四川省内江市2018-2019学年高二下学期期末考试检测数学（文）试题 20页

内江市 2018－2019 学年度第二学期高二期末检测题 数学(文科) 1.本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页。全卷满分 150 分，考试 时间 120 分钟。 2.答第Ⅰ卷时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答， 字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。 3.考试结束后，监考人将答题卡收回。 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题的四个选项中只有一个是 正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上。 1.设 i 是虚数单位，则复数 的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部. 【详解】 ，因此，该复数的虚部为 ，故选：B. 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算 法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 2.方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于 的不等式，解出该不等式可得出实数 的取值范围. 2 2i i − 2i 2i− 2− 2 2 2 21 1 2ii ii i − = − − = − + 2 2 2 1mx y+ = y m ( )1,+∞ ( )0, ∞+ ( )0,1 ( )0,2 m m 【详解】椭圆的标准方程为 ，由于该方程表示焦点在 轴上的椭圆， 则 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 ，故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程 化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 3.方程 至少有一个负根的充要条件是 A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 试题分析：① 时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则 ； 若方程有两个负的实根，则必有 ． ②若 时，可得 也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则 ．反之，若 ，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于 的方程 至少有一负的实根的充要条件是 ． 故答案为：C 考点：充要条件，一元二次方程根的分布 4.下列说法中不正确的是（） A.命题：“ ，若 ，则 ”，用反证法证明时应假设x≠1 或 y≠1。 B. 若 ，则 a，b 中至少有一个大于 1。 C. 若 成等比数列，则 . 2 2 11 x y m + = y 10 1m < < 1m > m ( )1,+∞ 2 2 1 0ax x+ + = 0 1a< ≤ 1a < 1a ≤ 0 1a< ≤ 0a < 0a ≠ 0a < 1 0 2{ 0 0 1 4 4 0 a aa a > − < ∴ ≤ ∆ = − ≥ ＜ ． 0a = 1 2x = − 1a ≤ 1a ≤ x 2 2 1 0ax x+ + = 1a ≤ ∈，x y R 1 1 0x y− + − = 1x y= = 2a b+ > 1 4－ ， ， ， ，－x y z 2y = ± D. 命题：“ ，使得 ”的否定形式是：“ ，总有 ”。 【答案】C 【解析】 【分析】 根据反证法的知识判断 A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断 C 选项错误.根据特 称命题的否定是全称命题的知识判断 D 选线说法正确. 【详解】对于 A 选项，反证法假设时，假设“ 或 ”，说法正确.对于 B 选项，假设 两个都不大于 ，即 ，则 与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对 于 C ，假设等比数列公比为 ，则 ，所以 C 选项说法错误.对于 D 选 项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知 D 选项说法正确.综上所述，本小题选 C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称 命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题. 5.函数 的单调递增区间是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间. 【 详 解 】 依 题 意 ， 函 数 的 定 义 域 为 ， ，故当 时， ，所以 函数的单调递增区间为 ，故选 C. 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题. 6.执行如图的程序框图，若输入的 ，则输出 n 的值为（） [0,1]∃ ∈m 1 2+ < mx x [0,1]∀ ∈m 1 2mx x + ≥ 1x ≠ 1y ≠ ,a b 1 1, 1a b≤ ≤ 2a b+ ≤ ( )0q q ≠ ( ) 21 0y q= − ⋅ < 3( ) 2ln= − − −f x x x x (0, )+∞ ( 3,1)− (0,1) (1, )+∞ ( )0, ∞+ ( ) ( )( )2 ' 2 2 2 3 12 3 2 31 x xx xf x x x x x + −− − += − − + = = − 0 1x< < ( )' 0f x > (0,1) 5＝p A. 15 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 运行程序，当 时，退出程序，输出 的值. 【详解】运行程序，输入 ， ，判断是， ，判断是， ， 判断是， ,判断否，输出 .