【数学】2018届一轮复习人教A版专题9同角三角函数的基本关系及诱导公式学案 12页

专题9　同角三角函数的基本关系及诱导公式 ‎1．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．‎ ‎2．同角三角函数的基本关系公式 ‎(1) ‎(2) ‎3．诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，‎ tan(α＋2kπ)＝tan α(其中k∈Z)‎ 公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，‎ tan(－α)＝－tan α 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，‎ tan(π－α)＝－tan α 公式四：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，‎ tan(π＋α)＝tan α 公式五：sin(－α)＝cos α，cos(－α)＝sin α 公式六：sin(＋α)＝cos α，cos(＋α)＝－sin α 例1　已知tan α＝－，求下列各式的值：‎ ‎(1)；(2)2sin2α＋sin αcos α－3cos2α.‎ 变式训练1　已知＝3，则tan x的值是(　　)‎ A．2 B．－2 C．3 D．－3‎ 例2　求值：(1)sin π；(2)cos π；(3)tan(－1 560°)．‎ 变式训练2　求下列各三角函数的值：‎ ‎(1)sin(－1 665°)；(2)cos(－)．‎ 例3　求证：＝－tan α.‎ 变式训练3　证明下列恒等式：1＋cos 2θ＋2sin2θ＝2.‎ A级 ‎1．若角α的终边在直线y＝2x上，则sin α等于(　　)‎ A．± B．± C．± D．± ‎2．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是(　　)‎ A．2 B．sin 2 C. D．2sin 1‎ ‎4．若α是第四象限的角，tan α＝－，则sin α等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎5．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎6．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．‎ ‎7．sin 750°＝________．‎ B级 ‎8．若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P(sin B－cos A，cos B－sin A)是(　　)‎ A．第一象限的点 B．第二象限的点 C．第三象限的点 D．第四象限的点 ‎9．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝______________________________.‎ ‎10．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α等于(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎11．求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°的值________．‎ ‎12．已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．‎ ‎13．化简：sin(nπ－π)·cos(nπ＋π)，n∈Z.‎ ‎14．已知f(α)＝.‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若α为第三象限角，且cos(α－π)＝，求f(α)的值；‎ ‎(3)若α＝－π，求f(α)的值．‎ 专题9　同角三角函数的基本关系及诱导公式 典型例题 例1　解　(1)原式＝＝＝－.‎ ‎(2)原式＝＝＝＝－.‎ 变式训练1　A　[∵＝3，∴cos x≠0，＝3，‎ ‎∴tan x＝2.]‎ 例2　解　(1)sin π＝sin(π＋)＝－sin ＝－；‎ ‎(2)cos ＝cos(2π＋)＝cos ＝cos(π－)‎ ‎＝－cos ＝－；‎ ‎(3)tan(－1 560°)＝－tan 1 560°＝－tan(4×360°＋120°)‎ ‎＝－tan 120°＝－tan(180°－60°)＝tan 60°＝.‎ 变式训练2　解　(1)sin(－1 665°)＝－sin 1 665°＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝.‎ ‎(2)cos(－π)＝cos π＝cos(π＋2π)＝cos π ‎＝cos(π＋)＝－cos ＝－.‎ 例3　解　左边＝ ‎＝＝－tan α＝右边．‎ 变式训练3　解　左边＝1＋cos 2θ＋2sin2θ＝1＋2cos2θ－1＋2sin2θ＝2(cos2θ＋sin2θ)＝2＝右边，所以等式成立．‎ 强化提高 ‎1．C　[当角α的终边在第一象限时，取(1，2)，则x＝1，y＝2，r＝，sin α＝；当角α的终边在第三象限时，取(－1，－2)，则x＝－1，y＝－2，r＝，sin α＝－.]‎ ‎2．B　[∵sin α＝，α是第二象限角，‎ ‎∴cos α＝－＝－.]‎ ‎3．C　[设圆的半径为r，则sin 1＝，∴r＝，‎ ‎∴l＝|α|r＝2×＝.]‎ ‎4．D　[∵tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝±，‎ 又α为第四象限角，∴sin α＝－.]‎ ‎5．D　[sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ ‎＝＝＝.]‎ ‎6．－ 解析　由题意，得cos＝，∴tan＝.‎ ‎∴tan＝tan＝－＝－.‎ ‎7. 解析　∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，(k∈Z)，∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.‎ ‎8．D　[∵A、B是锐角△ABC的两个内角，‎ ‎∴A＋B>，∴A>－B，B>－A，‎ ‎∴sin A>sin(－B)＝cos B，sin B>sin(－A)＝cos A，‎ ‎∴sin B－cos A>0，cos B－sin A<0，‎ ‎∴点P(sin B－cos A，cos B－sin A)是第四象限的点．]‎ ‎9．－ 解析　∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝＝，∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.‎ ‎10．C　[∵α是第二象限角，∴cos α<0.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，∴cos α＝－.]‎ ‎11．44.5‎ 解析　∵sin 89°＝sin(90°－1°)＝cos 1°，‎ ‎∴sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，‎ 同理sin 2°＋sin 88°＝1，…sin 44°＋sin 46°＝1，‎ ‎∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44＋＝44.5.‎ ‎12．0‎ 解析　∵cos＝cos ‎＝－cos＝－a.‎ sin＝sin＝cos＝a，‎ ‎∴cos＋sin＝0.‎ ‎13．解　当n为偶数时，n＝2k，k∈Z.‎ 原式＝sin(2kπ－π)·cos(2kπ＋π)‎ ‎＝sin·cosπ＝(－sin π)·cos ‎＝sin π·cos ＝sin ·cos ＝×＝.‎ 当n为奇数时，n＝2k＋1，k∈Z.‎ 原式＝sin(2kπ＋π－π)·cos(2kπ＋π＋π)‎ ‎＝sin·cos＝sin ·cos ‎＝sin ×cos ＝×＝.‎ ‎∴sin(nπ－π)·cos(nπ＋π)＝，n∈Z.‎ ‎14．解　(1)f(α)＝＝－cos α.‎ ‎(2)∵cos(α－π)＝－sin α＝，∴sin α＝－，‎ 又∵α为第三象限角，‎ ‎∴cos α＝－＝－，∴f(α)＝.‎ ‎(3)∵－π＝－6×2π＋π，‎ ‎∴f(－π)＝－cos(－π)＝－cos(－6×2π＋π)‎ ‎＝－cos π＝－cos ＝－.‎