• 74.50 KB
  • 2021-06-10 发布

高考数学专题复习:数系的扩充与复数的引入(A)

  • 7页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第三章 数系的扩充与复数的引入(A)‎ 一、选择题 ‎1、f(n)=in+i-n (n∈N+)的值域中的元素个数是(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.无穷多个 ‎2、一元二次方程x2-(5+i)x+4-i=0有一个实根x0,则(  )‎ A.x0=4 B.x0=1‎ C.x0=4或x0=1 D.x0不存在 ‎3、复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为(  )‎ A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4‎ C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4‎ ‎4、已知复数z= ,是z的共轭复数,则z·等于(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎5、在复平面上复数-1+i、0、3+2i所对应的点分别是A、B、C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为(  )‎ A.5 B. C. D. ‎6、已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是-,则z为(  )‎ A.-+2i B.--2i C.+2i D.-2i ‎7、1+2i+3i2+…+2 005i2 004的值是(  )‎ A.-1 000-1 000i B.-1 002-1 002i C.1 003-1 002i D.1 005-1 000i ‎8、设复数z满足=i,则|1+z|等于(  )‎ A.0 B.‎1 ‎ C. D.2‎ ‎9、下列说法正确的是(  )‎ A.0i是纯虚数 B.原点不是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C.实数的共轭复数一定是实数,虚数的共轭复数一定是虚数 D.i2是虚数 ‎10、复数z=1+cos α+isin α (π<α<2π)的模为(  )‎ A.2cos B.-2cos C.2sin D.-2sin ‎11、若z1=(2x-1)+yi与z2=3x+i (x,y∈R)互为共轭复数,则z1对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎12、若θ∈,则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i在复平面内所对应的点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题 ‎13、如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是________.‎ ‎14、若复数z=,则|+3i|=________.‎ ‎15、已知复数z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C.若=2+,则a=________,b=________.‎ ‎16、z1是复数,z2=z1-i1(其中1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为______.‎ 三、解答题 ‎17、 复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a、b的值.‎ ‎18、已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是 ‎(1)虚数,(2)纯虚数.‎ ‎19、设复数z满足|z|=5,且(3+4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上,|z-m|=5(m∈R),求z和m的值.‎ ‎20、复数z=,若z2+<0,求纯虚数a.‎ ‎21、已知复数z的模为2,求复数1+i+z的模的最大值、最小值.‎ ‎22、已知z是虚数,证明:z+为实数的充要条件是|z|=1.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B [根据i的周期性,‎ 当n=4k (k∈N)时,f(n)=i4k+i-4k=1+1=2,‎ 当n=4k+1 (k∈N)时,f(n)=i4k+1+i-(4k+1)‎ ‎=i+=0,‎ 当n=4k+2 (k∈N)时,f(n)=i4k+2+i-(4k+2)=-2,‎ 当n=4k+3 (k∈N)时,f(n)=i4k+3+i-(4k+3)‎ ‎=-i-=0.