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  • 2021-06-10 发布

【数学】2021届一轮复习人教版(理)第4章第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案

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全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 从高考题型、题量来看,一般有两种方式: 三个小题或一个小题另加一个解答题,分 值上占 17 分左右. 2.考查内容 (1)客观题主要考查三角函数的定义,图 象与性质,同角三角函数关系,诱导公式, 和、差、倍角公式,正、余弦定理等知识. (2)解答题涉及知识点较为综合.涉及三 角函数图象与性质、三角恒等变换与解三 角形知识较为常见. 3.备考策略 (1)熟练应用同角三角函数基本关系式与 诱导公式求值、化简. (2)重视对三角函数图象和性质的研究, 复习时通过选择题、填空题和解答题加以 训练和巩固,注意将问题和方法进行归 纳、整理. (3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强 训练. 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函 数 [最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互 化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式: 角α的弧度数公式 |α|=l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 ①1°= π 180 rad;②1 rad= 180 π ° 弧长公式 弧长 l=|α|r 扇形面积公式 S=1 2lr=1 2|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 设角α终边与单位圆交于 P(x,y),则 sin α=y,cos α=x,tan α=y x(x≠0). 拓展:任意角的三角函数的定义(推广). 设 P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sin α =y r ,cos α=x r ,tan α=y x(x≠0). (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦. (3)几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. [常用结论] 1.单位圆上任意一点可设为(cos θ,sin θ)(θ∈R). 2.若α∈ 0,π 2 ,则 sin α<α<tan α. 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.( ) (3)不相等的角终边一定不相同.( ) (4)若α为第一象限角,则 sin α+cos α>1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1.若θ满足 sin θ<0,cos θ>0,则θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D [∵sin θ<0,cos θ>0,∴θ的终边落在第四象限.] 2.下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+9 4π(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+5π 4 (k∈Z) C [∵9π 4 =2π+π 4 , ∴9π 4 与π 4 终边相同. 又角度制与弧度制不可同时混用,故选 C.] 3.角-225°=________弧度,这个角的终边落在第________象限. [答案] -5π 4 二 4.设角θ的终边经过点 P(4,-3),那么 2cos θ-sin θ=________. 11 5 [由已知并结合三角函数的定义,得 sin θ=-3 5 , cos θ=4 5 ,所以 2cos θ-sin θ=2×4 5 -(-3 5)=11 5 .] 5.一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度. [答案] π 3 考点 1 象限角及终边相同的角 1.表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角 α和β,写出最简区间. (3)起始、终止边界对应角α,β,再加上 360°的整数倍,即得区间角集合. 2.象限角的两种判断方法 (1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判 断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为 k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即 找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限 角. 1.设集合 M= x|x=k 2·180°+45°,k∈Z ,N= x|x=k 4·180°+45°,k∈Z ,那么( ) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅ B [由于 M 中,x=k 2 ·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)·45°,2k+1 是奇数;而 N 中,x=k 4 ·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1 是整 数,因此必有 M⊆N,故选 B.] 2.设θ是第三象限角,且|cos θ 2|=-cos θ 2 ,则θ 2 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 B [∵θ是第三象限角, ∴π+2kπ<θ<3π 2 +2kπ,k∈Z, ∴π 2 +kπ<θ 2 <3π 4 +kπ,k∈Z, ∴θ 2 的终边落在第二、四象限, 又|cos θ 2|=-cos θ 2 ,∴cos θ 2 <0, ∴θ 2 是第二象限角.] 3.与-2 010°终边相同的最小正角是________. 150° [与-2 010°终边相同的角可表示为α=-2 010°+k·360°,k∈Z, 又当 k=6 时,α=150°,故与-2 010°终边相同的最小正角为 150°.] 4.终边在直线 y= 3x 上的角的集合是________. {α|α=k·180°+60°,k∈Z} [终边在 y= 3x 上的角可表示为α=k·180 °+60°,k∈Z.] (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写 出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得 所需的角. (2)确定 kα,α k(k∈Z*)的终边位置的方法 先写出 kα或α k 的范围,然后根据 k 的可能取值确定 kα或α k 的终边所在位置. 考点 2 扇形的弧长、面积公式 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式,在使用公式时,要注意角的单位必 须是弧度. (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量,然后灵活地运用弧长公式、扇形面 积公式直接求解,或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解. 已知一扇形的圆心角为α,半径为 R,弧长为 l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积 最大? [解] (1)α=60°=π 3rad, 所以 l=α·R=π 3 ×10=10π 3 (cm). (2)由题意得 2R+Rα=10, 1 2α·R2=4 ⇒ R=1, α=8 (舍去)或 R=4, α=1 2. 