高二数学教案：第7讲 双曲线（一） 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 双曲线（一）‎ 教学内容 ‎1. 理解双曲线的定义；‎ ‎2. 掌握双曲线的标准方程和几何性质；‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 双曲线的定义：平面上到两定点的、的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹，叫做双曲线。定点、是焦点，是双曲线的焦距。‎ ‎（当时，若，则动点的轨迹是两条射线；若，则轨迹不存在。当时，动点的轨迹是一条直线）‎ ‎2. 双曲线的图像与性质：‎ 图像 x y O 标准方程 范围 或 顶点 ‎ ‎ 对称性 关于、轴和原点对称 焦点 ‎、‎ ‎，，的意义 ‎2实轴长，虚轴长，焦距，‎ 渐近线 ‎（由得出）‎ ‎3. 特殊双曲线 ‎（一）等轴双曲线 定义：若即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线。‎ 方程：或。‎ 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价；（3）等轴双曲线方程可以设为：，当时焦点在轴，当时焦点在轴上。‎ ‎（二）共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。‎ 方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为；‎ ‎（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或；‎ 性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．‎ ‎（1）过点，且焦点在坐标轴上；‎ ‎（2），经过点（－5，2），焦点在轴上；‎ ‎（3）与双曲线有相同焦点，且经过点。‎ 解：（1）设双曲线方程为 ‎∵ 、两点在双曲线上，∴解得 ‎∴所求双曲线方程为 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．‎ ‎（2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：（其中）‎ ‎∵双曲线经过点（－5，2），∴‎ ‎∴或（舍去）∴所求双曲线方程是 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．‎ ‎（3）设所求双曲线方程为：‎ ‎∵双曲线过点，∴∴或（舍）‎ ‎∴所求双曲线方程为 说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．‎ ‎（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．‎ 试一试：‎ ‎1. 若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为 . ‎ 答案：‎ ‎2. 若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是 .‎ 答案：‎ 例2. 已知双曲线，为双曲线上任一点，,求的面积。‎ ‎【答案】：已知双曲线的定义，有，而在中，由余弦定理有 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 所以 试一试：双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点，且满足＝，求的面积。‎ ‎【解析】由题可以得出点P在椭圆上，设，由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆，对于双曲线，则必有，所以的面积等于。‎ 例3. 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 化简得L的方程为 ‎（2）过M、F的直线l方程为，将其代入L的方程得：‎ 解得：，故交点为 因为在线段MF外，在线段MF内，所以，‎ ‎，所以最大值是2.‎ 试一试：在双曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求此最短距离．‎ ‎【答案】：过双曲线上一点的切线方程为 设所求点为，则过该点的双曲线的切线应平行于直线。‎ 由，得代入双曲线方程，‎ 解之得关于原点对称的两点与，‎ 由于不关于原点对称，因而仅有适合题意。‎ ‎.‎ 例4. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．‎ ‎（1）求双曲线中的值；‎ ‎（2）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎ 解：（1）设，，，由勾股定理可得：，‎ 得：，，，‎ 由倍角公式，解得,则．‎ ‎（2）过直线方程为,与双曲线方程联立，‎ 将，代入，化简有，‎ ‎，‎ 将数值代入，有,解得，‎ 故所求的双曲线方程为。‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为___8_____‎ ‎2、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 。 ‎ ‎3. 若双曲线和双曲线的焦点相同，且给出下列四个结论：‎ ‎①； ②；‎ ‎③双曲线与双曲线一定没有公共点； ④；‎ ‎ 其中所有正确的结论序号是（ ）‎ ‎． ①② ．①③ ．②③ ． ①④‎ ‎【答案】：B ‎4. 已知双曲线方程为， 是两个焦点，是双曲线上一点，‎ ‎⑴求焦点坐标及两渐近线夹角；‎ ‎⑵若，求的大小；‎ ‎⑶若，求的面积；‎ ‎【答案】：（1），，（2），（3）‎ 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．‎ 解析：设，代入方程得，．‎ ‎ 两式相减得。‎ ‎ 又设中点P（x,y），将，代入，当时得。‎ 又， 代入得。‎ 当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是 ‎。‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：双曲线的标准方程，双曲线的几何性质及应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 设双曲线的渐近线方程为，则正数的值为___2_______‎ ‎2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 。‎ ‎3. 为双曲线上一点，分别是左、右焦点，若，则△的面积是（ ）‎ ‎．； ．； ．12； ．24 ．‎ ‎【答案】‎ ‎4. 已知的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹 ‎【分析】：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件 ‎【答案】：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时 ‎，由得 ‎,即 ‎ 所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 直线与双曲线的位置关系有哪些？如果直线与双曲线只有一个公共点，能否说明D=0？‎ ‎2. 练习 已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是 ‎（1）求双曲线的方程； ‎ ‎ （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由