数学卷·2018届河北省定州中学高三下学期第一次月考（2018 10页

高三第二学期第1次考试数学试题 一、单选题 ‎1．在平面直角坐标系中,已知点, ,动点满足 ,其中,则所有点构成的图形面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．在平面直角坐标系中， 是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：‎ ‎①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；‎ ‎②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；‎ ‎③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；‎ ‎④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．‎ 其中，所有真命题的序号是（ ）．‎ A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④‎ ‎3．已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数， 若当时，不等式组恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．定义“有增有减”数列如下： ，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有（ ）‎ A. 64个 B. 57个 C. 56个 D. 54个 ‎9．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数， ‎ 有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．定义在上的函数满足，且当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ A. -1 B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13．设为抛物线的焦点, 为抛物线上不同的三点, 则_________.‎ ‎14．已知函数，当时,函数的最大值是__________；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是__________．‎ ‎15．已知双曲线 的左、右顶点分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于， ‎ 点，连接交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎16．已知函数， ，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题 ‎17．对于若数列满足则称这个数列为“数列”.‎ ‎（Ⅰ）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;‎ ‎（Ⅱ）是否存在首项为的等差数列为 “数列”,且其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;‎ ‎（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.‎ ‎18．已知椭圆的离心率为,且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.‎ ‎19．已知函数在定义域内有两个不同的极值点．‎ ‎（）求的取值范围．‎ ‎（）记两个极值点， ，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．‎ 参考答案 CDDAC CCDAD ‎ ‎11．A ‎12．C ‎13．6‎ ‎14． ‎ ‎15．5‎ ‎16．‎ ‎17．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.‎ ‎（Ⅰ）由题意得 解得 所以实数的取值范围是 ‎（Ⅱ假设存在等差数列符合要求,设公差为则 由得 由题意,得对均成立,即 ‎①当时, ‎ ‎②当时, ‎ 因为 所以与矛盾,‎ 所以这样的等差数列不存在.‎ ‎（Ⅲ）设数列的公比为则 因为的每一项均为正整数,且 所以在中,“”为最小项.‎ 同理, 中,“”为最小项.‎ 由为“数列”,只需即 又因为不是“数列”,且为最小项,‎ 所以即,‎ 由数列的每一项均为正整数,可得 所以或 ‎①当时, 则 令则 又 所以为递增数列,即 所以 所以对于任意的都有 即数列为“数列”.‎ ‎②当时, 则 因为 所以数列不是“数列”.‎ 综上:当时,数列为“数列”,‎ 当时, 数列不是“数列”.‎ ‎18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅰ）由题可得,解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）结论: ,理由如下:‎ 由题知直线斜率存在,‎ 设.‎ 联立,‎ 消去得,‎ 由题易知恒成立,‎ 由韦达定理得,‎ 因为与斜率相反且过原点,‎ 设, ,‎ 联立 消去得,‎ 由题易知恒成立,‎ 由韦达定理得,‎ 因为两点不与重合,‎ 所以直线存在斜率,‎ 则 ‎ ‎ 所以直线的倾斜角互补,‎ 所以.‎ ‎19．（1）；（2）‎ ‎（）由函数得的定义域为，且，‎ 若函数在定义域内有两个不同的极值点，则方程，‎ 即有两个不同的根，‎ 即函数与函数的图象在上有两个不同的交点，‎ 如图所示：‎ 若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，‎ 令切点，则，‎ 又，‎ ‎∴，解得， ，∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎（）因为等价于，‎ 由（）可知， ， 分别是方程的两个根，即， ，‎ 所以原式等价于，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴原式等价于，‎ 又由， 作差得，‎ ‎∴原式等价于，‎ ‎∵，原式恒成立，‎ 即恒成立，‎ 令， ，则不等式在上恒成立，‎ 令， ，‎ 则，‎ 当时，可见时， ，‎ 故在上单调递增，‎ 又， 在上恒成立，符合题意；‎ 当时，可见时， ；‎ 时， ，‎ ‎∴在时单调递增，在时单调减，‎ 又，故在上不可能恒小于，不符合题意，‎ 综上所述，若不等式恒成立，只须，‎ 又，故．‎