018河北衡水中学联考】已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，试证明： .‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为.‎ ‎(2)结合绝对值三角不等式的性质可得，结合二次函数的性质可得， ，则.‎ ‎（2）由题得， ，‎ 当且仅当，‎ 即时取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎26．【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.‎ ‎（2）原不等式等价于的解集非空，‎ 令，即，‎ 由，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式： ‎ ‎， ；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.‎ ‎27．【2018四川乐山外国语学校联考】已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的值域为，若，证明： .‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）利用绝对值三角不等式求最小值得3，所以作差得，根据因子符号证明不等式 试题解析：（1）依题意，得 于是得或或 解得.‎ 即不等式的解集为.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎28．【2018辽宁庄河两校联考】已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 试题解析：（1）， 或或解得或 的解集为或.‎ ‎（2）由图知.，‎ 即，当且仅当时等号成立，‎ ‎，解得，当且仅当时等号成立 故的最小值为.‎