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  • 2021-06-10 发布

数学卷·2018届河北省邯郸市临漳一中高二上学期期中考试数学理试卷(解析版)

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‎2016-2017学年河北省邯郸市临漳一中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、单选题(共18小题,每题5分,每题中只有一个选项是正确的)‎ ‎1.不等式x2﹣2x+3<0的解集是(  )‎ A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣3<x<1} C.{x|x<﹣3或x>1} D.∅‎ ‎2.在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B为(  )‎ A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°‎ ‎3.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=(  )‎ A.10 B.18 C.20 D.28‎ ‎4.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a3>b3 B. C.ab>1 D.lg(b﹣a)<0‎ ‎5.实数x、y满足条件,则z=x﹣y的最小值为(  )‎ A.1 B.﹣1 C. D.2‎ ‎6.已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形的周长为(  )‎ A.15 B.18 C.21 D.24‎ ‎7.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积(  )‎ A.3 B. C. D.3‎ ‎8.设等差数列{an}的公差不等于0,且其前n项和为Sn.若2a8=6+a11且a3,a4,a6成等比数列,则S8=(  )‎ A.40 B.54 C.80 D.96‎ ‎9.已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则=(  )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎10.已知函数f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),则的最小值等于(  )‎ A.2 B. C.2+ D.2‎ ‎11.已知狆:p:≥1,q:|x﹣a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,3] B.[2,3] C.(2,3] D.(2,3)‎ ‎12.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q ‎13.下列说法不正确的是(  )‎ A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题 B.命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”‎ C.设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件 D.当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减 ‎14.设x∈R,则“x2=1”是“x=1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎15.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎16.已知椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,则椭圆的标准方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎17.设等比数列{an}的公比为q,其前n项之和为Sn,前n项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2016a2017>1,<0,下列结论中正确的是(  )‎ A.q<0 B.a2016a2018﹣1>0‎ C.T2016是数列{Tn}中的最大项 D.S2016>S2017‎ ‎18.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.(0,) C.[,1) D.[,1)‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎19.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为  .‎ ‎20.已知数列{an}满足anan+1=(﹣1)n(n∈N*),a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S2015=  .‎ ‎21.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是  .‎ ‎22.直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点,若以(m,n)为点P的坐标,则过点P的一条直线与椭圆的公共点有  个.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共4小题,每题10分,共40分.)‎ ‎23.(10分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.‎ ‎(Ⅰ)求cos∠CAD的值;‎ ‎(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长.‎ ‎24.(10分)已知数列{an}满足a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+)‎ ‎(1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1),求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎25.(10分)已知命题p:∃x∈R,x2+2x﹣m=0;命题q:∀x∈R,mx2+mx+1>0.‎ ‎(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若命题q为假命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若命题p∨q为真命题,且p∧q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎26.(10分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市临漳一中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、单选题(共18小题,每题5分,每题中只有一个选项是正确的)‎ ‎1.(2016秋•临漳县校级期中)不等式x2﹣2x+3<0的解集是(  )‎ A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣3<x<1} C.