故选 D. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序输出的结果，属于基础题. 7.双曲线 经过点 ，且离心率为 3，则它的虚轴长是（） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线经过的点和离心率，结合 列方程组，解方程组求得 的值，进而求得 虚轴长 . S P≥ n 5P = 1, 0n S= = 1, 2S n= = 3, 3S n= = 7, 4S n= = 4n = 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > ( 3,2) 4 5 2 5 2 2 2c a b= + b 2b 【详解】将点 代入双曲线方程及离心率为 得 ，解得 ，故虚轴 长 ，故本小题选 A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于 基础题.解题过程中要注意：虚轴长是 而不是 . 8.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到 如下数据。 单价(元) 4 5 6 7 8 9 销量(件) 91 84 83 80 75 67 由表中数据求得线性回归方程 ，则 元时预测销量为（） A. 45 件 B. 46 件 C. 49 件 D. 50 件 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出 代入回归直线方程，求得 ，再令 求得预测值. 【详解】依题意 ，代入 得 ，即 ， 当 时， ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点 ，考查利用回归直线方程进行预测， 属于基础题. 9.抛物线 的一条焦点弦为 AB，若 ，则 AB 的中点到直线 的距离是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 ( )3,2 3 2 2 2 2 2 3 4 1 3 a b c a c a b  − =  =  = +  2 5b = 2 4 5b = 2b b ˆ ˆ4= − +y x a 15＝x ,x y a 15x = 6.5, 80x y= = ˆ ˆ4= − +y x a  80 6.5 4 106a = + × = ˆ 4 106y x= − + 15x =  60 106 46y = − + = ( ),x y 2 4y x＝ 8AB = 2x = − 【答案】B 【解析】 【分析】 设出 两点的坐标，根据抛物线方程求得 的值，利用抛物线的定义，求得 中点到直 线 的距离. 【详解】设 ，抛物线方程为 ，故 .根据抛物线的定义有 ，所以 中点的横坐标为 ，故 中点到直线 的距离为 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题. 10.函数 ，且 在 处有极值 10，则 a，b 的值是（） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数 在 处极值为 列方程组，解方程组求得 的值. 【 详 解 】 ， 由 于 函 数 在 处 极 值 为 , 所 以 ， 解 得 或 . 当 ， ，函数没有极值.所以 ，故选 B. 【点睛】本小题主要考查根据函数的极值求得函数的解析式，考查导数的运算，考查方程的 思想，属于基础题.解题过程中要注意没有极值的情况. ,A B p AB 2x = − ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 4y x= 2p = 1 2AB x x p= + + 1 2 1 22 8, 6x x x x= + + = + = AB 1 2 32 x x+ = AB 2x = − 3 2 5+ = ( ) 3 2 2＝ + + +f x x ax bx a ( )f x 1x＝ 3 3 a b = −  = 4 11 a b =  = − 5 12 a b =  = − 3 3 a b = −  = 4 11 a b =  = − ( )f x 1x = 10 ,a b ( )' 23 2f x x ax b= + + ( )f x 1x = 10 ( ) ( ) 21 1 10 1 3 2 0 f a b a f a b  = + + + = = + + =′ 3 3 a b = −  = 4 11 a b =  = − 3 3 a b = −  = ( ) ( )2' 23 6 3 3 1 0f x x x x= − + = − ≥ 4 11 a b =  = − 11.椭圆 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角 形内切圆的半径为 ，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等面积法得出 、 、 等式，可得出 、 的等量关系式，可求出椭圆的离心率. 【详解】由椭圆 短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为 ， 该三角形的周长为 ，由题意可得 ，可得 ， 得 ，因此，该椭圆的离心率为 ，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关 、 、 的齐次等式， 通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题. 12.设函数 在 上存在导函数 ，对任意实数 ，都有 ，当 时， ，若 ，则实数 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数 ，根据等式 可得出函数 为偶函 数，利用导数得知函数 在 上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在 上单调递增，由 ，得出 ，利用函数 的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可. 