高考数学专题复习：数系的扩充与复数的引入(A) 7页

第三章　数系的扩充与复数的引入(A)‎ 一、选择题 ‎1、f(n)＝in＋i－n (n∈N＋)的值域中的元素个数是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．无穷多个 ‎2、一元二次方程x2－(5＋i)x＋4－i＝0有一个实根x0，则(　　)‎ A．x0＝4 B．x0＝1‎ C．x0＝4或x0＝1 D．x0不存在 ‎3、复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(　　)‎ A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4‎ C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4‎ ‎4、已知复数z＝ ，是z的共轭复数，则z·等于(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎5、在复平面上复数－1＋i、0、3＋2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为(　　)‎ A．5 B． C． D． ‎6、已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为(　　)‎ A．－＋2i B．－－2i C.＋2i D．－2i ‎7、1＋2i＋3i2＋…＋2 005i2 004的值是(　　)‎ A．－1 000－1 000i B．－1 002－1 002i C．1 003－1 002i D．1 005－1 000i ‎8、设复数z满足＝i，则|1＋z|等于(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C． D．2‎ ‎9、下列说法正确的是(　　)‎ A．0i是纯虚数 B．原点不是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点 C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D．i2是虚数 ‎10、复数z＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为(　　)‎ A．2cos B．－2cos C．2sin D．－2sin ‎11、若z1＝(2x－1)＋yi与z2＝3x＋i (x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎12、若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 ‎13、如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．‎ ‎14、若复数z＝，则|＋3i|＝________.‎ ‎15、已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.‎ ‎16、z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为______．‎ 三、解答题 ‎17、 复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．‎ ‎18、已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是 ‎(1)虚数，(2)纯虚数．‎ ‎19、设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．‎ ‎20、复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.‎ ‎21、已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．‎ ‎22、已知z是虚数，证明：z＋为实数的充要条件是|z|＝1.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[根据i的周期性，‎ 当n＝4k (k∈N)时，f(n)＝i4k＋i－4k＝1＋1＝2，‎ 当n＝4k＋1 (k∈N)时，f(n)＝i4k＋1＋i－(4k＋1)‎ ‎＝i＋＝0，‎ 当n＝4k＋2 (k∈N)时，f(n)＝i4k＋2＋i－(4k＋2)＝－2，‎ 当n＝4k＋3 (k∈N)时，f(n)＝i4k＋3＋i－(4k＋3)‎ ‎＝－i－＝0.‎ 故值域中元素个数为3.]‎ ‎2、D　[由已知可得x－(5＋i)x0＋4－i＝0，‎ ‎∴，该方程组无解．]‎ ‎3、A　[z1＋z2＝a－3＋(4＋b)i z1－z2＝a＋3＋(4－b)i，‎ 由已知得，∴.]‎ ‎4、A　[∵z＝＝，‎ ‎∴|z|＝＝＝.‎ ‎∴z·＝|z|2＝.]‎ ‎5、B　[对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，∵＝＋，‎ ‎∴对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.‎ ‎∴BD的长为.]‎ ‎6、A　[设z＝x＋yi (x，y∈R)，则x＝－，‎ 由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，‎ 即y2＝4，∴y＝±2，‎ ‎∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.‎ ‎∴z＝－＋2i.]‎ ‎7、C　[1＋2i＋3i2＋4i3‎ ‎＝1＋2i－3－4i＝－2－2i.‎ 周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i2 004‎ ‎＝－1 002－1 002i＋2 005＝1 003－1 002i.]‎ ‎8、C　[由＝i，得z＝＝－i，‎ ‎∴|1＋z|＝|1－i|＝.]‎ ‎9、C　[0i＝0∈R，故A错；原点为实轴和虚轴的交点，故B错，i2＝－1∈R，故D错，所以答案为C.]‎ ‎10、B　[|z|＝＝ ‎＝＝2 ‎∵π<α<2π，∴<<π，∴cos <0，‎ ‎∴2＝－2cos .]‎ ‎11、C　[由z1，z2互为共轭复数，得 解得所以z1＝(2x－1)＋yi＝－3－i.由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限．]‎ ‎12、B　[cos θ＋sin θ＝sin，‎ sin θ－cos θ＝sin.‎ 因为θ∈，所以θ＋∈，θ－∈，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]‎ 二、填空题 ‎13、＋i 解析　设z＝a＋bi (a、b∈R)，‎ 根据题意得a＋bi＋＝5＋i，‎ 所以有，解之得，‎ ‎∴z＝＋i.‎ ‎14、 解析　∵z＝＝＝－1＋i.‎ ‎∴＝－1－i，∴|＋3i|＝|－1＋2i|＝.‎ ‎15、－3　－10‎ 解析　∵＝2＋‎ ‎∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)‎ 即　∴.‎ ‎16、1‎ 解析　设z1＝a＋bi，‎ 则z2＝a＋bi－i(a－bi)‎ ‎＝a－b＋(b－a)i，又a－b＝－1，‎ ‎∴b－a＝1.‎ 三、解答题 ‎17、解　z＝(a＋bi)‎ ‎＝2i·i(a＋bi)＝－‎2a－2bi.‎ 由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①‎ ‎∵复数0、z、对应的点构成正三角形，‎ ‎∴|z－|＝|z|.‎ 把z＝－‎2a－2bi代入化简得|b|＝1. ②‎ 又∵z对应的点在第一象限，‎ ‎∴－‎2a>0，－2b>0，∴a<0，b<0. ③‎ 由①②③得 故所求值为a＝－，b＝－1.‎ ‎18、解　由于m∈R，复数z可表示为 z＝(2＋i)m2－‎3m(1＋i)－2(1－i)‎ ‎＝(‎2m2‎－‎3m－2)＋(m2－‎3m＋2)i，‎ ‎(1)当m2－‎3m＋2≠0，‎ 即m≠2且m≠1时，z为虚数．‎ ‎(2)当，‎ 即m＝－时，z为纯虚数．‎ ‎19、解　设z＝a＋bi (a，b∈R)．‎ 因为|z|＝5，所以a2＋b2＝25.‎ 因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)‎ ‎＝(‎3a－4b)＋(‎4a＋3b)i，‎ 又(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，‎ 所以‎3a－4b＋‎4a＋3b＝0，得b＝‎7a，‎ 所以a＝±，b＝±，即z＝±，‎ 所以z＝±(1＋7i)．‎ 当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，‎ 即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，或m＝2.‎ 当z＝－(1＋7i)时，‎ 同理可得m＝0，或m＝－2.‎ ‎∴z＝±，m＝0或m＝2或m＝－2.‎ ‎20、解　z＝ ‎＝＝＝1－i.‎ ‎∵a为纯虚数，∴设a＝mi (m≠0)，‎ 则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋ ‎＝－＋i<0，‎ ‎∴　∴m＝4.∴a＝4i.‎ ‎21、解　利用公式||z1|－|z2||‎ ‎≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.‎ ‎∵|z|＝2，∴||z|－|1＋i||‎ ‎≤|z＋1＋i|≤|z|＋|1＋i|.‎ ‎∴0≤|z＋1＋i|≤2＋2，‎ ‎∴|z＋1＋i|min＝0，|z＋1＋i|max＝4.‎ ‎22、证明　设z＝x＋yi (x，y∈R且y≠0)，‎ 则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋ ‎＝x＋＋i.‎ 当|z|＝1，即x2＋y2＝1时，z＋＝2x∈R.‎ 当z＋∈R，即y－＝0时，又y≠0，‎ ‎∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.‎ ‎∴z＋为实数的充要条件是|z|＝1.‎