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- 2021-06-10 发布
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全国卷五年考情图解 高考命题规律把握
1.考查形式
从高考题型、题量来看,一般有两种方式:
三个小题或一个小题另加一个解答题,分
值上占 17 分左右.
2.考查内容
(1)客观题主要考查三角函数的定义,图
象与性质,同角三角函数关系,诱导公式,
和、差、倍角公式,正、余弦定理等知识.
(2)解答题涉及知识点较为综合.涉及三
角函数图象与性质、三角恒等变换与解三
角形知识较为常见.
3.备考策略
(1)熟练应用同角三角函数基本关系式与
诱导公式求值、化简.
(2)重视对三角函数图象和性质的研究,
复习时通过选择题、填空题和解答题加以
训练和巩固,注意将问题和方法进行归
纳、整理.
(3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强
训练.
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函
数
[最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互
化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位
置所成的图形.
(2)分类
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集
合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作
rad.
(2)公式:
角α的弧度数公式 |α|=l
r(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算 ①1°= π
180 rad;②1 rad=
180
π °
弧长公式 弧长 l=|α|r
扇形面积公式 S=1
2lr=1
2|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于 P(x,y),则 sin α=y,cos α=x,tan α=y
x(x≠0).
拓展:任意角的三角函数的定义(推广).
设 P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sin α
=y
r
,cos α=x
r
,tan α=y
x(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(3)几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.
如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
[常用结论]
1.单位圆上任意一点可设为(cos θ,sin θ)(θ∈R).
2.若α∈ 0,π
2 ,则 sin α<α<tan α.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.( )
(3)不相等的角终边一定不相同.( )
(4)若α为第一象限角,则 sin α+cos α>1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
二、教材改编
1.若θ满足 sin θ<0,cos θ>0,则θ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D [∵sin θ<0,cos θ>0,∴θ的终边落在第四象限.]
2.下列与9π
4
的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ+45°(k∈Z)
B.k·360°+9
4π(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z)
D.kπ+5π
4 (k∈Z)
C [∵9π
4
=2π+π
4
,
∴9π
4
与π
4
终边相同.
又角度制与弧度制不可同时混用,故选 C.]
3.角-225°=________弧度,这个角的终边落在第________象限.
[答案] -5π
4
二
4.设角θ的终边经过点 P(4,-3),那么 2cos θ-sin θ=________.
11
5 [由已知并结合三角函数的定义,得 sin θ=-3
5
,
cos θ=4
5
,所以 2cos θ-sin θ=2×4
5
-(-3
5)=11
5 .]
5.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度.
[答案] π
3
考点 1 象限角及终边相同的角
1.表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角
α和β,写出最简区间.
(3)起始、终止边界对应角α,β,再加上 360°的整数倍,即得区间角集合.
2.象限角的两种判断方法
(1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判
断已知角是第几象限角.
(2)转化法:先将已知角化为 k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即
找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限
角.
1.设集合 M= x|x=k
2·180°+45°,k∈Z ,N=
x|x=k
4·180°+45°,k∈Z ,那么( )
A.M=N B.M⊆N
C.N⊆M D.M∩N=∅
B [由于 M 中,x=k
2
·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1
是奇数;而 N 中,x=k
4
·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1 是整
数,因此必有 M⊆N,故选 B.]
2.设θ是第三象限角,且|cos θ
2|=-cos θ
2
,则θ
2
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
B [∵θ是第三象限角,
∴π+2kπ<θ<3π
2
+2kπ,k∈Z,
∴π
2
+kπ<θ
2
<3π
4
+kπ,k∈Z,
∴θ
2
的终边落在第二、四象限,
又|cos θ
2|=-cos θ
2
,∴cos θ
2
<0,
∴θ
2
是第二象限角.]
3.与-2 010°终边相同的最小正角是________.
150° [与-2 010°终边相同的角可表示为α=-2 010°+k·360°,k∈Z,
又当 k=6 时,α=150°,故与-2 010°终边相同的最小正角为 150°.]
4.终边在直线 y= 3x 上的角的集合是________.
{α|α=k·180°+60°,k∈Z} [终边在 y= 3x 上的角可表示为α=k·180
°+60°,k∈Z.]
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写
出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得
所需的角.
(2)确定 kα,α
k(k∈Z*)的终边位置的方法
先写出 kα或α
k
的范围,然后根据 k 的可能取值确定 kα或α
k
的终边所在位置.
考点 2 扇形的弧长、面积公式
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式,在使用公式时,要注意角的单位必
须是弧度.
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量,然后灵活地运用弧长公式、扇形面
积公式直接求解,或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解.
已知一扇形的圆心角为α,半径为 R,弧长为 l.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l;
(2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm2,求扇形的圆心角;
(3)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积
最大?
[解] (1)α=60°=π
3rad,
所以 l=α·R=π
3
×10=10π
3 (cm).
(2)由题意得
2R+Rα=10,
1
2α·R2=4 ⇒ R=1,
α=8
(舍去)或
R=4,
α=1
2.
故扇形圆心角为 1
2rad.
(3)由已知得 l+2R=20,
所以 S=1
2lR=1
2(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当 R=5 cm 时,S 取得最大值 25 cm2,
此时 l=10 cm,α=2 rad.