{x|x<﹣3或x>1} D.∅‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】根据题意,对x2﹣2x+3变形分析可得方程x2﹣2x+3=0无解,由一元二次不等式的解法分析可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,‎ 分析易得方程x2﹣2x+3=0无解,‎ 则不等式x2﹣2x+3<0的解集∅;‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集的问题,解题时应先判定对应方程解的情况,是容易题.‎ ‎ ‎ ‎2.(2016春•曲靖校级期末)在△ABC中,若a=2,b=2,A=30°,则B为(  )‎ A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可知 =,‎ ‎∴sinB==‎ ‎∵B∈(0,180°)‎ ‎∴∠B=60°或120°°‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.正弦定理常用来运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系.属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(2016•吴忠模拟)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=(  )‎ A.10 B.18 C.20 D.28‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【专题】计算题;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】根据等差数列性质可得:3a5+a7=2(a5+a6)=2(a3+a8).即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由等差数列的性质得:‎ ‎3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+(2a6)=2(a5+a6)=2(a3+a8)=20,‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质及其应用,属基础题,准确理解有关性质是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(2013•深圳二模)设0<a<b<1,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a3>b3 B. C.ab>1 D.lg(b﹣a)<0‎ ‎【考点】不等关系与不等式.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】直接利用条件,通过不等式的基本性质判断A、B的正误;指数函数的性质判断C的正误;对数函数的性质判断D的正误;‎ ‎【解答】解:因为0<a<b<1,由不等式的基本性质可知:a3<b3,故A不正确;,所以B不正确;由指数函数的图形与性质可知ab<1,所以C不正确;由题意可知b﹣a∈(0,1),所以lg(b﹣a)<0,正确;‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查不等式的基本性质,指数函数与对数函数的基本性质的应用,考查基本知识的掌握情况.‎ ‎ ‎ ‎5.(2016•葫芦岛二模)实数x、y满足条件,则z=x﹣y的最小值为(  )‎ A.1 B.﹣1 C. D.2‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【专题】计算题;作图题;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】由题意作出其平面区域,将z=x﹣y化为y=x﹣z,﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距,由几何意义可得.‎ ‎【解答】解:由题意作出其平面区域,‎ 将z=x﹣y化为y=x﹣z,﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距,‎ 则过点(0,1)时,z=x﹣y取得最小值,‎ 则z=0﹣1=﹣1,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(2015•潮南区模拟)已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形的周长为(  )‎ A.15 B.18 C.21 D.24‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【专题】解三角形.‎ ‎【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列,设出三边为a,a+2,a+4,根据最大角的正弦值求出余弦值,利用余弦定理求出a的值,即可确定出三角形的周长.‎ ‎【解答】解:根据题意设△ABC的三边长为a,a+2,a+4,且a+4所对的角为最大角α,‎ ‎∵sinα=,∴cosα=或﹣,‎ 当cosα=时,α=60°,不合题意,舍去;‎ 当cosα=﹣时,α=120°,由余弦定理得:cosα=cos120°==﹣,‎ 解得:a=3或a=﹣2(不合题意,舍去),‎ 则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理,等差数列的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(2016•海南校级二模)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(a﹣b)2+6,C=,则△ABC的面积(  )‎ A.3 B. C. D.3‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【专题】解三角形.‎ ‎【分析】根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵c2=(a﹣b)2+6,‎ ‎∴c2=a2﹣2ab+b2+6,‎ 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6,‎ ‎∵C=,‎ ‎∴cos===,‎ 解得ab=6,‎ 则三角形的面积S=absinC==,‎ 故选:C ‎【点评】本题主要考查三角形的面积的计算,根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(2016秋•临漳县校级期中)设等差数列{an}的公差不等于0,且其前n项和为Sn.若2a8=6+a11且a3,a4,a6成等比数列,则S8=(  )‎ A.40 B.54 C.80 D.96‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【专题】等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】由已知得,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}的公差不等于0,且其前n项和为Sn.