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- 2021-06-10 发布
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微专题 57 放缩法证明数列不等式
一、基础知识:
在前面的章节中,也介绍了有关数列不等式的内容,在有些数列的题目中,要根据不等
式的性质通过放缩,将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用
放缩法证明不等式的技巧
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质:
(1)传递性:若 ,则 (此性质为放缩法的基础,即若要证明 ,但无
法直接证明,则可寻找一个中间量 ,使得 ,从而将问题转化为只需证明 即可 )
(2)若 ,则 ,此性质可推广到多项求和:
若 ,则:
(3)若需要用到乘法,则对应性质为:若 ,则 ,此性质也可推
广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数
注:这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同
2、放缩的技巧与方法:
(1)常见的数列求和方法和通项公式特点:
① 等差数列求和公式: , (关于 的一次函数或常值函数)
② 等比数列求和公式: , (关于 的指数类函数)
③ 错位相减:通项公式为“等差 等比”的形式
④ 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,
进而在求和后式子中仅剩有限项
(2)与求和相关的不等式的放缩技巧:
① 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与
所证的不等号同方向)
③ 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可
裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:
看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;
,a b b c a c a c
b a b b c
,a b c d a c b d
1 21 , 2 , , na f a f a f n 1 2 1 2na a a f f f n
0, 0a b c d ac bd
1
2
n
n
a aS n na kn m n
1 1
11
n
n
a q
S qq
n
na k q n
第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧:
① 裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视
为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)
② 等比数列:所面对的问题通常为“ 常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足
,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数可
视为 的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,
再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数 ,即可猜
想该等比数列的首项为 ,公比为 ,即通项公式为 。
注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数
列进行放缩,受数列通项公式的结构影响
(4)与数列中的项相关的不等式问题:
① 此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
②在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累
加”或“累乘”的形式,即 或 (累乘时要求不等式两侧均为正
数),然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为 ,另一侧为求和的结果,进而完成证明
3、常见的放缩变形:
(1) ,其中 :可称 为“进可攻,退可守”,可依照
所证不等式不等号的方向进行选择。
注:对于 ,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特
征的数列,例如: ,这种放缩的尺度要小于
(1)中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的,如:
nS
0,1q
1
1
a
q
1
2 2= 13 1 4
1
2
1
4
12 4
n
1n na a f n 1n
n
a f na
na
