数学理卷·2017届重庆市高三第一次学业质量调研抽测（2017 12页

重庆市2017届高三学业质量调研抽测（第一次）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足，则复数在复平面内的对应点所在象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若过点的直线与圆相较于两点，且为弦的中点，则为（ ）‎ A． B．4 C． D．2 ‎ ‎4. 展开式中，项的系数为（ ）‎ A．30 B．70 C.90 D．-150‎ ‎5.已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一个单调递增区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.设等差数列的前项和为，已知，则（ ）‎ A．16 B．20 C.24 D．26‎ ‎7.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）‎ A．18种 B．36种 C.48种 D．60种 ‎9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）‎ A．14 B．15 C. 16 D．17‎ ‎10.设实数满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12.已知函数若关于的方程有三个不同实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设向量的夹角为，已知向量，若，则 ．‎ ‎14.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为，且，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为 ．‎ ‎15.已知，且，则 ．‎ ‎16.设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于两点，若点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列的前项和为，. ‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：.‎ ‎18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.‎ ‎（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；‎ 平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 ‎（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.150‎ ‎0．100‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.已知的三个内角的对边分别为.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，且的面积，求角.‎ ‎20.已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若且，已知直线与椭圆交于两点，过点且平行于直线的直线交椭圆于另一点，问：四边形能否程成为平行四边形？若能，请求出直线的方程；若不能，请说明理由. ‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）设，其中为非零实数，若有两个极值点，且，求证：. ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.‎ ‎（Ⅰ）求点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值.‎ ‎23.设的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的最小值. ‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15.-7 16.3‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由得：‎ ‎，即：‎ ‎，所以是以为首项，公比为3的等比数列，‎ 由知 ‎，即 ‎（Ⅱ）‎ ‎18. 解：（Ⅰ）‎ 平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 女性驾驶员人数 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎，‎ 所以有的把握认为平均车速超过与性别有关.‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.‎ 的可能取值为，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ 或.‎ ‎19. 解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）在中，‎ 由余弦定理知：‎ ‎20. 解：（Ⅰ）由题意可知，,‎ 点是椭圆上，，即 ‎，且 最小值1.‎ ‎（Ⅱ）‎ 设.‎ 由得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线的方程为.‎ 由得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 若四边形能成为平行四边形，则，‎ ‎，解得.‎ 符合条件的直线的方程为，即.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）‎ 设切点为，则切线的斜率为 点在上，‎ ‎，解得 切线的斜率为，切线方程为 ‎（Ⅱ）‎ 当时，即时，在上单调递增；‎ 当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，有两个极值点，即，‎ ‎，由得，‎ 由 ‎，即证明 即证明 构造函数，‎ 在上单调递增，‎ 又，所以在时恒成立，即成立 ‎.‎ ‎22. 解：（Ⅰ）由曲线可得普通方程.‎ 由曲线可得直角坐标方程：.‎ 由得，‎ ‎（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：‎ ‎，圆的圆心半径为，‎ 曲线与有且只有一个公共点，，即，‎ 设 联立得 ‎.‎ ‎23. 解：（Ⅰ）当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，取得最小值 ‎（Ⅱ）由题意知 当且仅当时，即等号成立，‎ 的最小值为.‎