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- 2021-06-10 发布
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第二节两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行:
①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直:
①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
2.两条直线的交点的求法
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
3.三种距离公式
P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离
|P1P2|=
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=
平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离
d=
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( )
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( )
(5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2.若直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( )
A.-3 B.-
C.2 D.3
解析:选D 直线ax+2y-1=0的斜率k1=-,直线2x-3y-1=0的斜率k2=,因为两直线垂直,所以-×=-1,即a=3.
3.(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为( )
A. B.2-
C.-1 D.+1
解析:选C 由题意知=1,∴|a+1|=,又a>0,∴a=-1.
4.若直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为________.
解析:由得
即直线2x-y=-10与y=x+1相交于点(-9,-8).
又因为直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,
所以-8=-9a-2,解得a=.
答案:
5.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是________.
解析:∵=≠,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d==2.
答案:2
[考什么·怎么考]
两条不同直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况,要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系,利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围,多以选择题、填空题的形式命题,难度较易,属于基础题.
1.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( )
A.-10 B.-2
C.0 D.8
解析:选A ∵l1∥l2,∴=-2(m≠-2),解得m=-8(经检验,l1与l2不重合),∵l2⊥l3,∴2×1+1×n=0,解得n=-2,∴m+n=-10.
2.已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为________.
解析:l1的斜率k1==a.
当a≠0时,l2的斜率k2==.
因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a=1.
当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.
综上可知,实数a的值为1或0.
答案:1或0
3.已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使
(1)l1与l2相交于点P(m,-1);
(2)l1∥l2;
(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
解:(1)由题意得
解得
即m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(m,-1).
(2)∵l1∥l2,∴
解得或
即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
(3)当且仅当2m+8m=0,
即m=0时,l1⊥l2.
又-=-1,∴n=8.
即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
[怎样快解·准解]
1.解题要“前思后想”
解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”
2.方法要“因题而定”
(1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.
(2)由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2平行的充分条件
=≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
==(A2B2C2≠0)
[注意] 在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答.
距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离,多以选择题或填空题的形式考查,难度偏小,属于基础题.
[典题领悟]
1.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析:选C 因为=≠,所以两直线平行,
将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,
即=,所以|PQ|的最小值为.
2.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为________.
解析:设点P的坐标为(a,b).
∵A(4,-3),B(2,-1),
∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
而AB的斜率kAB==-1,
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上,
∴a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,
∴=2,即4a+3b-2=±10,②
由①②联立解得或
∴所求点P的坐标为(1,-4)或.
答案:(1,-4)或
[解题师说]
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.
(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
(3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
[冲关演练]
1.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )
A. B.1
C. D.2
解析:选C 因为点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,所以当点P处的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小.因为直线y=x-2的斜率等于1,曲线y=x2-ln x的导数y′=2x-,令y′=1,可得x=1或x=-(舍去),所以在曲线y=x2-ln x上与直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),所以点P到直线y=x-2的最小距离为,故选C.
2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3 B.2
C.3 D.4
解析:选A 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3.
对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题,中心对称就是点(线)关于点的对称,轴对称就是点(线)关于线的对称,此类问题多以选择题或填空题的形式考查,难度适中.
常见的命题角度有:
(1)点关于点的对称; (2)点关于线的对称;
(3)线关于点的对称; (4)线关于线的对称.
[题点全练]
角度(一) 点关于点的对称
1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
[题型技法] 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解.
角度(二) 点关于线的对称
2.在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP的长度为( )
A.2 B.1
C. D.
解析:选D 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0,设P(t,0)(00,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于________.
解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(a,b),则解得
则(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m),则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)=×≥×(5+2×2)=,当且仅当m=,n=时等号成立.
答案:
7.以点A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形ABCD的面积为________.
解析:因为kAB==-,kDC==-.
kAD==,kBC==.
则kAB=kDC,kAD=kBC,所以四边形ABCD为平行四边形.
又kAD·kAB=-1,即AD⊥AB,
故四边形ABCD为矩形.
故S=|AB|·|AD|=
×=25.
答案:25
8.如图,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为________.
解析:从特殊位置考虑.如图所示,
∵点A(-2,0)关于直线BC:x+y=2的对称点为A1(2,4),
∴kA1F=4.又点E(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,∴kFD>kA1F,即kFD∈(4,+∞).
答案:(4,+∞)
9.正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.
解:点C到直线x+3y-5=0的距离
d==.
设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是
x+3y+m=0(m≠-5),
则点C到直线x+3y+m=0的距离
d==,
解得m=-5(舍去)或m=7,
所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是
x+3y+7=0.
设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是
3x-y+n=0,
则点C到直线3x-y+n=0的距离
d==,解得n=-3或n=9,
所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.
10.已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知得=2,解得k=.
此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.
由l⊥OP,得kl·kOP=-1,
因为kOP=-,
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.
(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.
B级——拔高题目稳做准做
1.已知P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示( )
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
解析:选D 因为P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,
设Ax0+By0+C=k,k≠0.
若方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0,
则Ax+By+C+k=0.
因为直线Ax+By+C+k=0和直线l斜率相等,
但在y轴上的截距不相等,
故直线Ax+By+C+k=0和直线l平行.
因为Ax0+By0+C=k,而k≠0,
所以Ax0+By0+C+k≠0,
所以直线Ax+By+C+k=0不过点P.
2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线sin A·x+ay-c=0与bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( )
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
解析:选C 由题意可得直线sin A·x+ay-c=0的斜率k1=-,bx-sin B·y+sin C
=0的斜率k2=,故k1k2=-·=-1,则直线sin A·x+ay-c=0与直线bx-sin B·y+sin C=0垂直,故选C.
3.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A., B.,
C., D.,
解析:选A 由题意a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,所以ab=c,a+b=-1.又直线x+y+a=0与x+y+b=0的距离d=,所以d2=2===-2c,而0≤c≤,所以-2×≤-2c≤-2×0,得≤-2c≤,所以≤d≤,故选A.
4.(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3)到直线l的距离为,则直线l的方程为________________.
解析:当直线过原点时,设直线方程为y=kx,由点A(1,3)到直线l的距离为,得=,解得k=-7或k=1,此时直线l的方程为y=-7x或y=x;
当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,由点A(1,3)到直线l的距离为,得=,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.
综上所述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0.
答案:y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0
5.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解:(1)由已知可得l2的斜率存在,
∴k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,∴b=0.
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾),
∴此种情况不存在,∴k2≠0,即k1,k2都存在.
∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,∴k1k2=-1,
即(1-a)=-1.①
又∵l1过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,
∴直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.④
联立③④,解得或
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
6.一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求:
(1)入射光线所在直线的方程;
(2)这条光线从P到Q所经路线的长度.
解:(1)设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点,QQ′交l于M点,∵kl=-1,∴kQQ′=1,
∴QQ′所在直线的方程为y-1=1×(x-1),即x-y=0.
由解得
∴交点M,∴
解得∴Q′(-2,-2).
设入射光线与l交于点N,
则P,N,Q′三点共线,
又P(2,3),Q′(-2,-2),
故入射光线所在直线的方程为
=,
即5x-4y+2=0.
(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|
==,
即这条光线从P到Q所经路线的长度为.