高考数学考点24 数列的综合应用 34页

1 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、等比数 列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法． 考向一 等差、等比数列的综合应用 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系， （1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽 出来，研究这些项与序号之间的关系； （2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列 各自的特征进行求解． 典例 1 已知数列 的各项均为整数， ， ，前 12 项依次成等差数列，从第 11 项起依次 成等比数列，则 A．8 B．16 C．64 D．128 【答案】B 【解析】设由前 12 项构成的等差数列的公差为 ，从第 11 项起构成的等比数列的公比为 ， 由 ， 解 得 或 ， 又 数 列 的 各 项 均 为 整 数 ， 故 ， 所 以  na 8 2a   13 4a  15a  d q  22 12 13 11 2 4 42 3 daa a d      1d  3 4d   na 1d  2 ，所以 ，故 . 故选 B． 【名师点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求解能力.利用 等差数列、等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值. 典例 2 已知等差数列 中， . （1）设 ，求证：数列 是等比数列； （2）求 的前 项和. 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， 由 ，可得 ，即 . 又由 ，可得 . 故 ， 依题意， ， 因为 （常数）， 故 是首项为 4，公比 的等比数列. （2）因为 的前 项和为 ， 的前 项和为 ， 故 的前 项和为 . 【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中 熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解 13 12 2aq a  11 10 12 2 13n n n na n     ， ， 4 15 2 16a    na 1 2 42, 16a a a   2 na nb   nb  n na b n   3 23 1 1 422 7 7 nn n      na d 2 4 16a a     1 1 3 16a d a d    12 4 16a d  1 2a  3d     1 1 2 1 3 3 1na a n d n n         3 12 n nb  3 2 31 3 1 2 22 n n n n b b      nb 8q   na n    1 3 1 2 2 nn a a n n   nb n 3 1 3 3 21 4 2 2 1 421 1 8 7 7 n nnb b q q          n na b n   3 23 1 1 422 7 7 nn n     3 本题时，（1）设 的公差为 ，由题意求得 ，即可求得数列的通项公式，进而得到数列 的通 项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得 的前 项和和 的前 项和，即 可得到数列 的前 项和. 1．已知公差不为零的等差数列 和等比数列 满足： ，且 成等比数列. （1）求数列 和 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 . 考向二 数列与函数、不等式等的综合应用 1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数 的观点来研究数列． 解决数列与函数综合问题的注意点： （1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群 孤立的点． （2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的 问题． （3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； （3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题． 在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相 邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式． 典例 3 已知数列 满足 = ．  na d 3d   nb  na n  nb n  n na b n  na  nb 1 1 2 43,a b b a   1 4 13, ,a a a  na  nb n n n ac b  nc n nS 4 （1）求证：数列 是等比数列; （2）若 恒成立,求实数 的取值范围． 典例 4 已知函数 满足 且 . （1）当 时，求 的表达式； （2）设 ， ，求证： … ； （3）设 ， ， 为 的前 项和，当 最大时，求 的值. *nN       19n f nb n f n   5 ∴数列 是一个首项是 4，公差为 的等差数列， ∴当 时， ；当 时， ；当 时， . 故当 或 时， 取得最大值，为 . 2．已知数列 为等比数列，数列 为等差数列，且 ， ， . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： . 8 7 14 8 ( ) 182 2       na  nb 1 1 1b a  2 1 2b a a  3 32 6a b   na  nb 2 1 n n n c b b    nc n nT 1 1 5 3nT  6 考向三 等差、等比数列的实际应用 1．数列实际应用中的常见模型 ①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数 ， 是公差； ②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 ， 是公比； ③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式． 2．解答数列实际应用题的步骤 学￥ ①审题：仔细阅读题干，认真理解题意； ②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； ③求解：求出该问题的数学解； ④还原：将所求结果还原到实际问题中． 在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一 般入手，找到递推关系，再进行求解． 典例 5 某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每年比 上一年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年的纯利润(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年 的总支出-投资额). （1）从第几年开始获得纯利润? （2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以 48 万美元出售 该厂；②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂.问哪种方案较合算? 【解析】由题意,知每年的经费构成了以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 则 f(n)=50n-[12n+ ×4]-72=-2n2+40n-72. （1）获得纯利润就是要求 f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得 21，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项．数列{bn}满 足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n． （1）求 q 的值； （2）求数列{bn}的通项公式． 7．（2018 天津理科）设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列. 已知 ， ， ， . （1）求 和 的通项公式； （2）设数列 的前 n 项和为 ， （i）求 ； （ii）证明 . { }na ( )nS n N { }nb 1 1a  3 2 2a a  4 3 5a b b  5 4 62a b b  { }na { }nb { }nS ( )nT n N nT 2 2 1 ( ) 2 2( )( 1)( 2) 2 nn k k k k T b b nk k n          N 18 8．（2018 江苏）设 是首项为 ，公差为 d 的等差数列， 是首项为 ，公比为 q 的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求 d 的取值范围； （2）若 ，证明：存在 ，使得 对 均成立，并 求 的取值范围（用 表示）． 1．【答案】（1） ; ；（2） . 【解析】（1）设 的公差为 ， 则由已知得 ，即 ，解之得： 或 （舍）， 所以 ； 因为 ， { }na 1a { }nb 1b 1 10, 1, 2a b q   1| |n na b b  1,2,3,4n  * 1 1 0, , (1, 2]ma b m q   N d R 1| |n na b b  2,3, , 1n m  d 1, ,b m q 变式拓展 2 1na n  3n nb  22 3n n nS    na d 2 1 13 4a a a    23 3 12 3 3d d   2d  0d   3 2 1 2 1na n n     2 4 9b a  19 【名师点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可 采用错位相减法进行求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．求解本题时， （1）由题意可得等差数列的公差 ，则 ；等比数列 的公比 ， .（2）由（1）可知 ，错位相减可得前 n 项和 . 2．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设数列 的公比为 ，数列 的公差为 ， 由题意得 ， ，解得 ， 所以 . 学￥ （2）因为 ， 所以 ， 因为 ， 2d   3 2 1 2 1na n n      nb 3q  3n nb  2 1 3n n nc  22 3n n nS   12 , 2 1n n na b n   1 1 5 3nT   na q  nb d 1 1d q    2 2 1 2 6q d   2d q  12 , 2 1n n na b n   2 1 n n n c b b      1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3n n n n          1 1 1 1 1 1 1 114 5 3 7 2 3 2 1 2 1 2 3nT n n n n                                     1 1 1 1 1 1 1 114 3 2 1 2 3 3 4 2 1 2 3n n n n                    1 1 1 04 2 1 2 3n n       20 所以 ， 又因为 在 上单调递增， 所以当 时， 取最小值 ， 所以 . 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难 点的方法是熟悉式子的结构特点，常见的裂项技巧： （1） ；（2） ； （3） ；（4） . 此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 3．【答案】(1) ；（2） . 4．【答案】（1） ；（2） ；（3）存在正整数 m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n ＝11 使得 b2，bm，bn 成等差数列. 1 3nT   nT  1, 1n  nT 1 1 5T  1 1 5 3nT    1 1 1 1 n n k k n n k       1 n k n   1 n k nk      1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n            1 1 1 2 2n n n        1 1 1 1 2n n n n         f n 3 2 72 n n      2023 2 7na n  6 1nC n  21 【名师点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求数列的通项公式,考查两个数的最小公倍数,考查存在 性问题的求解方法.对于题目已知数列为等差数列的题目,要求通项公式或者前 项和公式,可以考虑将已 知条件转化为关于 的等式,列方程组来求解,当已知条件为等比数列时,则转化为 的等式来求解. 5．【答案】（1） ， ；（2）见解析. 【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ， 依题意有 ，解得 ， 又 ， ∴ ， 于是 ， . （2）易知 , n 1,a d 1,a q  1 1na a n d n    1 1 2n n nb b q    na d  nb q 2 4 2 2 10 4 2 36 d q d q      2 1 4 d q    0nb  2q   1 1na a n d n    1 1 2n n nb b q   2n nc n  22 ∴ ， ， 两式相减，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 1．【答案】B 【解析】由 ， 可知数列 的首项和公差分别为 ,所以 ,故 .故选 B． 2．【答案】A 【解析】依题意可知 ,所以 .故选 A． 3．【答案】B 【 解 析 】 由 题 可 得 ： ， 所 以 ， 故 ，所以 是以公差为 1 的等差数列，故 ，故选 B． 【名师点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项和前 n 项和，先求出 q=3，得到等比数列的通项是解 题的关键，属于基础题.根据 ， 可以先求出公比 q，然后根据等比数列通项公式得到 ， 从而得到 为等差数列，再根据等差求和公式即可. 4．