故扇形圆心角为 1 2rad. (3)由已知得 l+2R=20, 所以 S=1 2lR=1 2(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以当 R=5 cm 时,S 取得最大值 25 cm2, 此时 l=10 cm,α=2 rad. 求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题. 1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( ) A.π 6 B.π 3 C.3 D. 3 D [如图,等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形,则线段 AB 所对的圆心角∠AOB=2π 3 , 作 OM⊥AB,垂足为 M, 在 Rt△AOM 中,AO=r,∠AOM=π 3 , ∴AM= 3 2 r,AB= 3r, ∴l= 3r, 由弧长公式得α=l r = 3r r = 3.] 2.已知 2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C. 2 sin 1 D.2sin 1 C [如图,∠AOB=2 弧度,过 O 点作 OC⊥AB 于 C,并延长 OC 交AB ︵于 D. 则∠AOD=∠BOD=1 弧度, 且 AC=1 2AB=1, 在 Rt△AOC 中, AO= AC sin∠AOC = 1 sin 1 , 即 r= 1 sin 1 , 从而AB ︵的长为 l=α·r= 2 sin 1.故选 C.] 3.已知扇形弧长为 20 cm,圆心角为 100°,则该扇形的面积为________cm2. 360 π [由弧长公式 l=|α|r, 得 r= 20 100π 180 =36 π , 所以 S 扇形=1 2lr=1 2 ×20×36 π =360 π .] 考点 3 三角函数的概念及应用 三角函数定义问题的常见类型及解题策略 (1)已知角α终边上一点 P 的坐标,可求角α的三角函数值:先求点 P 到原点 的距离,再用三角函数的定义求解. (2)已知角α的某三角函数值,求角α终边上一点 P 的坐标中的参数值,可根 据定义中的两个量列方程求参数值. (3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值(sin α, cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的 交集即为该角终边的位置,注意终边在坐标轴上的特殊情况. 三角函数定义的应用 (1)在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角的始边,角α,β的 终边分别与单位圆交于点 12 13 , 5 13 和 -3 5 ,4 5 ,则 sin(α+β)=( ) A.-36 65 B.48 65 C.- 3 13 D.33 65 (2)角α终边上一点 P(4m,-3m)(m≠0),则 2sin α+cos α=________. (3)角α的终边在直线 y=-4 3x,求 sin α,cos α,tan α. (1)D (2)±2 5 [(1)由题意可知 cos α=12 13 ,sin α= 5 13. cos β=-3 5 ,sin β=4 5 , ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β = 5 13 × -3 5 +12 13 ×4 5 =-15 65 +48 65 =33 65. (2)r= 16m2+9m2=5|m|, 当 m>0 时,r=5m,sin α=-3m 5m =-3 5 ,cos α=4m 5m =4 5 , ∴2sin α+cos α=2× -3 5 +4 5 =-2 5. 当 m<0 时,r=-5m,sin α=-3m -5m =3 5 ,cos α= 4m -5m =-4 5 , ∴2sin α+cos α=2×3 5 + -4 5 =2 5 , ∴2sin α+cos α=±2 5.] (3)[解] 由题意 tan α=-4 3 , 当角α终边落在第二象限,设角α终边上一点 P(-3,4),r=5,∴sin α=4 5 , cos α=-3 5 , 当角α终边落在第四象限,设角α终边上一点 P(3,-4),r=5, sin α=-4 5 ,cos α=3 5. 充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键,对于含字母 的方程求解要注意字母的范围. 三角函数值的符号判断 (1)若 tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 (2)若 sin αtan α<0,且cos α tan α <0,则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (1)C (2)C [(1)由 tan α>0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时 sin α与 cos α同号,故 sin 2α=2sin αcos α>0,故选 C. (2)由 sin αtan α<0 可知 sin α,tan α异号, 则α为第二象限角或第三象限角. 由cos α tan α <0 可知 cos α,tan α异号,则α为第三象限角或第四象限角.综上可 知,α为第三象限角.] 判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结 合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略 角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域. 三角函数线的应用 函数 y= sin x-cos x的定义域为________. 2kπ+π 4 ,2kπ+5π 4 (k∈Z) [法一:要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0. 利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为π 4 ,5π 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期 是 2π,所以原函数的定义域为 x|2kπ+π 4 ≤x≤2kπ+5π 4 ,k∈Z . 法二:利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影 部分所示). 所以定义域为 x|2kπ+π 4 ≤x≤2kπ+5π 4 ,k∈Z .] 利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方 法,一般来说 sin x≥b,cos x≥a,只需作直线 y=b,x=a 与单位圆相交,连接 原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的 x 的范 围. 1.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B [∵tan α<0,cos α<0, ∴α在第二象限.] 2.(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α=- 4 5 ,则 m 的值为( ) A.-1 2 B.1 2 C.- 3 2 D. 3 2 B [∵r= 64m2+9,∴cos α= -8m 64m2+9 =-4 5 , ∴m>0,∴ 4m2 64m2+9 = 1 25 ,即 m=1 2.] 3.若-3π 4 <α<-π 2 ,从单位圆中的三角函数线观察 sin α,cos α,tan α的大 小是( ) A.sin α<tan α<cos α B.cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α D.tan α<sin α<cos α C [如图,作出角α的正弦线 MP, 余弦线 OM,正切线 AT, 观察可知 sin α<cos α<tan α.]

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