的 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 5 b 1 2 1 3 1 4 2 9 a b c a c ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > S bc= 2 2a c+ ( )1 2 22 5 bS bc a c= = + ⋅ 5a c c+ = 1 4 ce a = = 1 4 a b c ( )f x R ( )f x′ x ( ) ( 2)f x f x x= − + 0x < ( ) 2 1f xx′ < + ( ) ( )2 4 2f a f a a− ≤ − − + a 1 1− 1 2 1 2 − ( ) ( ) 2g x f x x x= − − ( ) ( ) 2f x f x x−= + ( )y g x= ( )y g x= ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( ) ( )2 4 2f a f a a− ≤ − − + ( ) ( )2g a g a− ≤ − ( )y g x= 【详解】构造函数 ，对任意实数 ，都有 ， 则 ， 所以，函数 为偶函数， . 当 时， ，则函数 在 上单调递减， 由偶函数的性质得出函数 在 上单调递增， ，即 ， 即 ，则有 ， 由于函数 在 上单调递增， ，即 ，解得 ， 因此，实数 的最小值为 ，故选：A. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根 据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性， 考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡上。 13.函数 的图象在 的切线方程为_____________。 【答案】 【解析】 【分析】 先求得函数在 时的导数和函数值，根据点斜式求得切线方程. 【 详 解 】 ， ， 所 以 切 线 方 程 为 ， 即 . 【点睛】本小题主要考查在函数图像上某点的切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础 题. ( ) ( ) 2g x f x x x= − − x ( ) ( ) 2f x f x x−= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2g x f x x x f x x x x f x x x g x= − − = − − + − = − + − − − = − ( )y g x= ( ) ( )g x g x∴ = 0x < ( ) ( ) 2 1 0g x f x x′ ′= − − < ( )y g x= ( ),0−∞ ( )y g x= ( )0, ∞+ ( ) ( )2 4 2f a f a a− ≤ − − +Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2f a a a f a a a− − − − − ≤ − − − − − ( ) ( )2g a g a− ≤ − ( ) ( )2g a g a− ≤ ( )y g x= ( )0, ∞+ 2 a a∴ − ≤ ( )22 a a− ≤ 1a ≥ a 1 3( ) sin 2f x x= − 3x π= 3 6 0x y π− − = π 3x = ( )' ' π 1cos , 3 2f x x f  = =   π 03f   =   1 π 2 3y x = −   3 6 0x y π− − = 14.校田径运动会中的 200 米决赛中，甲、乙、丙三个同学在被问到谁拿到冠军时，丙说：甲 拿到了冠军；乙说：我拿了冠军；甲说：丙说的真话。事实证明这三个同学中，只有一个人 说的假话，那么拿到冠军的同学是_________________。 【答案】甲 【解析】 【分析】 根据丙、甲所说同真同假，结合“只有一个人说的假话”判断出拿到冠军的同学. 【详解】依题意可知丙、甲所说同真同假，由于“只有一个人说的假话”，故丙、甲两位同学 说的为真话，故拿到冠军的同学是甲. 【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题. 15.已知函数 ，若函数 在 上为单调函数，则实数 的 取值范围是_____. 【答案】 【解析】 分析】 分两种情况讨论：函数 在区间 上为增函数或减函数，转化为 或 在区间 上恒成立，利用参变量分离得出 或 在区间 上恒成立，然后利用单调性求出函数 在区间 上的最大值和最小值，可求出实 数 的取值范围. 【详解】 ， . ①当函数 在区间 上单调递增，则不等式 在区间 上恒成立， 即 ，则 ，由于函数 在区间 上单调递增， ， ， ，解得 ； ②当函数 在区间 上单调递减，则不等式 在区间 上恒成立， 【 ( ) ( )22 ln 0xf x x x aa = − + > ( )f x [ ]1,2 a 2 10, ,15 3    ∪ +∞      ( )y f x= [ ]1,2 ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ [ ]1,2 1 14xa x ≥ − 1 14xa x ≤ − [ ]1,2 14y x x = − [ ]1,2 a ( ) 22 lnxf x x xa = − + ( ) 1 14f x xa x ′∴ = − + ( )y f x= [ ]1,2 ( ) 0f x′ ≥ [ ]1,2 1 14 0xa x − + ≥ 1 14xa x ≥ − 14y x x = − [ ]1,2 max 1 154 2 2 2y∴ = × − = 1 15 2a ∴ ≥ 0a > 20 15a< ≤ ( )y f x= [ ]1,2 ( ) 0f x′ ≤ [ ]1,2 即 ，则 ，由于函数 在区间 上单调递增， ， ， ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： . 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数 的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思 想，属于中等题. 16.