上海市曹杨二中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 19页

www.ks5u.com 上海市曹扬二中2018学年第二学期高一年级期终考试数学试卷 一、填空题：(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)‎ ‎1.已知向量，，且与垂直，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．‎ ‎2.若角的终边经过点，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.‎ ‎【详解】由诱导公式得，‎ 另一方面，由三角函数定义得，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，则的单位向量的坐标为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结论“与方向相同的单位向量为”可求出的坐标.‎ ‎【详解】，所以，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.在等差数列中，，，则的值为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据题中条件建立、的方程组，求出、的值，即可求出的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，所以，解得，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.‎ ‎5.若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.‎ ‎【详解】设向量、的夹角为，‎ 由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎6.已知向量，，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.‎ ‎【详解】，，，‎ 所以，，‎ 当且仅当，即当，等号成立，‎ 因此，的最大值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.若，且，则是第_______象限角.‎ ‎【答案】三 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式计算出的值，结合判断出角所在的象限.‎ ‎【详解】由二倍角公式得，‎ 又，因此，是第三象限角，故答案为：三.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8.已知是边长为的等边三角形，为边上（含端点）的动点，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，其中，利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题，可得出的取值范围.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，‎ 则点、、，设点，其中，‎ ‎，，，‎ 因此，的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.设当时，函数取得最大值，则______.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.‎ ‎10.走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上 的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.‎ ‎【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，‎ 由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，‎ 由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.‎ ‎11.如图，为内一点，且，延长交于点，若，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，可得出，再利用、、三点共线的向量结论得出，可解出实数的值.‎ ‎【详解】由，得，可得出，‎ 由于、、三点共线，，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.‎ ‎12.为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数，满足,，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值.‎ ‎【详解】设的角、、的对边分别为、、，‎ 在内取点，使得，‎ 设，，，‎ 由余弦定理得，，‎ 同理可得，，，则，‎ 的面积为，‎ 另一方面，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.‎ 二、选择题（每题5分，满分20分）‎ ‎13.已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的前项和为，由并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项.‎ ‎【详解】设等差数列的前项和为，由，‎ 得，可得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎14.已知数列满足，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得，然后根据递推公式逐项计算出、的值，即可得出的值.‎ 详解】，，则，‎ ‎，，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.在非直角中，“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.‎ ‎【详解】若，则，‎ 易知，， ，，‎ ‎，，，‎ ‎，，.‎ 因此，“”是“”的充要条件，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.在中，若，则角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量数量积的定义得出、与的等量关系，再由并代入、与的等量关系式求出的值，从而得出的大小.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，由正弦定理边角互化思想得，‎ ‎，，同理得，‎ ‎，，则，解得，‎ 中至少有两个锐角，且，，所以，，‎ ‎，因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.‎ 三、解答题：共76分.‎ ‎17.设向量，，.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）求在方向上的投影.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数的值；‎ ‎（2）求出和，从而可得出在方向上的投影为.‎ ‎【详解】（1），，，‎ ‎，，，解得；‎ ‎（2），，‎ 在方向上的投影.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.已知方程有两根、，且，.‎ ‎（1）当，时，求的值；‎ ‎（2）当，时，用表示.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由反三角函数的定义得出，，再由韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，并求出的取值范围，即可得出的值；‎ ‎（2）由韦达定理得出，，再利用两角和的正切公式得出的表达式，利用二倍角公式将等式两边化为正切，即可用表示.‎ ‎【详解】（1）由反三角函数的定义得出，，‎ 当，时，由韦达定理可得，，‎ 易知，，，，则 由两角和的正切公式可得，‎ ‎；‎ ‎（2）由韦达定理得，，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ 又由得，则，则、至少一个是正数，‎ 不妨设，则，又，，‎ 易知，，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查反正切的定义，考查两角和的正切公式的应用，同时涉及了二次方程根与系数的关系以及二倍角公式化简，在利用同角三角函数的基本关系解题时，需要对角的范围进行讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.某菜农有两段总长度为米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）已知（米），，，设，四边形的面积为.‎ ‎（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.‎ ‎【答案】（1），其中；‎ ‎（2）当时，取得最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，利用正弦定理将、用表示，然后利用三角形的面积公式可求出关于的表达式，结合实际问题求出的取值范围；‎ ‎（2）利用（1）中的关于的表达式得出的最大值，并求出对应的的值.‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理得，‎ 所以，‎ ‎，‎ 则的面积为，‎ 因此，，其中；‎ ‎（2）由（1）知，.‎ ‎，，‎ 当时，即当时，四边形的面积取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.‎ ‎（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的零点；‎ ‎（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1），单调递增区间为；‎ ‎（2）、、；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；‎ ‎（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程 可得出函数的零点；‎ ‎（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，，.‎ 令，即，‎ 即函数的图象的对称轴方程为.‎ 由于函数图象的一条对称轴方程为，，‎ ‎，，，则，因此，.‎ 函数的单调递增区间为；‎ ‎（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.‎ 再将所得函数的图象向左平移个单位长度，‎ 得到函数 令，即，化简得，‎ 得或.‎ 由于，当时，；当时，或.‎ 因此，函数在上的零点为、、；‎ ‎（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，，由于，，‎ 此时，；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，，由于，，‎ 此时，；‎ 当时，函数在区间上单调递减，‎ 所以，，，‎ 此时，.‎ 所以，.‎ 当时，函数单调递减，；‎ 当时，函数单调递增，此时；‎ 当时，，当时，.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.‎ ‎21.在中，角、、的对边分别为、、，为的外接圆半径.‎ ‎（1）若，，，求；‎ ‎（2）在中，若为钝角，求证：；‎ ‎（3）给定三个正实数、、，其中，问：、、满足怎样的关系时，以、为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情兄下，用、、表示.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理求出的值，然后利用余弦定理求出的值；‎ ‎（2）由余弦定理得出可得证；‎ ‎（3）分类讨论判断三角形的形状与两边、的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，所以，‎ 由余弦定理得，化简得.‎ ‎，解得；‎ ‎（2）由于为钝角，则，由于，‎ ‎，得证；‎ ‎（3）①当或时，所求不存在；‎ ‎②当且时，，所求有且只有一个，此时；‎ ‎③当时，都是锐角，，存在且只有一个，‎ ‎；‎ ‎④当时，所求存在两个，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，因此所求存在，‎ 当时，，，，，‎ ‎；‎ 当时，，，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据、两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.‎ ‎ ‎