黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学2019-2020学年高二下学期阶段性线上考试数学（理）试卷 14页

数学（理科）试题 一、选择题 ‎1.复平面内表示复数z＝的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.在等比数列{an}中，，，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2‎ ‎3.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎4.若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（　　）‎ A. 2 B. 14 C. 2 D. 8‎ ‎5.已知,则 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=‎ A． B． C． D．‎ ‎7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c成等比数列，且，则cos B等于 A. B. C. D. ‎ ‎9.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， ‎ ‎（C）， （D），‎ ‎12.已知P，Q是边长为1的正方形ABCD边上的两个动点，则的取值范围为（ ）‎ A．[－1,1] B．[－1,2] C． D．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.（06年上海卷理）如果＝，且是第四象限的角，那么＝                   ．‎ ‎14.设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．‎ ‎15.在四边形ABCD中，，点E在线段CB的延长线上，且，则 .‎ ‎16.在正项等比数列中，，，则满足的 最大正整数的值为 ▲ ‎ 三、解答题 ‎17.（本题满分10分）‎ 已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.‎ ‎（I）求C；‎ ‎（II）若c=, △ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.‎ ‎（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；‎ ‎（2）求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，.‎ ‎（1）求Sn；‎ ‎（2）记，求Tn.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，，AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影，N是PC的中点．‎ ‎（1）求证：平面MPB⊥平面PBC；‎ ‎（2）若，直线BN与平面PMC所成角的正弦值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数，为的导数．证明：‎ ‎（1）在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）有且仅有2个零点．‎ 试卷答案 ‎1.C 解：∵z＝＝＝，‎ ‎∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为（），位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎2.B ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，由等比数列的定义知与同号，再利用等比中项的性质可求出的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，，.‎ 由等比中项的性质可得，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎3.D ‎【分析】‎ 先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.‎ ‎【详解】，，.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.‎ ‎4.A ‎【分析】‎ 由已知可得||，根据数量积公式求解即可．‎ ‎【详解】||‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．‎ ‎5.B ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．‎ ‎【详解】，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．‎ ‎6.‎ B ‎，，‎ 则，所以，‎ 所以.‎ ‎7.D ‎【分析】‎ 通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，故只需把函数 的图象 上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.‎ ‎8.B ‎【分析】‎ 成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．‎ ‎【详解】解：成等比数列，，又，，‎ 则 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9.B ‎【分析】‎ 利用向量的加减运算求解即可 ‎【详解】据题意，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题 ‎10.C 解：中，，‎ 根据正弦定理，得，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎，得，可得．‎ 故选：．‎ ‎11.‎ A 由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．‎ ‎12.A ‎13.答案：‎ 解析：已知；‎ ‎14.‎ 分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.‎ 详解： ‎ 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.‎ ‎15.‎ ‎－1‎ 建立如图所示的直角坐标系，则，.‎ 因为∥，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以直线的斜率为，其方程为，‎ 直线的斜率为，其方程为.‎ 由得，，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎16.12‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又时符合题意，所以的最大值为 ‎17.‎ ‎（Ⅰ）由，，‎ ‎．‎ 得 ‎．‎ ‎（Ⅱ）由与得 ‎．‎ ‎．‎ 所以的最小正周期是．‎ 由正弦函数的性质得 ‎，‎ 解得 ‎，‎ 所以，的单调递增区间是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y=Asin(ωx+φ)的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即 ‎，然后利用三角函数y=Asinμ的性质求解．‎ ‎18.‎ 解：（I）由已知及正弦定理得，，‎ 即 ．‎ 故 ．‎ 可得，所以．‎ ‎（II）由已知，．‎ 又，所以ab=6．‎ 由已知及余弦定理得，a2+b2-2abcosC=7．‎ 故a2+b2=13，从而(a+b)2=25．‎ 所以三角形ABC的周长为5+．‎ ‎19.‎ 解：（1）由题设得，即．‎ 又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．‎ 由题设得，‎ 即．‎ 又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎20.（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）由基本量法，得到，解得，所以；（2），利用裂项相消法，求得。‎ 试题解析：‎ ‎（1），解得，所以；‎ ‎（2），‎ 所以。‎ 点睛：本题考查等差数列的基本性质与裂项相消求和。等差数列的基本题型中，熟悉掌握基本量法的应用，求得基本量，得到相关求解答案。裂项相消求和主要掌握其基本结构，知道哪些求和可以利用裂项来处理的。‎ ‎21.(1)见解析（2）‎ 试题分析:(1)根据菱形性质得MB⊥BC，再根据射影定义得PM⊥平面ABCD ，即得PM⊥BC ，由线面垂直判定定理得BC⊥平面PMB，最后根据面面垂直判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面PMC法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.‎ 试题解析: (1)证明　∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，‎ 且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.‎ 又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，‎ ‎∴PM⊥平面ABCD，‎ 又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，‎ 而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，‎ ‎∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，‎ ‎∴平面MPB⊥平面PBC.‎ ‎(2)解　法一　过点B作BH⊥MC，连接HN，‎ ‎∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，‎ 又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，‎ ‎∴BH⊥平面PMC，‎ ‎∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，‎ ‎∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，‎ 在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，‎ MC＝＝a.‎ 又由(1)知MB⊥BC，‎ ‎∴在△MBC中，BH＝＝a，‎ 由(1)知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，‎ ‎∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，‎ ‎∴sin∠BNH＝＝＝.‎ 法二　由(1)知MA，MB，MP两两互相垂直，以M为坐标原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，不妨设MA＝1，‎ 则M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，C(－2，，0)，‎ ‎∵N是PC的中点，∴N，‎ 设平面PMC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，‎ 又∵＝(0，0，)，＝(－2，，0)，‎ ‎∴即 令y0＝1，则n＝，|n|＝，‎ 又∵＝，||＝，‎ ‎|cos〈，n〉|＝＝.‎ 所以，直线BN与平面PMC所成角的正弦值为.‎ ‎22.‎ 解：（1）设，则，.‎ 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，‎ 设为.‎ 则当时，；当时，.‎ 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.‎ ‎（2）的定义域为.‎ ‎（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.‎ ‎（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.‎ 又，，所以当时，.从而，在没有零点.‎ ‎（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.‎ ‎（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.‎ 综上，有且仅有2个零点.‎