已知 F 为抛物线 的焦点，点 A、B 在抛物线上位于 x 轴的两侧，且 ＝ 12(其中 O 为坐标原点)，若 的面积是 ，则 的面积是______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据三角形 的面积求得 点的纵坐标，代入抛物线方程求得 点的坐标，根据 及 点在抛物线上，求得 点的纵坐标，由此求得三角形 的面积. 【 详 解 】 设 ， 且 . 由 抛 物 线 得 ， 而 .由 ①，由于 在抛物线上，故 ②，由①②解得 ，所以 . 【点睛】本小题主要考查抛物线上点的坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查三角 形的面积公式，考查方程的思想，属于中档题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、推演步骤。 17.（1）证明不等式： ， ； （2）已知 ， ； ；p 是 q 的必要不充分条件， 求 的取值范围. 【答案】（1）见证明；（2） . 1 14 0xa x − + ≤ 1 14xa x ≤ − 14y x x = − [ ]1,2 min 14 1 31y∴ = × − = 1 3a ∴ ≤ 0a > 1 3a ≥ a 2 10, ,15 3    ∪ +∞      2 10, ,15 3    ∪ +∞      2C y x： ＝ OA OB⋅  AFOV 1 8 BFOV 1 2 AFO A A 12OA OB⋅ =  B B BFO ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 0y y⋅ < 2y x= 1 ,04F      1 1 1 1 1 1 , 1, 12 4 8AFOS y y x∆ = × × = = = 1 2 1 2 2 1 2 12OA OB x x y y x y y⋅ = + = + =  B 2 2 2y x= 2 4y = 2 1 1 1 2 4 2BFOS y∆ = × × = 1xe x≥ + x∈R 0m > ( )( ): 2 2 0p x x+ − ≤ :1 1q m x m− ≤ ≤ + m ( ]0,1 【解析】 【分析】 （1）构造函数 ，将问题转化为 ，然后利用导数求出函数 的最小值即可得证； （2）解出命题 中的不等式，由题中条件得出 的两个取值范围之间的包含关系，然后列出 不等式组可解出实数 的取值范围. 【详解】（1）即证： ， . 令 ， ，则 ，令 ，得 . 当 时， ；当 时， . 所以，函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 所以，函数 处取得极小值，亦即最小值，即 . 因此， ，因此，对任意的 ， ； （2）解不等式 ，得 ，则 . 由于 是 的必要不充分条件，则 ， 则有 ，解得 . 当 时，则 ，合乎题意. 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值 来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合间的包含关 系求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 18.已知椭圆 . （1）求椭圆 C 的离心率 e； 在 ( ) 1xf x e x= − − ( )min 0f x ≥ ( )y f x= p x m 1 0xe x− − ≥ x∈R ( ) 1xf x e x= − − x∈R ( ) 1xf x e′ = − ( ) 0f x′ = 0x = 0x < ( ) 0f x′ < 0x > ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )y f x= 0x = ( ) ( )min 0 0f x f= = ( ) ( )min 0f x f x≥ = x∈R 1xe x≥ + ( )( )2 2 0x x+ − ≤ 2 2x− ≤ ≤ : 2 2p x− ≤ ≤ p q [ ] [ ]2,2 1 ,1m m− − + 1 2 1 2 0 m m m − ≥ −  + ≤  > 0 1m< ≤ 1m = [ ] [ ]2,2 0,2−  m ( ]0,1 ( )2 2 2: 2 2 0C x y b b+ = > （2）若 ，斜率为 的直线与椭圆交于 、 两点，且 ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）将椭圆 的方程化为标准方程，得出 、 与 的等量关系，可得出椭圆 的离心率的 值； （2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，将 的值代入得出椭圆 的 方程，将直线 的方程与椭圆 联立，消去 ，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件 可求出 ，利用点到直线的距离公式计算出原点 到直线 的距离 ，然后利 用三角形的面积公式可得出 的面积. 【详解】（1） 椭圆 ， 椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ， ； （2）设斜率为 的直线 的方程为 ，且 、 ， ， 椭圆 的方程为 ， 由 ，.消去 得 ，又有 . ， 解得： 满足 ， 直线 的方程为 . 1b = 1 A B 2 11 3AB = AOB∆ 2 2e = 22 12 C a c b C l y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y b C l C y 2 11 3AB = m O l d OAB∆  ( )2 2 2 2: 1 02 x yC bb b + = > ∴ 2a b= b 2 2 2 2 21 1 2 2 c b be a a b ∴ = = − = − = 1 l y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1b =Q ∴ C 2 2: 2 2x y+ = 2 22 2 y x m x y = +  + = y 2 23 4 2 2 0x mx m+ + − = 1 2 2 1 2 4 3 2 2 3 mx x mx x − + = − ⋅ = ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 16 8 8 42 2 4 2 39 3 3 m mAB x x x x x x m −∴ = − = × + − = × − = − 2 11 3 = 2 1 4m = > 0∆ ∴ l 1 02x y− ± = 故 到直线的距离 ， . 