‎ 故值域中元素个数为3.]‎ ‎2、D [由已知可得x-(5+i)x0+4-i=0,‎ ‎∴,该方程组无解.]‎ ‎3、A [z1+z2=a-3+(4+b)i z1-z2=a+3+(4-b)i,‎ 由已知得,∴.]‎ ‎4、A [∵z==,‎ ‎∴|z|===.‎ ‎∴z·=|z|2=.]‎ ‎5、B [对应的复数为-1+i,对应的复数为3+2i,∵=+,‎ ‎∴对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i.‎ ‎∴BD的长为.]‎ ‎6、A [设z=x+yi (x,y∈R),则x=-,‎ 由|z|=3,得(-)2+y2=9,‎ 即y2=4,∴y=±2,‎ ‎∵复数z对应的点在第二象限,∴y=2.‎ ‎∴z=-+2i.]‎ ‎7、C [1+2i+3i2+4i3‎ ‎=1+2i-3-4i=-2-2i.‎ 周期出现,原式=501×(-2-2i)+2 005i2 004‎ ‎=-1 002-1 002i+2 005=1 003-1 002i.]‎ ‎8、C [由=i,得z==-i,‎ ‎∴|1+z|=|1-i|=.]‎ ‎9、C [0i=0∈R,故A错;原点为实轴和虚轴的交点,故B错,i2=-1∈R,故D错,所以答案为C.]‎ ‎10、B [|z|== ‎==2 ‎∵π<α<2π,∴<<π,∴cos <0,‎ ‎∴2=-2cos .]‎ ‎11、C [由z1,z2互为共轭复数,得 解得所以z1=(2x-1)+yi=-3-i.由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限.]‎ ‎12、B [cos θ+sin θ=sin,‎ sin θ-cos θ=sin.‎ 因为θ∈,所以θ+∈,θ-∈,因此,cos θ+sin θ<0,sin θ-cos θ>0,所以复数在平面内对应的点在第二象限.]‎ 二、填空题 ‎13、+i 解析 设z=a+bi (a、b∈R),‎ 根据题意得a+bi+=5+i,‎ 所以有,解之得,‎ ‎∴z=+i.‎ ‎14、 解析 ∵z===-1+i.‎ ‎∴=-1-i,∴|+3i|=|-1+2i|=.‎ ‎15、-3 -10‎ 解析 ∵=2+‎ ‎∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi)‎ 即 ∴.‎ ‎16、1‎ 解析 设z1=a+bi,‎ 则z2=a+bi-i(a-bi)‎ ‎=a-b+(b-a)i,又a-b=-1,‎ ‎∴b-a=1.‎ 三、解答题 ‎17、解 z=(a+bi)‎ ‎=2i·i(a+bi)=-‎2a-2bi.‎ 由|z|=4,得a2+b2=4.①‎ ‎∵复数0、z、对应的点构成正三角形,‎ ‎∴|z-|=|z|.‎ 把z=-‎2a-2bi代入化简得|b|=1. ②‎ 又∵z对应的点在第一象限,‎ ‎∴-‎2a>0,-2b>0,∴a<0,b<0. ③‎ 由①②③得 故所求值为a=-,b=-1.‎ ‎18、解 由于m∈R,复数z可表示为 z=(2+i)m2-‎3m(1+i)-2(1-i)‎ ‎=(‎2m2‎-‎3m-2)+(m2-‎3m+2)i,‎ ‎(1)当m2-‎3m+2≠0,‎ 即m≠2且m≠1时,z为虚数.‎ ‎(2)当,‎ 即m=-时,z为纯虚数.‎ ‎19、解 设z=a+bi (a,b∈R).‎ 因为|z|=5,所以a2+b2=25.‎ 因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)‎ ‎=(‎3a-4b)+(‎4a+3b)i,‎ 又(3+4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上,‎ 所以‎3a-4b+‎4a+3b=0,得b=‎7a,‎ 所以a=±,b=±,即z=±,‎ 所以z=±(1+7i).‎ 当z=1+7i时,有|1+7i-m|=5,‎ 即(1-m)2+72=50,得m=0,或m=2.‎ 当z=-(1+7i)时,‎ 同理可得m=0,或m=-2.‎ ‎∴z=±,m=0或m=2或m=-2.‎ ‎20、解 z= ‎===1-i.‎ ‎∵a为纯虚数,∴设a=mi (m≠0),‎ 则z2+=(1-i)2+=-2i+ ‎=-+i<0,‎ ‎∴ ∴m=4.∴a=4i.‎ ‎21、解 利用公式||z1|-|z2||‎ ‎≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.‎ ‎∵|z|=2,∴||z|-|1+i||‎ ‎≤|z+1+i|≤|z|+|1+i|.‎ ‎∴0≤|z+1+i|≤2+2,‎ ‎∴|z+1+i|min=0,|z+1+i|max=4.‎ ‎22、证明 设z=x+yi (x,y∈R且y≠0),‎ 则z+=x+yi+=x+yi+ ‎=x++i.‎ 当|z|=1,即x2+y2=1时,z+=2x∈R.‎ 当z+∈R,即y-=0时,又y≠0,‎ ‎∴x2+y2=1,即|z|=1.‎ ‎∴z+为实数的充要条件是|z|=1.‎

相关文档