【答案】C 【解析】由题意知 恒为定值，且 时， ，所以当 时， ，所以 ，于是 ，所以数列 2 31 2 2 2 3 2 2n nT n          2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n              2 3 1 12 2 2 2 2 1 2 2n n n nT n n               11 2 2n nT n        22 1 12 2 2 2 0n n nT n n         2 12 2n nT n    考点冲关 1 2 10a a  4 3 2a a   na 1 4, 2, 2 2na d a n    2 38, 16b b  2 5 32, 16 4 64q b b q      2 1 2 2 21 4 5, 1 4 4, 2a a b b        1 2 2 5 2 a a b   35 2 27 3a q qa     2 2 1 2 3 3 3n n n na a q       1 3log 3 1n nb n    nb  1 8 8 8 282 b bT   2 3a  5 81a  na  nb 5n na a  1 6n  2 na n 1n  2 2 5 1 6 1 6 37n na a a a      5 10 537n n n na a a a      10n na a   na 23 是周期为 10 的周期数列，所以 ，故选 C． 【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式和数列的周期性的应用，其中解答中根据数列的递推关 系式得 ，进而得到数列 是周期为 10 的周期数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解 答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题. 5．【答案】C 6．【答案】B 【解析】由题中三角形数阵中可知，第一行有 1 个数字，第二行有 2 个数字，第三行由 3 个数字， ， 第 行有 个数字，由等差数列的前 项和公式可得前 行共有 个数字，即第 14 行 的最后一个数字为 ，所以第 15 行的第 1 个数字为 ，第 15 行的第 5 个数字为 ，故选 B． 【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理 利用等差、等比数列的通项公式和前 项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，以及转化与化归思想的应用.解本题时，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和 公式，可计算得出第 14 行的最后一个数字，从而求得第 15 行的第 5 个数字的值. 7．【答案】D 【解析】令 f(x)=x3+2016x,则 f ′(x)=3x2+2016>0，所以 f(x)在 R 上单调递增,且 f(x)为奇函数. 由条件得,f( )=−1,f( )=1，∴ ,从而 + =2， 又等差数列 的前 项和为 ，所以 = = =2016， 因为 f( )=−1,f( )=1,f(x)在 R 上单调递增，所以 > ,即 > ， 故选 D． 【名师点睛】本题解题的关键是由题意合理构造函数 f(x)=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确 + =2，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解. 学￥ 2 2018 8 337 37 3 28a a a      10n na a   na  n n n 14  14 1 14 1052    1042 1052 1092 n 2013 1a  4 1a  2013 41 1 0a a    4a 2013a  na n nS 2016S  1 20162016 2 a a  4 20132016 2 a a 2013 1a  4 1a  4 1a  2013 1a  4a 2013a 4a 2013a 24 8．【答案】B 9．【答案】 【解析】∵数列 是等差数列，数列 是等比数列，∴ ，即 ； .∴ . 故答案为 . 10．【答案】( ， ) 【解析】因为 ，所以 ，两式作差得 ， 数 列 中 ， 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 为 公 差 等 于 2 的 等 差 数 列 ， 又 由 条 件 可 得 ， ，若数列 为递增数列，则只需 ，解得 .故 填( ， ). 【名师点睛】本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列 和数列 分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据 求解，注意分类讨论，即当 n 为奇 （偶）数时， 为偶（奇）数. 11．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 3  na  nb 1000 1018 10092 2πa a a   1009 πa  2 6 2012 1009 2b b b   2 2016 1009 2 3 2015 1009 2 2πtan tan tan 31 1 3 a a a b b b       3 1 2 3 2 1 2 1n na a n     1 2 1 2n na a n n    1 1 2n na a    2n   na 1a m 2 3 43 , 2 , 5a m a m a m       na 1 2 3a a a  1 3 2 2m  1 2 3 2 1 3 5, , ,a a a  2 4 6, , ,a a a  1 0n na a   1n  25 【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列： ，再根据等比数列的定义给予证明； （2）先根据等比数列通项公式求得 ，即得 的通项公式，再根据分组求和法得 ，最 后判断 是否成立. 12．【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，则 . 因为 ， 所以 ， 因为 ，解得 . 所以 ， . （2） . 11 2 1n na a   （ ） 1 2n na    na nS 2n nn S a  72n na  *nN 2 2 2 13nT n n   na q 0q  1 2 1 1 2 n n na a a    1 1 1 1 1 1 1 2 n n na q a q a q   0q  2q  1 71 2 264 n n na     *nN    2 21 logn n nb a          2 27 21 log 2 1 7n nn n       26 设 ，则 . . 13．【答案】（1） ；（2）见解析. 所以 . 【名师点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项， 保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是 7nc n     21 n n nb c   2 1 2 3 4nT b b b b    2 1 2n nb b       2 2 2 1 2 3c c c            2 2 2 4 2 1 2n nc c c          1 2 1 2 3 4c c c c c c          3 4 2 1 2n nc c c c     2 1 2n nc c  1 2 3 4 2 1 2n nc c c c c c       2 6 2 7 2 n n      2 13n n  22 13n n  4 4na n  32 2nT n  27 此法的根源与目的． 14．