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  • 2021-06-10 发布

高二数学教案:第7讲 双曲线(一)

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辅导教案 学员姓名: 学科教师:‎ 年 级: 辅导科目: ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 双曲线(一)‎ 教学内容 ‎1. 理解双曲线的定义;‎ ‎2. 掌握双曲线的标准方程和几何性质;‎ ‎(以提问的形式回顾)‎ ‎1. 双曲线的定义:平面上到两定点的、的距离之差的绝对值等于常数()的点的轨迹,叫做双曲线。定点、是焦点,是双曲线的焦距。‎ ‎(当时,若,则动点的轨迹是两条射线;若,则轨迹不存在。当时,动点的轨迹是一条直线)‎ ‎2. 双曲线的图像与性质:‎ 图像 x y O 标准方程 范围 或 顶点 ‎ ‎ 对称性 关于、轴和原点对称 焦点 ‎、‎ ‎,,的意义 ‎2实轴长,虚轴长,焦距,‎ 渐近线 ‎(由得出)‎ ‎3. 特殊双曲线 ‎(一)等轴双曲线 定义:若即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线。‎ 方程:或。‎ 等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为: ;(2)渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价;(3)等轴双曲线方程可以设为:,当时焦点在轴,当时焦点在轴上。‎ ‎(二)共轭双曲线 定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。‎ 方程:(1)的共轭双曲线为;的共轭双曲线为;‎ ‎(2)互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;‎ 性质:有一对共同的渐近线;有相同的焦距,四焦点共圆;‎ ‎(采用教师引导,学生轮流回答的形式)‎ 例1. 根据下列条件,求双曲线的标准方程.‎ ‎(1)过点,且焦点在坐标轴上;‎ ‎(2),经过点(-5,2),焦点在轴上;‎ ‎(3)与双曲线有相同焦点,且经过点。‎ 解:(1)设双曲线方程为 ‎∵ 、两点在双曲线上,∴解得 ‎∴所求双曲线方程为 说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的.‎ ‎(2)∵焦点在轴上,,∴设所求双曲线方程为:(其中)‎ ‎∵双曲线经过点(-5,2),∴‎ ‎∴或(舍去)∴所求双曲线方程是 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.‎ ‎(3)设所求双曲线方程为:‎ ‎∵双曲线过点,∴∴或(舍)‎ ‎∴所求双曲线方程为 说明:(1)注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后,便有了以上巧妙的设法.‎ ‎(2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.‎ 试一试:‎ ‎1. 若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为 . ‎ 答案:‎ ‎2. 若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是 .‎ 答案:‎ 例2. 已知双曲线,为双曲线上任一点,,求的面积。‎ ‎【答案】:已知双曲线的定义,有,而在中,由余弦定理有 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 所以 试一试:双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点,且满足=,求的面积。‎ ‎【解析】由题可以得出点P在椭圆上,设,由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆,对于双曲线,则必有,所以的面积等于。‎ 例3. 设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎(2)已知点且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎(1)解:设C的圆心的坐标为,由题设条件知 化简得L的方程为 ‎(2)过M、F的直线l方程为,将其代入L的方程得:‎ 解得:,故交点为 因为在线段MF外,在线段MF内,所以,‎ ‎,所以最大值是2.‎ 试一试:在双曲线上求一点,使它到直线的距离最短,并求此最短距离.‎ ‎【答案】:过双曲线上一点的切线方程为 设所求点为,则过该点的双曲线的切线应平行于直线。‎ 由,得代入双曲线方程,‎ 解之得关于原点对称的两点与,‎ 由于不关于原点对称,因而仅有适合题意。‎ ‎.‎ 例4. 双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.‎ ‎(1)求双曲线中的值;‎ ‎(2)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.‎ 解:(1)设,,,由勾股定理可得:,‎ 得:,,,‎ 由倍角公式,解得,则.‎ ‎(2)过直线方程为,与双曲线方程联立,‎ 将,代入,化简有,‎ ‎,‎ 将数值代入,有,解得,‎ 故所求的双曲线方程为。‎ ‎(学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解)‎ ‎1. 若双曲线的焦点到渐近线的距离为,则实数的值为___8_____‎ ‎2、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 。 ‎ ‎3. 若双曲线和双曲线的焦点相同,且给出下列四个结论:‎ ‎①; ②;‎ ‎③双曲线与双曲线一定没有公共点; ④;‎ ‎ 其中所有正确的结论序号是( )‎ ‎. ①② .①③ .②③ . ①④‎ ‎【答案】:B ‎4. 已知双曲线方程为, 是两个焦点,是双曲线上一点,‎ ‎⑴求焦点坐标及两渐近线夹角;‎ ‎⑵若,求的大小;‎ ‎⑶若,求的面积;‎ ‎【答案】:(1),,(2),(3)‎ 给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点及,求线段的中点P的轨迹方程.‎ 解析:设,代入方程得,.‎ ‎ 两式相减得。‎ ‎ 又设中点P(x,y),将,代入,当时得。‎ 又, 代入得。‎ 当弦斜率不存在时,其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是 ‎。‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点:双曲线的标准方程,双曲线的几何性质及应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 设双曲线的渐近线方程为,则正数的值为___2_______‎ ‎2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则 。‎ ‎3. 为双曲线上一点,分别是左、右焦点,若,则△的面积是( )‎ ‎.; .; .12; .24 .‎ ‎【答案】‎ ‎4. 已知的底边BC长为12,且底边固定,顶点A是动点,使,求点A的轨迹 ‎【分析】:首先建立坐标系,由于点A的运动规律不易用坐标表示,注意条件的运用,可利用正弦定理将其化为边的关系,注意有关限制条件 ‎【答案】:以底边BC 为轴,底边BC的中点为原点建立坐标系,这时 ‎,由得 ‎,即 ‎ 所以,点A的轨迹是以为焦点,2=6的双曲线的左支 其方程为:‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 直线与双曲线的位置关系有哪些?如果直线与双曲线只有一个公共点,能否说明D=0?‎ ‎2. 练习 已知双曲线的渐近线方程为,左焦点为F,过的直线为,原点到直线的距离是 ‎(1)求双曲线的方程; ‎ ‎ (2)已知直线交双曲线于不同的两点C,D,问是否存在实数,使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由

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