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线 的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属 于中等题. 19.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了 50 人，他们月收入 的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百 元) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 5 2 1 (1)由以上统计数据填下面 2×2 列联表，并问是否有 99％的把握认为“月收入以 5500 元为分 界点对“楼市限购令”的态度有差异； 月收入不低于 55 百元的人数 月收入低于 55 百元的人数 合计 赞成 a=______________ c=______________ ______________ 不赞成 b=______________ d=______________ ______________ 合计 ______________ ______________ ______________ (2)试求从年收入位于 （单位：百元）的区间段的被调查者中随机抽取 2 人，恰有 1 位是赞成者的概率。 参考公式： ，其中 . 参考值表： O 1 22 42 d = = 1 1 2 11 2 22 2 2 3 4 12AOES AB d∆∴ = ⋅ = × × = [15 )25， [25 )35， [35 )45， [45 )55， [55 )65， [65 )75， [55 ]65， 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d＝ ＋ ＋ ＋ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0 05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表见解析，没有 的把握认为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题目所给数据，填写 列联表.计算 ，故没有 的把握认 为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.（2）利用列举法和古典概型概 率计算公式，计算出所求概率. 【详解】解：（1） 列联表： 月收入不低于 55 百元的人 数 月收入低于 55 百元的人 数 合计 赞成 a=_________3_____ c=______29________ _______32_______ 不赞成 b=___7___________ d=____11__________ __________18____ 合计 _____10_________ ______40________ _________50_____ 则没有 的把握认为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. （2）年收入位于 （单位：百元）的区间段的被调查者有 5 人，其中赞成者 2 人，记 为 a，b，不赞成者 3 人，记为 A，B，C. 列举如下： .2 0( )P K K≥ 0K 99 % 3 5 2 2× 2 6.27 6.635K ≈ < 99 % 2 2× 2 2 50(3 11 7 29) 6.27 6.63510 40 32 18K × − ×∴ = ≈ <× × × 99 % [55,65] ( , ),( , )( , ),( , ),( , )( , ),( , ) ;( , )( , ),( , )a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C 故所求概率为 【点睛】本小题主要考查补全 列联表，考查独立性检验，考查利用列举法求解古典概型 问题，属于基础题. 20.对于函数 ，若在定义域内存在实数 x，满足 ，则称 为“局部奇 函数”。 为定义在 上的“局部奇函数”；q：曲线 与 x 轴交于不同的两点。 (1)当 p 为真时，求 m 取值范围. (2)若“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求 m 的取值范围。 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据“局部奇函数”的定义列方程，分离常数 后利用指数函数值域和对勾函数性质， 求得 的取值范围.（2）先求得 真时 的取值范围.根据“ ”为真命题，且“ ” 为假命题，可知“p 真 q 假”或“p 假 q 真”，由此列不等式组，解不等式组求得 的取值范 围. 【详解】解：（1） 为定义在 上的“局部奇函数”； ，使得 成立 化为 （2）q：曲线 与 x 轴交于不同的两点； ，解得 或 由题知：“ ”为真命题，且“ ”为假命题， 的 3 5 2 2× ( )f x ( )( )f x f x- ＝- ( )f x ( ) 2xp f x m： ＝ ＋ [ 1 2]－ ， ( ) 2 4 1( ) 1g x x m x＝ ＋ ＋ ＋ p q∨ p q∧ 5 , 14m  ∈ − −   5 3 1, 1, ,4 4 4      −∞ − ∪ − − ∪ +∞           m m q m p p∨ p q∧ m : ( ) 2xp f x m= + [-1,2] [ 1,1]x∴∃ ∈ − ( )2 2x xm m−+ = − + ( )1 2 22 x xm −= − + 1 5[ 1,1], 2 ,2 ,2 2 2,2 2 x x xx −   ∈ − ∴ ∈ + ∈      Q 5 , 14m  ∴ ∈ − −   2( ) (4 1) 1g x x m x= + + + 2(4 1) 4 0m∴∆ = + − > 3 4m < − 1 4m > p p∨ p q∧ 则“p 真 q 假”或“p 假 q 真”. 