2
1 1 1
1 1n n n n n 2,n n N 2
1
n
2
1
n
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1n n n n n n
(2) ,从而有:
注:对于 还可放缩为:
(3)分子分母同加常数:
此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构
造出形式再验证不等关系。
(4)
可推广为:
二、典型例题:
例 1:已知数列 的前 项和为 ,若 ,且
(1)求证:数列 是等差数列,并求出 的通项公式
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,求证:
解:(1)
2 2
2
1 1 4 1 1 1 1
1 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
4
n n n n n nn
1 2
n n n
2 1 22 1 2 1
1 1
n n n n
n n n n n
1
n
1 2, 2,n n n n N
n
0, 0 , 0, 0b b m b b mb a m a b ma a m a a m
1
2 1
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 12 1
n n n n
n n n n n nn
1
1 1 2,2 1 2 1n n n n N
1
2 11 1 1 1 11
n n n n
n n n n n nn
k k k k
k k k k k k kk
1
1 1 2, 2, ,1 1n n n k k n Nk k
na n nS 14 2 1 1n nS n a 1 1a
na na
1
n
n n
b
a S
nb n nT 3
2nT
14 2 1 1n nS n a
14 2 3 1 2n nS n a n
14 2 1 2 3n n na n a n a 2n
即
即
,由 令 可得:
,验证 符合上式
(2) 由(1)得:
可知当 时,
不等式得证
例 2:设数列 满足: ,设 为数列 的前 项和,已知
,
(1)求数列 的通项公式
(2)求证:对任意的 且 ,有
解:(1) 为公比是 的等比数列
1
1
2 12 1 2 1 2 1
n
n n
n
a nn a n a a n
1 3
1 2 2
2 1 2 3 5, , ,2 3 2 5 3
n n
n n
a n a n a
a n a n a
1 3
1 2 2
2 1 2 3 5
2 3 2 5 3
n n
n n
a a a n n
a a a n n
2
2 1 23
na n na
2
2 1
3n
na a 14 2 1 1n nS n a 1n
1 2 24 1 3S a a
2 1 2na n n 1 1a
2 1na n 2
nS n
2
1 1
2 12 1nb n nn n
1 1b
2n
1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 1 2 1nb n n n n n n n n
1 2 1
1 1 1 1 1 112 2 2 3 1n nT b b b b n n
1 1 31 12 2n
na 1 11, 3 ,n na a a n N
nS nb n
1 0b 1 12 ,n nb b S S n N
,n na b
n N 2n
2 2 3 3
1 1 1 3
2n na b a b a b
1 3n na a na 3
1 1
1 3 3n n
na a
在 中,令 ,
是公比为 的等比数列
(2)证明:
例 3:已知正项数列 的前 项和为 ,且
(1)求证:数列 是等差数列
(2)记数列 ,证明:
解:(1)
为等差数列
(2)思路:先利用(1)可求出 的公式进而求出 ,则 ,考虑进行放
缩求和,结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解:令 代入 可得:
nb 1n 1 1 1 1 12 1b b S S b
2 1n nb S
1 12 1n nb S 1 12 2 2 2n n n n nb b b n b b
nb 2
1 1
1 2 2n n
nb b
1 1 2
1 1 1
3 2 3n n n
n na b
2 2 3 3
1 1 1
n na b a b a b
1
1
2
11 1 31 1 3 1 31 113 3 2 3 21 3
n
n
n
na n nS 1 2 ,n n
n
a S n Na
2
nS
3
1 2
1 1 12 ,n n n
n
b S T b b b
1 3 11 21 nT
n n
1
1
1 12 2 2n n n n n
n n n
a S S S S na S S
1
1
1
n n
n n
S SS S
2 2
1 1n nS S
2
nS
nS 2nb n n 1 1
2nb n n
1n 1 2n n
n
a Sa
即
由 为等差数列可得:
考虑先证
时
时,
再证
综上所述:
