数学文卷·2017届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2017 13页

惠州市2017届高三第三次调研考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。‎ ‎3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）若集合，且，则集合可能是( ) ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知向量若，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的( )条件 ‎（A）充分不必要 （B）必要不充分条件 （C）充要 （D）既不充分也不必要 ‎（4）双曲线的离心率，则它的渐近线方程为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，‎ 则该几何体的侧视图为( )‎ ‎（7）在中，角的对边分别是，已知，且，‎ 则的面积为( )‎ ‎（A）　 （B）　　（C）　 （D）‎ ‎（8）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为( )‎ ‎（A）7　　 （B）9　　 （C）10　　（D）11‎ ‎（9）已知实数x，y满足：，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎（10）已知函数的图象关于对称，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则小球的表面积等于 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知，则不等式的解集为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）若复数满足(是虚数单位)，则的共轭复数是____________.‎ ‎（14）若角满足，则的值等于____________.‎ ‎（15）已知直线与圆交于两点，且为等边三角形，则圆的面积为____________.‎ ‎（16）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的零点，则的取值范围是____________．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知数列中，点在直线上，且首项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列的前项和为，等比数列中，，，‎ 数列的前项和为，请写出适合条件的所有的值.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元；未售出的产品，每盒亏损元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示。该同学为这个开学季购进了盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润。‎ ‎（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）将表示为的函数，并根据直方图估计利润不少于元的概率。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图所示的多面体ABCDE中，已知ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，AE=BE.‎ ‎（Ⅰ）若M是DE的中点，试在AC上找一点N，‎ 使得MN//平面ABE，并给出证明；‎ ‎（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，‎ 求实数的取值范围．‎ 请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x)＝|x－a|.‎ ‎（Ⅰ）若不等式f (x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f (x)＋f (x＋5)≥m对一切实数x恒成立，‎ 求实数m的取值范围．‎ 惠州市2017届第三次调研考试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B A A B A B B D C D ‎1.【解析】因为，只有满足。‎ ‎2.【解析】解得.‎ ‎3.【解析】是偶函数不能推出的图像关于原点对称，反之可以。‎ ‎4.【解析】双曲线的离心率，可得，可得，双曲线的渐近线方程为：．‎ ‎5.【解析】 设田忌的上，中，下三个等次马分别为，，，齐王田忌的上，中，下三个等次马分别为，从双方的马匹中随机的选一匹比赛的所有可能有共9种，田忌马获胜有3种，田忌马获胜的概率为.‎ ‎6.【解析】从几何体的左面看，对角线在视线范围内，画实线，右侧面的棱不在视线范围内，画虚线。且上端点位于几何体上底面边的中点。‎ ‎7.【解析】由正弦定理，又，且 ‎，所以，所以，所以 ‎8.【解析】否；否；‎ 否； 否；‎ 是，输出故选B．‎ ‎9.【解析】如图，当直线经过点时满足，,所以 ‎10.【解析】，可得，所以，横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，，所以函数的对称轴的方程为.当时，对称轴的方程为.故选：D．‎ ‎11.【解析】当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为（各棱长都相等），依题意，（也可以直接计算体积求得）易得小三棱锥的高为，设小球半径为，则故小球的表面积故选C.‎ ‎12.【解析】，因为所以是偶函数。 所以所以变形为：‎ ‎ 又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故选D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎13.【解析】，所以的共轭复数是.‎ ‎14.【解析】∵点在直线上，∴，∴，‎ ‎.‎ ‎15.【解析】，因此C到直线距离为，圆的面积为 ‎16.【解析】函数为偶函数，且左减右增．函数的对称轴为，且向右单调递增．故当时函数先减后增，当时函数单调递增，要有三个不同的零点，则必须满足，解得.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：（I）根据已知，即， ……2分 所以数列是一个等差数列， ………4分 ‎（II）数列的前项和 ……………6分 等比数列中，，，所以， ……8分 数列的前项和 ……10分 即，又，所以或2 …12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由频率直方图得：需求量为的频率，  需求量为的频率，需求量为[140,160)的频率，  则中位数 ……………4分 ‎（Ⅱ）因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，  所以当 时，  …………5分 当时，…………7分 所以 . ……………8分 因为利润不少于4800元，所以，解得,…………10分 所以由（1）知利润不少于4800元的概率   ……………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 证：（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求,证明如下：‎ 因为ABCD为正方形，‎ 所以N是BD的中点，又M是DE中点，‎ 容易知道MN//BE，‎ BE平面ABE，‎ MN平面ABE，‎ ‎∴MN//平面ABE……………………………………6分 ‎（其它求法如化归为面面平行给相应分数）‎ ‎（Ⅱ）取AB的中点F，连接EF 因为是等腰直角三角形，并且 所以，‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABE，‎ 平面ABCD∩平面ABE=AB，‎ EF ‎∴EF ⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高 ‎∴VE—ABCD= ……………………12分 ‎（其它求法如分割给相应分数）‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则，‎ 因为在椭圆上，所以， ．．．．．．．．．2分 因此，故椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）椭圆上不存在这样的点，证明如下：设直线的方程为，‎ 设，，的中点为，‎ 由消去，得， ……………6分 所以，且，故且．．．．．8分 由得 ．．．．．．．．．9分 所以有，．．．．．．．．．．．．10分 ‎(也可由知四边形为平行四边形 而为线段的中点，因此，也为线段的中点，‎ 所以，可得)，‎ 又，所以，与椭圆上点的纵坐标的取值范围矛盾。．．．．．．11分 因此点不在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）当，．‎ 令得，．………………………………1分 又的定义域为，由得，由得，．‎ 所以时，有极小值为1．‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为．………………3分 ‎（Ⅱ）若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于0．‎ ‎，且，令，得到………………………4分 当，即时，恒成立，即在区间上单调递减…………5分 故在区间上的最小值为，………………………6分 由，得，即．………………………………………………7分 当即时，‎ ‎①若，则对成立，所以在区间上单调递减………8分 则在区间上的最小值为，‎ 显然，在区间的最小值小于0不成立．………………………9分 ‎②若，即时，则有 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上的最小值为，……………………10分 由，得，解得，即，……11分 综上，由①②可知，符合题意．………………12分 ‎22. （本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由得． ‎ ‎∵,,, ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即. ……………4分 ‎（Ⅱ）将代入圆的方程得,‎ 化简得． ……………5分 设两点对应的参数分别为、,则 ……………6分 ‎∴． ……………8分 ‎∴,,或． ……………10分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由f(x)≤3，得|x－a|≤3.解得a－3≤x≤a＋3.‎ 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}．‎ 所以解得a＝2. ………………………………4分 ‎（Ⅱ）当a＝2时，f(x)＝|x－2|.‎ 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.‎ 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，‎ ‎∴g(x)的最小值为5.‎ 因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，‎ 知实数m的取值范围是(－∞，5]． …………………………………10分