数学（文）卷·2017届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三下学期第三次模拟考试（2017 12页

哈尔滨市第六中学2017届高三第三次模拟考试 文科数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，‎ 满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, ‎ 字迹清楚；‎ ‎（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知为实数集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知实数，满足，则的最小值是（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．5‎ ‎4．已知在等比数列中，，9，则（ ）‎ A． B．5 C． D．3‎ ‎5.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ ”表示除以的余数），若输入的 ‎，分别为325，125，则输出的=（ ）‎ A．0 B．5 C．25 D．45‎ ‎6．如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知抛物线，直线，与交于两点，若，则（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎8．北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知函数，‎ 若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知函数的图象为，则：①关于直线对称；②关于点对称；③在上是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象 ‎．以上结论正确的有（　　）‎ A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④‎ ‎11.若是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．‎ ‎13.已知向量 ，则与夹角的大小为_________.‎ ‎14．如图所示是某市2017年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天．‎ 该同志到达当日空气质量重度污染的概率 ．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为　　．‎ ‎16．在数列中，,，记为的前项和，则=　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 的内角的对边分别为已知。‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若边上的高等于，求的值。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜” ‎ ‎（1）求的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率） ‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 ‎（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，与轴的正半轴交于点，右焦点，‎ 为坐标原点，且．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知点，过点任意作直线与椭圆交于两点，设直线的斜率，若，求椭圆的方程．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中，，是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设函数，证明：.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，且存在，使得，求的取值范围.‎ 哈尔滨市第六中学2017届高三第三次模拟考试试卷 ‎ ‎ 文科数学 ‎1-6 CBBDCA 7-12 BACDBB ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎17.(1) (2) ‎ ‎18.（1）由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）10=1，可得x=0.025，…‎ 因为（ 0.025+0.015）10=0.4，将频率视为概率，‎ 由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人； …‎ ‎（2）完成下面的2×2列联表如下 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…‎ ‎≈8.249，…‎ VB8.249＞6.635，‎ 故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关． …‎ ‎19．解：（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以，‎ 所以，所以，所以，‎ 即，，又，,平面.‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，‎ 由（Ⅰ）知，平面，‎ 所以为三棱锥的高，‎ 在矩形中，，，，所以，‎ 所以 即三棱锥的体积为.‎ ‎20.（1）∵tan∠PFO=，∴=，∴c=b，a==b．‎ ‎∴==．‎ ‎（2）直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：ty=x﹣1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．‎ 联立，化为：（t2+3）y2+2ty+1﹣3b2=0，‎ y1+y2=，y1•y2=，‎ ‎∵k1+k2=2，∴+=2，‎ 化为：（y1﹣2）（ty2﹣2）+（y2﹣2）（ty1﹣2）=2（ty1﹣2）（ty2﹣2），‎ 即：ty1•y2=y1+y2，‎ ‎∴t•=，对∀t∈R都成立．‎ 化为：b2=1，‎ 直线l的斜率为0时也成立，‎ ‎∴b2=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎　‎ ‎21．解：（Ⅰ）‎ ‎（1）当时，，当，；当，；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当时，令，得，‎ 由得，由得或，‎ 所以在，上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（3）当时，令，，故在上递增.‎ ‎（4）当时，令，得，‎ 由得，由得或，‎ 所以在，上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，在，上单调递增，在上单调递减.‎ 当时，在上递增.‎ 当时，在，上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）①且②‎ 先证①：令，则，‎ 当，，单调递减；当，，单调递增；‎ 所以，故①成立！‎ 再证②：由（Ⅰ），当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，故②成立！‎ 综上，恒成立.‎ ‎22．解：（Ⅰ）因为，，，‎ 的极坐标方程为，‎ 的普通方程为，即，对应极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）‎ 设，，则，，‎ 所以 ‎，‎ 又，，‎ 所以当，即时，取得最大值.‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，不等式即，等价于 或或 解得或或 即不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，，不等式可化为，‎ 若存在，使得，则，‎ 所以的取值范围为.‎