小炼有话说:本题在证明中用到一个常见的根式放缩:
例 4:已知数列 满足
1 1 1
1
1 2 1a a aa 1 1S
2
nS 2 2
1 1nS S n n
nS n 2nb n n
1 1
2nb n n
3 1
2nT
n
1 1 1 1 1 1 1 2
2 111n
n n n n nb nn n n nn nn n n
2n
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3 11 12 22 2 3 1nT b n n n n
1n 1
1 3 12 2T
3 1
2nT
n
11
1nT
n
1 1 1 1 1 1 1
2 111n
n n n n
b nn n n nn nn n n
1 1 1 1 1 11 1
2 2 3 1 1nT
n n n
1 3 11 21 nT
n n
1 1 11 1
1 2 1
n n n n
n n n n n
na
2
1 1
12, 2 1 ,n na a a n Nn
(1)求证:数列 是等比数列,并求出数列 的通项公式
(2)设 ,求证:
解:(1)
是公比为 的等比数列
(2)思路: ,无法直接求和,所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号:
),若要放缩为裂项相消的形式,那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有 ,
故分子分母通乘以 ,再进行放缩调整为裂项相消形式。
解:
而
所以
小炼有话说:(1)本题先确定放缩的类型,向裂项相消放缩,从而按“依序同构”的目标进
行构造,在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
(2)在求和过程中需要若干项不动,其余进行放缩,从而对求和的项数会有所要求(比如本
2
na
n
na
n
n
nc a 1 2
17
24nc c c
22
1 2
112 1 2n n n
na a an n
1
2 22
1
n na a
nn
2
na
n
2
11
2 2 2 21
n nna a
n
2 2n
na n
1
2n n
n
nc a n
n
1n
1 1
2 1 2n n n
n
n nc a n n n
1
2 11 1 1
1 2 2 1 2 1 2n n n n
n n n
n n n n n n
1
1 1 1 1 21 2 1 2 1 2 2n n n n n
n nc nn n n n n n
1 2 1 2 3 3 4 4 5 1
1 1 1 1 1 1
3 2 4 2 4 2 5 2 1 2 2n n nc c c c c c n n
1 1 1 1 1 17 1 17
2 8 24 24 2 24 2 24n nn n 3n
0nc 1 1 2 1 2 3
16 17
24 24c c c c c c
题中 才会有放缩的情况),对于较少项数要进行验证。
例:已知数列 的前 项和 ,且
(1)求
(2)求数列 的前 项和
(3)设数列 的前 项和 ,且满足 ,求证:
解:(1)在 中,令 可得:
(2) ①
②
① ②可得:
是公差为 6 的等差数列
(3)由(2)可得:
3n
na n 3 1 ,n nS na n n n N 3 17a
1a
na n nS
nb n nT n
n
nb S 2 3 23nT n
3 1 ,n nS na n n n N 2, 3n n
1 2 2 2 1
1 2 3 3 1 2
2 6 6
3 18 16
a a a a a
a a a a a a
1 25, 11a a
3 1n nS na n n
1 11 3 1 2n nS n a n n
1 11 6 1 1 1 6 1n n n n na na n a n n a n a n 2n
1 6n na a
na
1 6 1 6 1na a n n
23 1 6 1 3 1 3 2n nS na n n n n n n n n
2
1
3 2 3 2n
nb n n n
1 2 2 3 3 2 3 123 2 2 3 2 3 2 3 1nb n n
n n n n
1 2
2 5 2 8 5 3 2 3 13n nT b b b n n
2 23 2 2 3 23 3n n
例 6:已知数列 满足
(1)试判断数列 是否为等比数列,并说明理由
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,求证:对任意的
解:(1)
为公比是 的等比数列
(2)思路:首先由(1)可求出 的通项公式 ,对于
可发现 为奇数时, , 为偶数时, ,结合 通项公
式可将其写成 ,从而求出 ,无法直接求和,所以考虑
对通项公式进行放缩,可联想到等比数列,进而 ,求和后与所证不
等式右端常数比较后再进行调整(需前两项不动)即可。
解: ,由(1)可得:
而
na
1
1
1
1 , 2,4 1 2
n
n n
n
aa a n n N
a
1 1 n
na
2 1sin 2n n
nb a nb n nT 4, 7nn N T
