【数学】2018届一轮复习人教A版数列求和教案 9页

高三 一轮复习 5.4 数列求和 ‎【教学目标】‎ ‎1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．‎ ‎2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点 识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．　2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.‎ 真题再现;‎ ‎1.(2015·全国Ⅱ，16)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.‎ 解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 答案　－ ‎2.(2013·全国Ⅱ，3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 解析　设公比为q，则由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3－a2＝10a1，故a3＝9a1，所以q2＝9.由a5＝9，得a1＝. 答案　C 知识梳理知识点　数列求和的常见方法 ‎1．公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 ‎(1)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式 Sn＝ ‎2．倒序相加法；如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．‎ ‎3．错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．‎ ‎4．裂项相消法；(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．‎ ‎(2)裂项时常用的三种变形①＝－；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝－.‎ ‎5．分组求和法；一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．‎ ‎6．并项求和法；一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12‎ ‎＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ ‎1．必会结论；常用求和公式 前n个正 整数之和 ‎1＋2＋…＋n＝ 前n个正 奇数之和 ‎1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2‎ 前n个正整 数的平方和 ‎12＋22＋…＋n2＝ 前n个正整 数的立方和 ‎13＋23＋…＋n3＝2‎ ‎2.必知联系；(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．‎ ‎(2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．‎ ‎(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．‎ 考点分项突破 考点一分组转化法求和 ‎1．已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n＋2n－1，则其前n项和Sn＝________.‎ ‎【解析】　由题意知an＝3n＋2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n＋2n－1‎ ‎＝3×(1＋2＋3＋…＋n)＋21＋22＋…＋2n－n＝3×＋－n＝＋2n＋1－2.‎ ‎【答案】　(3n2＋n)＋2n＋1－2‎ ‎2．(2015·福建高考)等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．‎ ‎【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ 环节二 ‎＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.‎ ‎ 归纳分组转化法求和的常见类型 ‎1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎2．通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．‎ 提醒某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．‎ 考点二 裂项相消法求和 ‎(1)(2015·江苏高考)设数列满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为______．‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.‎ ‎①求{an}的通项公式；‎ ‎②设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解析】　(1)由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N*)．‎ ‎∴＝＝2.‎ ‎∴S10＝2×＝2×＝.【答案】　 ‎(2)①由a＋2an＝4Sn＋3，(*)‎ 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.(**)(**)－(*)，得a－a＋2(‎ ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.‎ 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.②由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝.‎ 跟踪训练 1．若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为________．‎ ‎【解析】　由前四项知数列{an}的通项公式为an＝，由＝知，‎ Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an ‎＝ ‎＝＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎2．(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.‎ 数列{an}的通项公式为an＝13－3n.‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎(2)bn＝＝.‎ 于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋－＝＝.‎ 归纳常见的裂项方法(其中n为正整数)‎ 数　列 裂项方法 ‎(k为非零常数)‎ ＝ ＝ ＝－ ＝(－)‎ ‎(a＞0，a≠1)‎ loga＝loga(n＋1)－logan ‎ ‎ 考点三 错位相减法求和 ‎1.　(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3.当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，‎ 所以an＝ ‎(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；‎ 当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋‎ 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎…＋(n－1)×32－n]，两式相减，得 ‎2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n ‎＝＋－(n－1)×31－n＝－，‎ 所以Tn＝－.经检验，n＝1时也适合．‎ 综上可得Tn＝－.‎ 跟踪训练1.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得 故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.‎ ‎(2)由(1)得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，将上式两边同乘以q有 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.‎ 两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1‎ ‎＝nqn－＝.于是，Sn＝.若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以Sn＝ 归纳 1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．‎ ‎2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ ‎3．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ 规范解答错位相减法求数列的和 ‎1.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.‎ ‎(1)确定常数k，并求an；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎【规范解答】　(1)当n＝k∈N*时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝，3分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n.6分 当n＝1时，上式也成立，综上，an＝－n.‎ ‎(2)因为＝，所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，①7分所以2Tn＝2＋2＋＋…＋＋，②‎ ‎②－①得2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－ ‎＝4－－＝4－.11分 故Tn＝4－.12分 ‎【解题程序】　第一步利用Sn的最大值为8，结合k∈N*求出k的值；‎ 第二步利用an，Sn的关系求出an；‎ 第三步化简数列；‎ 第四步利用错位相减法求Tn；‎ 第五步化简整理得出答案．‎ ‎【智慧心语】　易错提示(1)利用Sn求an时不要忽视n＝1的情况.,(2)错位相减时不要漏项或算错项数.‎ 防范措施(1)利用Sn求an时，an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，解题时要明确.‎ ‎2)根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和Sn，求出an后再根据的结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案.‎ ‎3)Tn的结果要尽量简单，可以通过n＝1，2时的特殊情况对结论进行验证.‎ 环节三 课堂小结 ‎1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．‎ ‎2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