求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.
1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为
( )
A.π
6 B.π
3
C.3 D. 3
D [如图,等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形,则线段 AB
所对的圆心角∠AOB=2π
3
,
作 OM⊥AB,垂足为 M,
在 Rt△AOM 中,AO=r,∠AOM=π
3
,
∴AM= 3
2 r,AB= 3r,
∴l= 3r,
由弧长公式得α=l
r
= 3r
r
= 3.]
2.已知 2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B.sin 2
C. 2
sin 1 D.2sin 1
C [如图,∠AOB=2 弧度,过 O 点作 OC⊥AB 于 C,并延长 OC 交AB
︵于
D.
则∠AOD=∠BOD=1 弧度,
且 AC=1
2AB=1,
在 Rt△AOC 中,
AO= AC
sin∠AOC
= 1
sin 1
,
即 r= 1
sin 1
,
从而AB
︵的长为 l=α·r= 2
sin 1.故选 C.]
3.已知扇形弧长为 20 cm,圆心角为 100°,则该扇形的面积为________cm2.
360
π [由弧长公式 l=|α|r,
得 r= 20
100π
180
=36
π
,
所以 S 扇形=1
2lr=1
2
×20×36
π
=360
π .]
考点 3 三角函数的概念及应用
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角α终边上一点 P 的坐标,可求角α的三角函数值:先求点 P 到原点
的距离,再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值,求角α终边上一点 P 的坐标中的参数值,可根
据定义中的两个量列方程求参数值.
(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值(sin α,
cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的
交集即为该角终边的位置,注意终边在坐标轴上的特殊情况.
三角函数定义的应用
(1)在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角的始边,角α,β的
终边分别与单位圆交于点
12
13
, 5
13 和 -3
5
,4
5 ,则 sin(α+β)=( )
A.-36
65 B.48
65
C.- 3
13 D.33
65
(2)角α终边上一点 P(4m,-3m)(m≠0),则 2sin α+cos α=________.
(3)角α的终边在直线 y=-4
3x,求 sin α,cos α,tan α.
(1)D (2)±2
5 [(1)由题意可知 cos α=12
13
,sin α= 5
13.
cos β=-3
5
,sin β=4
5
,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
= 5
13
× -3
5 +12
13
×4
5
=-15
65
+48
65
=33
65.
(2)r= 16m2+9m2=5|m|,
当 m>0 时,r=5m,sin α=-3m
5m
=-3
5
,cos α=4m
5m
=4
5
,
∴2sin α+cos α=2× -3
5 +4
5
=-2
5.
当 m<0 时,r=-5m,sin α=-3m
-5m
=3
5
,cos α= 4m
-5m
=-4
5
,
∴2sin α+cos α=2×3
5
+ -4
5 =2
5
,
∴2sin α+cos α=±2
5.]
(3)[解] 由题意 tan α=-4
3
,
当角α终边落在第二象限,设角α终边上一点 P(-3,4),r=5,∴sin α=4
5
,
cos α=-3
5
,
当角α终边落在第四象限,设角α终边上一点 P(3,-4),r=5,
sin α=-4
5
,cos α=3
5.
充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键,对于含字母
的方程求解要注意字母的范围.
三角函数值的符号判断
(1)若 tan α>0,则( )
A.sin α>0 B.cos α>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
(2)若 sin αtan α<0,且cos α
tan α
<0,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(1)C (2)C [(1)由 tan α>0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时 sin
α与 cos α同号,故 sin 2α=2sin αcos α>0,故选 C.
(2)由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α异号,
则α为第二象限角或第三象限角.
由cos α
tan α
<0 可知 cos α,tan α异号,则α为第三象限角或第四象限角.综上可
知,α为第三象限角.]
判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结
合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略
角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域.
三角函数线的应用
函数 y= sin x-cos x的定义域为________.
2kπ+π
4
,2kπ+5π
4 (k∈Z) [法一:要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.
利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为π
4
,5π
4
,再结合正弦、余弦函数的周期
是 2π,所以原函数的定义域为 x|2kπ+π
4
≤x≤2kπ+5π
4
,k∈Z .
法二:利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影
部分所示).
所以定义域为
x|2kπ+π
4
≤x≤2kπ+5π
4
,k∈Z .]
利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方
法,一般来说 sin x≥b,cos x≥a,只需作直线 y=b,x=a 与单位圆相交,连接
原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的 x 的范
围.
1.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B [∵tan α<0,cos α<0,
∴α在第二象限.]
2.(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α=-
4
5
,则 m 的值为( )
A.-1
2 B.1
2
C.- 3
2 D. 3
2
B [∵r= 64m2+9,∴cos α= -8m
64m2+9
=-4
5
,
∴m>0,∴ 4m2
64m2+9
= 1
25
,即 m=1
2.]
3.若-3π
4
<α<-π
2
,从单位圆中的三角函数线观察 sin α,cos α,tan α的大
小是( )
A.sin α<tan α<cos α B.cos α<sin α<tan α
C.sin α<cos α<tan α D.tan α<sin α<cos α
C [如图,作出角α的正弦线 MP,
余弦线 OM,正切线 AT,
观察可知 sin α<cos α<tan α.]