11
1 11
1 21 21
1 2
n
nnn
n n
n n nn
aaa a a aa
1
1 1
1 2 1 21 2 1 1 2 1n n n n
n n n na a a a
1 1 n
na
2
na
1
1
3 2 1n n na
2 1sin 2
n
n 2 1sin 12
n n 2 1sin 12
n na
12 1sin 12
nn 1
1
3 2 1n nc
1 1
1 1
3 2 1 3 2n n nc
1
1
1 1 3a
1 1 1
1
1 11 1 2 3 2n n n
na a
1
1
3 2 1n n na
12 1sin 12
nn
1
1 1
2 1 1 1sin 2 3 2 13 2 1
n
n n n n n
nb a
1 1
1 1
3 2 1 3 2n n nb
当 时,
因为 为正项数列
例 7:已知数列 满足: ,且
(1)求数列 的通项公式
(2)证明:对于一切正整数 ,均有
解:(1)
设 即
为公比是 的等比数列
而
(2)思路:所证不等式可化简为: ,由于是连乘形式,所以考虑
放缩为分子分母可相消的特点,观察分母的形式为 ,所以结合不等号方向,将分子向
该形式转化: ,再根据右边的值对左边放缩的程度进行
调整即可。
3n 1 2 1 2 2 3 1
1 1 1
3 2 3 2 3 2n n nT b b b b b
21 1112 21 1 1 1 1 47 4
14 7 4 7 6 84 71 2
n
nb 1 2 3 nT T T T
4, 7nn N T
na 1
3
2a 1
1
3 2,2 1
n
n
n
naa n n Na n
na
n 1 2 2 !na a a n
1
1
3
2 1
n
n
n
naa a n
1 1
1 1 1
2 1 2 11 2 1
3 3 3 3
n n
n n n n n n
a n a nn n n
a na a a a a
n
n
nb a 1
2 1
3 3n nb b
1
11 13n nb b 1nb 1
3
1
1
11 1 3
n
nb b
1
1
1 2
3b a
11 3
n
nb
3
3 1
n
n n
n
n na b
1 2
1 2
3 3 3 23 1 3 1 3 1
n
n
3 1n
1
3 3 2 3 1
3 1 3 3 3 3 1
n n n
n n n
2n
证明:所证不等式为:
等价于证明:
设
即不等式得证
小炼有话说:(1)对于一侧是连乘形式的表达式,在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化
简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。
(2)本题中用到了分式放缩的常用方法:通过分子分母加上相同的数达到放缩目的,但要注
意不等号的方向(建议验证),常用的放缩公式为: (分子小与
分母), (分子大于分母)
例 8:已知函数
(1)若函数 在 处切线斜率为 , ,已知 ,
求证:
(2)在(1)的条件下,求证:
解:(1)
1 2
1 2
3 3 3! 2 !3 1 3 1 3 1
n
nn n
1 2
1 2
3 3 3 23 1 3 1 3 1
n
n
3
3 1
n
n nc 1
3 3 2 3 1 23 1 3 3 3 3 1
n n n
n n n nc n
3 4
1 2 1 2 2 3 1
3 1 3 1 3 1
3 3 1 3 3 1 3 3 1
n
n nc c c c c
2 2
3 9 3 1 3 9 3 243 2 32 8 8 3 2 8 8 3 128
n n
n n n
1 1 2
3 3 9 272, 22 2 8 16c c c
0, 0 b b ca b c a a c
0, 0 a a ca b c b b c
2ln , 1 0bf x ax x fx
f x 1x 0 ' 2
1
1 11n
n
a f na n
1 4a
2 2na n
1 2
1 1 1 2
1 1 1 5na a a
'
2
2bf x a x x
'
1 0 0 1
2 0 11 0
f a b a
a b bf
2 2
1 1 1 2 1 1n n na a n a n n
整理后可得:
下面用数学归纳法证明:
当 时, 成立
假设 成立,则 时
时,不等式成立
(2)
由(1)可知
例 9 : 已 知 数 列 的 各 项 均 为 正 值 , 对 ,
,且
2 2
1 1n na a n n
2
1 2 1n n na a na
2 2na n
1n 1 4 2 2a n
n k k N 1n k
1 2 1k k ka a a k 2 2ka k
1 2 2 2 1 4 5 2 1 2ka k k k
1n k
, 2 2nn N a n
2
1 2 1 2 1n n n n na a na a a n
2 2na n 1 2 1n na a
1
1
1 1 11 2 1 1 2 1n n
n n
a a a a
2 1
1 2 1
1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1n