【答案】（1）an=2n−1；（2） . ， 所以 ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差 数列的性质、错位相减法的合理运用． 15．【答案】（1）见解析；（2）11. 【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， ， ， 因为 ， ， 1 2 36 2n n nT      2 11 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 n n nT n                              111 2 1 2 n            12 1 2 n n        2 33 2n n  1 2 36 2n n nT     na d      2 2 1 1 1 2 1 1a f x x x x             2 3 1 1 2 1 1a f x x x       2 4 4x x   1 3 22a a a  2 2a  28 所以 ，解得 或 当 时， ， ， ，此时 ， ； 当 时， ， ， ，此时 ， . （2）若 单调递增，则 ， ， ， 由不等式 解得 （且 ）， 所以 的最小值为 11. 1．【答案】B 【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【答案】A 【解析】设等差数列 的公差为 ，由 a2，a3，a6 成等比数列可得 ，即 ，整理可得 ，又公差不为 ，则 ，故 前 6 项的和 为 .故选 A． 学￥ 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就 能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量 代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 2 2 4 4 4x x x    0x  2x  0x  1 0a  2 2a  3 4a  2d  2 2na n  2x  1 4a  2 2a  3 0a  2d   2 6na n    na 0d  2 2na n   0 2 2 12n nS n n n      1 100n n   1 401 102n   1 401 112   n 直通高考  2ln 1,e 1,e 1 0 .x xx x x x x        na d 2 3 2 6a a a     21 2 1 1 5d d d    2 2 0d d  0 2d    na      6 1 6 6 1 6 6 16 6 1 2 242 2S a d            29 3．【答案】1 【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 和 ，则 ，求得 ， 那么 ． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方 程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大 部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 4．【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列的首项 和公 差 及等比数列的公比 ，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出 数列 的前 n 项和． 故 ， ， 上述两式相减，得 d q 31 3 8d q     2, 3q d   2 2 1 3 12 a b    n 1a d q 2 2 1{ }n na b  2 32 4 5 4 8 4 (3 1) 4n nT n          2 3 4 14 2 4 5 4 8 4 (3 4) 4 (3 1) 4n n nT n n              2 3 13 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4n n nT n              30 ， 即 ， 所以数列 的前 项和为 ． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比， 进而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相 加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 5．【解析】（1）设数列 的公比为 ，由已知 . 112 (1 4 ) 4 (3 1) 41 4 n nn       1(3 2) 4 8nn      13 2 843 3 n n nT    2 2 1{ }n na b  n 13 2 843 3 nn    n n { }nx q 0q  31 所以 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列 问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式 是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解 析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能 力等. 6．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用 能力. . 设 ， (2 1) 2 1.2 n n nT    1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b b b            2 31 1 1(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 32 2 2 n nn n           2 21 1 13 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 22 2 2 n nT n n          2 2 11 1 1 1 13 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n n            32 所以 ， 因此 ， 又 ，所以 . 【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数 的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ” 的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种 情况求解. 学# 7．【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与 2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2 n n nT n            2114 (4 3) ( ) , 22 n nT n n     1 1b  2115 (4 3) ( )2 n nb n     33 因为 ，则 ， 从而 ， ，对 均成立． 因此，取 d=0 时， 对 均成立． 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（ ）． ①当 时， ， 当 时，有 ，从而 ． 因此，当 时，数列 单调递增， 故数列 的最大值为 ． ②设 ，当 x>0 时， ， 所以 单调递减，从而