‎ ‎2a8=6+a11且a3,a4,a6成等比数列,‎ ‎∴,‎ 由d≠0,解得a1=﹣2,d=2,‎ ‎∴=40.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前8项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.(2016秋•临漳县校级期中)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则=(  )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q,由于a3=2,a4a6=16,可得=2,=16,解得q2.可得=q4.‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a3=2,a4a6=16,∴=2,=16,‎ 解得q2=2.‎ 则==q4=4.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(2016•平度市三模)已知函数f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),则的最小值等于(  )‎ A.2 B. C.2+ D.2‎ ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用.‎ ‎【专题】不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】根据对数的运算性质,可得ab=1(a>b>0),进而可将=(a﹣b)+,进而根据基本不等式,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=|lgx|,a>b>0,f(a)=f(b),‎ 则lga=﹣lgb,则a=,即ab=1(a>b>0)‎ ‎==(a﹣b)+≥2‎ 故的最小值等于2‎ 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是对数的性质,基本不等式,其中根据已知得到ab=1是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(2016秋•临漳县校级期中)已知狆:p:≥1,q:|x﹣a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,3] B.[2,3] C.(2,3] D.(2,3)‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【专题】简易逻辑.‎ ‎【分析】求出p,q的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由≥1,即≥0,解得2<x≤3,‎ 由|x﹣a|<1得a﹣1<x<a+1,‎ 若p是q的充分不必要条件,‎ 则,‎ 解得2<a≤3.‎ 实数a的取值范围为(2,3].‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎12.(2013•新课标Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【专题】阅读型;简易逻辑.‎ ‎【分析】举反例说明命题p为假命题,则¬p为真命题.引入辅助函数f(x)=x3+x2﹣1,由函数零点的存在性定理得到该函数有零点,从而得到命题q为真命题,由复合命题的真假得到答案.‎ ‎【解答】解:因为x=﹣1时,2﹣1>3﹣1,所以命题p:∀x∈R,2x<3x为假命题,则¬p为真命题.‎ 令f(x)=x3+x2﹣1,因为f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0.所以函数f(x)=x3+x2﹣1在(0,1)上存在零点,‎ 即命题q:∃x∈R,x3=1﹣x2为真命题.‎ 则¬p∧q为真命题.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的真假,考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法,解答的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎13.(2016秋•临漳县校级期中)下列说法不正确的是(  )‎ A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题 B.命题“∃x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0”‎ C.设A,B是两个集合,则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件 D.当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减 ‎【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断;幂函数的性质.‎ ‎【专题】计算题;简易逻辑.‎ ‎【分析】逐项判断即可.‎ ‎【解答】解:A、p且q为假,根据复合命题的判断方法知,p,q至少有一个为假,故A正确;‎ B、根据特称命题的否定形式知B正确;‎ C、当A⊆B可得A∩B=A,反之,当A∩B=A时,也可推出A⊆B,所以“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件,故C错误;‎ D、由幂函数的性质易知D正确.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查命题的判断,充分必要条件等知识.考查学生对基本知识的掌握和运用.属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.(2015•武汉模拟)设x∈R,则“x2=1”是“x=1”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】解方程x2=1,易判断“x2=1⇒x=1”与“x=1⇒x2=1”的真假,进而根据充要条件的定义,得到答案.‎ ‎【解答】解:当x2=1时,x=±1,此时x=1不成立 故x2=1是x=1的不充分条件;‎ 当x=1时,此时x2=1一定成立 故x2=1是x=1的必要条件;‎ x∈R,则“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件;‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,分别判断“x2=1⇒x=1”与“x=1⇒x2=1”的真假,是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(2016•淮南一模)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】设|PF2|=x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.‎ ‎【解答】解:设|PF2|=x,‎ ‎∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,‎ ‎∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,‎ 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ‎∴2a=3x,2c=x,‎ ‎∴C的离心率为:e==.