n n na a a a
1 2 1
1 1 1 1 1 111 1 1 1 2 2
n
na a a a
1
11 21 2 1 2111 5 2 51 2
n
n
a
na n N
2
1 21 4 1 , log 1n n n n na a a b a 1 1a
(1)求数列 的通项公式
(2)当 且 时,证明对 ,都有 成立
解:(1)
由 可得:
为公比是 的等比数列
(2)思路:所证不等式为: 左边含有两个变量,考虑通过
消元简化所证不等式。设 ,则只需证明: ,易知 为
递增数列。所以只需证明 ,即 ,左边共 项,结合 的特
点可考虑将 项分为 3 组:
,再求和即证不等式
解:所证不等式 由(1)可得:
只需证:
设
,n na b
7k k N n N
1 2 1
1 1 1 1 3
2n n n nkb b b b
2
1 1 4 1n n na a a
22 2 2
1 14 4 1 2 1n n n n na a a a a 0na
1 2 1n na a
1 1 2 1n na a
1na 2
1
11 1 2 2n n
na a
2 1n
na nb n
1 1 1 1 3
1 2 1 2n n n nk
1 1 1
1 1kT n n nk min
3
2kT kT
8k 1 1 1 3
1 8 1 2n n n 7n 3
2
7n 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
n n
n
n n n n n n
个 个
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 1 4 1 4 4 2
n n
n n n n n
个 个
4 4
1 1 1 1 1 1
4 4 1 8 1 8 8 2
n n
n n n n n
个 个
1 2 1
1 1 1 1 3
2n n n nkb b b b
1 1 1 1 3
1 2 1 2n n n nk
min
1 1 1 1 3
1 2 1 2n n n nk
1 1 1
1 1kT n n nk
1
1 1 1 1 1 1
1 ( 1) 1 1 1k kT T n n n k n n nk
为递增数列
只需证
而
例 10:数列 是公差不为零的等差数列, ,数列 满足:
(1)当 时,求证:
(2)当 且 时, 为等比数列
① 求
② 当 取最小值时,求证:
解:(1)由 可得:
两式相除可得:
( 2 ) ① 思 路 : 本 题 的 突 破 口 在 于 既 在 等 差 数 列 中 , 又 在 等 比 数 列
中,从而在两个不同风格的数列中 均能够用 进行表示,然后便
1 1 1 01 1nk nk nk n
kT 8k
8min
1 1 1
1 8 1kT T n n n 1 1 1 3
1 8 1 2n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 8 1 2 1 2 4 1 4 8 1n n n n n n n n n
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
n n
n
n n n n n n
个 个
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 1 4 1 4 4 2
n n
n n n n n
个 个
4 4
1 1 1 1 1 1
4 4 1 8 1 8 8 2
n n
n n n n n
个 个
1 1 1 1 1 1 3
1 8 1 2 2 2 2n n n
na 5 6a nb
1 1 1 23, 1n nb b b b b
2n 1 1
1
n
n
n
b bb
3 1a 3a N 1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a
3a
3a
1 21 2 3
1 1 1 1 1 1 14 1 1 1nn k k kb b b b a a a
1 1 2 1n nb b b b 1 1 21n nb b b b
1 2 11 2,n nb b b b n n N
1 1
1
n
n
n
b bb
nka na
1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a nka 3a
得到 与 的关系式,抓住 的特点即可求出 的值
为等差数列
另一方面, 为等比数列
可视为以 为首项, 为公比的等比数列前 项和
能够被 6 整除 且
或
经检验: 或 均符合题意
② 思路:所证不等式两侧均为数列求和的形式,所以先观察两侧是否有能直接求和的式子,
从而化简一侧的表达式,由(1)和(2)①可知, , ,所以对于右
侧, 显然无法直接找到求和方法。而对于 ,虽然没有通项公式,但可
nk 3a 3,nk a N 3a
na 5 3 36
2 2
a a ad
3
3 3
63 3 2nk n n
aa a k d a k
1 23 5, , , , , ,nk k ka a a a a 5
3 3
6aq a a
1
