2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题10 解析几何（测）（解析版） 12页

解析几何单元—测 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1．渐近线方程为的双曲线的离心率是 A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.‎ ‎【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.‎ ‎2．平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎ ‎【解析】 设所求直线的方程为，则，所以，故所求直线的方程为或．‎ ‎3．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C【解析】由题意，．由椭圆的定义可知，到该椭圆的两个焦点的距离之和为，故选C．‎ ‎4．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C【解析】∵，由抛物线的定义可得点，∴的面积为．‎ ‎5．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】是底角为的等腰三角形 ‎6．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于、、、四点，四边形的的面积为，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设在第一象限，，所以，解得，故四边形的面积为，解得．故所求的双曲线方程为．‎ ‎7．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，‎ ‎，则的实轴长为 A、 B、 C、4 D、8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设交的准线，于得：。‎ ‎8．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知以线段为直径的圆C过原点，要使圆的面积最小，只需圆的半径或直径最 小．又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点到直线 的距离，此时，得，圆的面积的最小值为．‎ ‎9、已知椭圆：()与双曲线：()的焦点重合，，分别为，的离心率，则 A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，即，‎ ‎，所以．故选A．‎ ‎10．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可设，圆的圆心坐标为，圆心到的距离为 ‎，当且仅当时取等 号，所以，所以两点间的最大距离是．‎ ‎11．设双曲线()的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】 由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由 得，解得，所以，所以 ‎，而双曲线的渐近性斜率为，所以双曲线的渐近线的斜率取值 范围是，选A．‎ ‎12． 设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】当直线的斜率不存在时，这样的直线恰好有2条，即，所以；所以当直线 的斜率存在时，这样的直线有2条即可．设，，，则．又 ‎，两式相减得，．设圆心为，‎ 则，因为直线与圆相切，所以，解得，于是，，又 ‎，即，所以，又，所以，选D．‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13. 若直线与直线互相垂直，则实数=__．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】当时，两直线不垂直，故．因为直线与直线的斜率分别为和，由，故．‎ ‎14、已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得 ‎，设，可得，与方程联立，可解得 ‎(舍)，又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以。‎ 方法2：(焦半径公式应用)由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.‎ ‎16．已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为__________；双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆的右焦点为，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，由题意可 知，由点在椭圆上得，，‎ ‎∴，，∴‎ ‎，∴，‎ ‎∴，∴，∴(舍去)或 ‎，∴椭圆的离心率，∵双曲线的渐近线过点，渐近线方程为，‎ 故双曲线的离心率．‎ 二、解答题(6*12=70分)‎ ‎17、在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．‎ ‎(I)求圆心的轨迹方程；‎ ‎(II)若点到直线的距离为，求圆的方程．‎ ‎【解析】(I)设，圆的半径为．由题设，从而 故点的轨迹方程为．‎ ‎(II)设，由已知得．又点在双曲线上，从而得 由得此时，圆的半径．‎ 故圆的方程为或 ‎18、已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆 上，直线交轴于点．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；‎ ‎(Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得解得=2．故椭圆的方程为．设(，0)．‎ 因为，所以．直线的方程为，所以=，即．‎ ‎(Ⅱ)因为点与点关于轴对称，所以，设，则=．‎ ‎“存在点使得=等价”，‎ ‎“存在点使得=”即满足．因为，，，所以．所以=或．故在轴上存在点，使得=．点的坐标为或．‎ ‎19．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.‎ ‎(1)证明：直线AB过定点：‎ ‎(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.‎ ‎【答案】(1)见详解；(2)3或.‎ ‎【解析】(1)设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为.由，可得.‎ 于是，‎ ‎.设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.‎ ‎【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.‎ ‎20．已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为；(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)由经过点，得.所以抛物线的方程为，准线方程为.‎ ‎(2)抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.‎ 设，则.直线的方程为.令，得点A的横坐标 ‎.同理得.设点，则，‎ ‎.‎ 令，即，则或.‎ 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21、椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．‎ ‎【解析】：(Ⅰ)由于，将代入椭圆方程得 由题意知，即，又，所以，，所以椭圆方程为 ‎(Ⅱ)由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：，因为，所以，而，所以 ‎(Ⅲ)由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：‎ ‎，所以，而，代入中得 为定值．‎ ‎22、已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎ (ⅰ)证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ (ⅱ)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意知，设，则的中点为 因为，由抛物线的定义可知，解得或(舍去)‎ 由，解得．所以抛物线的方程为．‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知，设．，因为，则，由得，故，故直线的斜率 因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，‎ 由题意，得，设，则 当时，，可得直线的方程为，由，‎ 整理得，直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，‎ 所以直线过定点．‎ ‎(ⅱ)由(ⅰ)知直线过定点，所以。‎ 设直线的方程为，因为点在直线上 故．设，直线的方程为 由于，可得，代入抛物线的方程得 所以，可求得，‎ 所以点到直线的距离为==‎ 则的面积，‎ 当且仅当即时等号成立，所以的面积的最小值为．‎