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质,利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力.‎ ‎ ‎ ‎16.(2004秋•丰台区期末)已知椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,则椭圆的标准方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】根据椭圆方程为标准方程,及椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),且点(0,2)在椭圆上,可得相应几何量,从而得解.‎ ‎【解答】解:由题意,因为椭圆的两个焦点是(﹣3,0),(3,0),‎ 所以c=3,‎ 又因为椭圆过点(0,2),‎ 所以b=2,‎ 根据a2=b2+c2,可得a=.‎ 故椭圆的标准方程为:‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题以椭圆的性质为载体,考查椭圆的标准方程,解题的关键是正确运用椭圆的几何性质.‎ ‎ ‎ ‎17.(2016秋•临漳县校级期中)设等比数列{an}的公比为q,其前n项之和为Sn,前n项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2016a2017>1,<0,下列结论中正确的是(  )‎ A.q<0 B.a2016a2018﹣1>0‎ C.T2016是数列{Tn}中的最大项 D.S2016>S2017‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】a1>1,a2016a2017>1,<0,可得a2016>1,a2017<1,即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:∵a1>1,a2016a2017>1,<0,‎ ‎∴a2016>1,a2017<1,‎ ‎∴T2016是数列{Tn}中的最大项,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(2014•唐山二模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.(0,) C.[,1) D.[,1)‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】作出简图,则>,则e=.‎ ‎【解答】解:由题意,如图 若在椭圆C1上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,‎ 由∠APO>45°,‎ 即sin∠APO>sin45°,‎ 即>,‎ 则e=,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎19.(2010•山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为  .‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦;正弦定理.‎ ‎【专题】解三角形.‎ ‎【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,即sin2B=1,根据三角形的内角和定理得到0<B<π得到B的度数.利用正弦定理求出A即可.‎ ‎【解答】解:由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,即sin2B=1,‎ 因为0<B<π,所以B=45°,b=2,所以在△ABC中,‎ 由正弦定理得:,‎ 解得sinA=,又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理,考查了同学们解决三角形问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎20.(2015秋•福建期末)已知数列{an}满足anan+1=(﹣1)n(n∈N*),a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S2015= ﹣1 .‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【专题】计算题;分类讨论;转化思想;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】由数列{an}满足,a1=1,可得a4k﹣3=1,a4k﹣2=﹣1,a4k﹣1=﹣1,a4k=1,k∈N*.即可得出.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}满足,a1=1,‎ ‎∴a2=﹣1,a3=﹣1,a4=1,a5=1…,‎ ‎∴a4k﹣3=1,a4k﹣2=﹣1,a4k﹣1=﹣1,a4k=1,k∈N*.即数列各项的值呈周期性出现 ‎∴S2015=503×(1﹣1﹣1+1)+(1﹣1﹣1)=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查了递推关系的应用,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(2015秋•朝阳区期末)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是 4 .‎ ‎【考点】等比数列的通项公式;数列的函数特性.‎ ‎【专题】计算题;等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】由基本不等式可得,a1+2a3≥2=,结合已知即可求解 ‎【解答】解:∵a2=2,且an>0‎ 由基本不等式可得,a1+2a3≥2==4‎ 即最小值为 故答案为:‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用.‎ ‎ ‎ ‎22.(2005秋•泰州期末)直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点,若以(m,n)为点P的坐标,则过点P的一条直线与椭圆的公共点有 2 个.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线与圆的位置关系.‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】根据直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解,利用根的判别式小于零求出m与n的关系式,得到m与n的绝对值的范围,在根据椭圆的长半轴长和短半轴长,比较可得公共点的个数.‎ ‎【解答】解:将直线mx+ny﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3,消去x,得 ‎(m2+n2)y2﹣6ny+9﹣3m2=0.令△<0得,m2+n2<3.‎ 又m、n不同时为零,∴0<m2+n2<3.‎ 由0<m2+n2<3,可知|n|<,|m|<,‎ 再由椭圆方程a=,b=可知P(m,n)在椭圆内部,‎ ‎∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个.