1
3 3
3
6
n
n
n
ka a q a a
1
3
3 3
3
6 63 2
n
n
aa a ka
1 1 1
3 3
3 3 3
3 3
3
6 6 61 2 1 1
3 3 3 26 66 12
n n n
n
a aa a a
k a a
a
1
3
3
6 1
6 1
n
a
a
1
3
6
a 1n
3 3 3 3
6 6 6 63 2 1 5 2
n n
nk a a a a
nk N
3 3
6 6,2
n
n N Na a
3a N
3a 3 1a 3 5 6a a
3 2a 3 3a
3 2a 3 3a
1 1
1
n
n
n
b bb
12 3n
n
ka
1
1 1
1 2 3 1n
n
ka
1
nb
对 向可求和的方式进行变形,得到 ,从而可想到利
用 裂 项 相 消 的 方 式 进 行 求 和 , 得 到 。 对 于 右 侧
只能考虑进行放缩,针对 的特点可向等比
数 列 靠 拢 , 结 合 不 等 号 方 向 可 得 : 。 所 以
。 于 是 所 证 的 不 等 式 就 变 为 只 需 证 明
,即证明 ,考虑对 进行放缩,抓住
这个特点,由已知可得 为递增数列,则 ,但右侧为 ,无法直接放缩
证 明 , 所 以 要 对 的 放 缩 进 行 调 整 , 计 算 出 可 得 , 进 而
,但此时只能证明 时,不等式成立。对于
有限的项,逐次验证即可。
由(1)可得:
1 1
1
n
n
n
b bb
1
1 1 1 21 1n n n
nb b b
1 2 3 1 2
1 1 1 1 2 1
3n nb b b b b b b
1 2
1 1 1
1 1 1nk k ka a a 1
1 1
1 2 3 1n
n
ka
1 1
1 1 1
1 2 3 1 3n
n n
ka
1 2
1 1 1 1 111 1 1 6 3n
n
k k ka a a
1
1 2
2 1 2 2
3 3 3n
nb b b
1
1 2
1 2
3n
nb b b
1 2
1
nb b b
1 3b
nb 3nb 1
2 2 1
3 3 3n n
1 2
1
nb b b
1 2 3, ,b b b 4
1 2 3
1 2
3b b b
4 3 1
1 2 1 2 3 4
1 1 1 2 1 2
3 3 3n n
n nb b b b b b b b
4n
1,2,3n
1 1
1
n
n
n
b bb
1
1
1 11 1 1 1n n n
n n n
b b b b b b
1
1 1 1
1 1n n nb b b
1
1 1 1
1 1n n nb b b
2n
1 2 3
1 1 1 1
nb b b b
当 时,
只需证明: 即可
即证明:
由 可知 为递增数列
由 可得:
1 2 3 3 4 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1n nb b b b b b b
1 2 1
1 1 1
1 1nb b b
1 1 1 23, 1n nb b b b b
1 1 21n nb b b b
1 2 3 1 1 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 2 1
3n n nb b b b b b b b b b b b
3 2a 12 3n
n
ka
1 1
1 1 1
1 2 3 1 3n
n n
ka
1 2
2 3 1
1 119 31 1 1 1 1 1
11 1 1 3 3 3 1 3
n
n
n
k k ka a a
1 116 3
n
1 2
1
1 1 1 1 1 2 1 2 24 4 1 11 1 1 6 3 3 3 3 3n
n n n
k k ka a a
1
1 2
2 1 2 2 33 3 3n
n
nb b b
1
1 2
1 2
3n
nb b b
1 1 1 23, 1n nb b b b b nb
1 3 2nb b n
1 1 1 23, 1n nb b b b b 2 1 3 1 21 4, 1 13b b b b b
4
1 2 3
3 813 4 13 156 2 2b b b
时,
时,
当 时,可知 成立
得证
时,
成立
当 时,
当 时, ,
综上所述: 恒成立
4
1 2 3
1 2
3b b b 3n 3nb 1 1
3nb
3n 4 3 1
1 2 1 2 3 4
1 1 1 2 1 2
3 3 3n n
n nb b b b b b b b
3n 4
1 2 3
1 2
3b b b
1
1 2
1 2
3n
nb b b
3n 1
1 2
2 1 2 2 33 3 3n
n
nb b b
1 21 2 3
1 1 1 1 1 1 14 1 1 1nn k k kb b b b a a a
1n
11
1 1 1 4,43 1 17kb a 1
1 4
17b
2n
1 2
1 1 7
12b b
1 2
1 1 1 14 41 1 17 53k ka a
1 21 2
1 1 1 14 1 1k kb b a a
1 21 2 3
1 1 1 1 1 1 14 1 1 1nn k k kb b b b a a a