即 或 解得 或 或 即 m 的取值范围是 . 【点睛】本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查存在性问题的求解策略，考查 含有简单逻辑联结词命题真假性问题中参数范围的求解，属于中档题. 21.已知抛物线 上一点 到焦点 F 的距离 ，倾斜角为 α 的直线经过焦点 F，且与抛物线交于两点 A、B。 (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若 α 为锐角，作线段 AB 的中垂线 m 交 x 轴于点 P。证明： 。 【答案】（1）抛物线的方程为 ，准线方程为 （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的定义，求得 ，由此求得 点坐标，将其代入抛物线方程，解方程求得 的值，进而求得抛物线方程及其准线方程；（2）设出直线 的方程，联立直线 方程和 抛物线方程，写出韦达定理，由此求得线段 中点坐标，进而求得线段 中垂线方程，由 此求得 点坐标，求出 ，由此计算出 . 【详解】解：（1）由抛物线的定义知， 将点 代入 ，得 .得 ∴抛物线的方程为 ，准线方程为 （2）证：设直线 AB 与直线 m 的交点为 C. .直线 5 14 3 1 4 4 m m − − −     5 m 14 3 1m4 4 m m  − −  − ＜ 或 ＜ 或 ＞ 5 4m < − 31 4m− < < − 1 4m > 5 3 1, 1, ,4 4 4      −∞ − ∪ − − ∪ +∞           2 0)2 (y px p＝ ＞ 0 2( 2)M x ， 03| MF| 2 x= 2| | sin 2FP α = 2 4y x= -1x = 0x M p AB AB AB AB P ,PC FP 2| | sin 2FP α = 0 0 0 3| | ,2 2 xpMF x x p= + = ∴ = ( ,2 2)M p 2 2y px= 22 8p = 2p = 2 4y x= -1x = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y : 1AB x ty= + 由 ，消去 x 得： 。 则 设线段 AB 中垂线 m 的方程为： 令 ，得： ，则点 【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查垂直 平分线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 22.已知函数 。 (1)求函数 的单调区间； (2)若函数 有两个正零点 ，求 a 的取值范围，并证明： 。 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求得函数 的导函数以及定义域，对 分成 两种情况分类讨论，由此 求得函数 的单调区间.（2）先根据（1）以及函数有两个零点，判断出 ，根据（1） 2 1 4 x ty y x = +  = 2 4ty 4 0y − − = 1 2 1 2 4 4 y y t y y + =  ⋅ = − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 4 2., 2 1,2x x t y y t C t t∴ + = + + = + ∴ + ( )22 2 1y t t x t − = − − +  0y = 22 3x t= + ( )22 3,0P t + 2 24 4 , 2 2PC t FP t∴ = + = + 2 2 2 2 2 | | | | 4 4| | sin | | 2| | 2 2 CP CP tFP FP FP FP t α   +∴ = ⋅ = = =   +  ( ) 2f x ax lnx−＝ ( )f x ( )f x 1 2x x、 1 2 1x x ＞ ( )f x a 0, 0a a≤ > ( )f x 0a > 中求得的函数单调性，得到 ，解不等式 求得 的取值范围.求得 的取 值范围，通过证明 ，结合 在 上递减，得到 ， 即 . 【详解】解：（1） 当 时， 在 上递减； 当 时，令 则 时， 在 上递减； 时， 在 上递增 综上： 时， 的减区间是 时, 的减区间是 ，增区间是 （2）证；由（1）知， 有两个零点，则 且 且由 时， 时， 解得： ∴a 的范围是 不妨令 ，则 ( )minf x ( )min 0f x < a 2 1 x ( )1 2 1 0f f xx   > =    ( )f x 1(0, )2a 1 2 10 xx < < 1 2 1x x > 21 2 1( ) 2 ( 0)axf x ax xx x ′ −= − = > 0a ( ) 0, ( )f x f x′ < ∴ (0, )+∞ 0a > 1( ) 0, 2f x x a ′ = ∴ = 10 2x a < < ( ) 0, ( )f x f x′ < ∴ 1(0, )2a 1 2x a > ( ) 0, ( )f x f x′ > ∴ 1( , )2a +∞ 0a ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 1(0, )2a 1( , )2a +∞ ( )f x 0a > min 1 1 ln 2( ) ( ) 02 2 2 af x f a = = + < 0x → ( ) ,f x x→ +∞ → +∞ ( )f x → +∞ 10 2a e < < 10, 2e      1 2x x< 1 2 10 2x xa < < < 2 1 1 1 1 12 22 2 2a ax a a e a ∴ < = ⋅ < ⋅ < 故 又 ，即 在 上递减. ，即 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点问题， 考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 1 2 1 1(0, )2x x a ⋅ ∈ 22 2 2 1 lnaf xx x   = +    2 1ln ln ln 02x ea > > >Q 2 1 0f x  ∴ >    ( )1 2 1 0f f xx   > =    ( )f x 1(0, )2a 1 2 10 xx ∴ < < 1 2 1x x >