‎ 故答案为2.‎ ‎【点评】考查学生综合运用直线和圆方程的能力.以及直线与圆锥曲线的综合运用能力,是中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共4小题,每题10分,共40分.)‎ ‎23.(10分)(2014•湖南)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.‎ ‎(Ⅰ)求cos∠CAD的值;‎ ‎(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣,sin∠CBA=,求BC的长.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【专题】解三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用余弦定理,利用已知条件求得cos∠CAD的值.‎ ‎(Ⅱ)根据cos∠CAD,cos∠BAD的值分别,求得sin∠BAD和sin∠CAD,进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值,最后利用正弦定理求得BC.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)cos∠CAD===.‎ ‎(Ⅱ)∵cos∠BAD=﹣,‎ ‎∴sin∠BAD==,‎ ‎∵cos∠CAD=,‎ ‎∴sin∠CAD==‎ ‎∴sin∠BAC=sin(∠BAD﹣∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=,‎ ‎∴由正弦定理知=,‎ ‎∴BC=•sin∠BAC=×=3‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用.‎ ‎ ‎ ‎24.(10分)(2016秋•临漳县校级期中)已知数列{an}满足a1=4,an+1=3an﹣2(n∈N+)‎ ‎(1)求证:数列{an﹣1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1),求数列{}的前n项和Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.‎ ‎【专题】等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】(I)由an+1=3an﹣2(n∈N+),变形为an+1﹣1=3(an﹣1),即可证明.‎ ‎(II)由(I)可得log3(an﹣1)=n.可得bn=1+2+…+n=.可得==2.利用“裂项求和”即可得出.‎ ‎【解答】(I)证明:∵an+1=3an﹣2(n∈N+),‎ ‎∴an+1﹣1=3(an﹣1),‎ ‎∴数列{an﹣1}为等比数列,a1﹣1=3.‎ ‎∴an﹣1=3n,‎ ‎∴.‎ ‎(II)解:由(I)可得log3(an﹣1)=n.‎ ‎∴bn=log3(a1﹣1)+log3(a2﹣1)+…+log3(an﹣1)=1+2+…+n=.‎ ‎∴==2.‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法,考查了变形能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)(2014秋•宜宾期末)已知命题p:∃x∈R,x2+2x﹣m=0;命题q:∀x∈R,mx2+mx+1>0.‎ ‎(Ⅰ)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若命题q为假命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若命题p∨q为真命题,且p∧q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假;全称命题.‎ ‎【专题】简易逻辑.‎ ‎【分析】( I)若命题p为真命题,则x2+2x﹣m=0有实数根,根据△≥0,解出即可;‎ ‎(II)若命题q为假命题,通过讨论(1)m=0时,(2)m>0时,(3)m<0时的情况,从而得到答案.‎ ‎(III)通过讨论“p真,q假”或“p假,q真”的情况,得到不等式组,解出即可.‎ ‎【解答】解:( I)若命题p为真命题,则x2+2x﹣m=0有实数根,‎ ‎∴△=4+4m≥0,解得:m≥﹣1,‎ 即m的取值范围为[﹣1,+∞);‎ ‎(II)若命题q为假命题,则 ‎(1)m=0时,不合题意; ‎ ‎(2)m>0时,△=m2﹣4m≥0,解得:m≥4; ‎ ‎(3)m<0时,符合题意. ‎ 综上:实数m的取值范围为(﹣∞,0)∪[4,+∞).‎ ‎(III)由( I)得p为真命题时,m≥﹣1;p为假命题时,m<﹣1,‎ 由(II)得q为真命题时,0≤m<4;q为假命题时,m<0或m≥4,‎ ‎∵p∨q为真命题,且p∧q为假命题,∴“p真,q假”或“p假,q真”‎ ‎∴或,‎ 解得实数m的取值范围为[﹣1,0)∪[4,+∞).‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的真假,考查了二次函数的性质,考查了分类讨论思想,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎26.(10分)(2016•重庆校级模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为,且经过点(0,1).‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ ‎【分析】(1)记椭圆C的半焦距为c.由题意,得b=1,=,由此能求出a,b.‎ ‎(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.设直线l的方程为y=kx+m,由,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离,结合知识点能求出m.‎ ‎【解答】(本小题满分16分)‎ 解:(1)记椭圆C的半焦距为c.‎ 由题意,得b=1,=,c2=a2+b2,‎ 解得a=2,b=1.…(4分)‎ ‎(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1,圆C1的方程为x2+y2=5.‎ 显然直线l的斜率存在.‎ 设直线l的方程为y=kx+m,即kx﹣y+m=0. …(6分)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,‎ 故方程组(*)有且只有一组解.‎ 由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.‎ 从而△=(8km)2﹣4(1+4k2)( 4m2﹣4)=0.‎ 化简,得m2=1+4k2.①…(10分)‎ 因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2,‎ 所以圆心到直线l的距离d==.‎ 即=. ②…(14分)‎ 由①②,解得k2=2,m2=9.‎ 因为m>0,所以m=3. …(16分)‎ ‎【点评】本题主要考查实数值的求法,考查直线与椭圆、圆等知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.‎

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