数学文卷·2017届天津市红桥区高三二模考试（2017 9页

高三数学（文史类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2、盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所有取出的2个球颜色不同的概率等于 A． B． C． D．‎ ‎3、根据如下图所示的框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是 A． B． C． D．‎ ‎4、某几何体的三视图如上图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值 A．2 B．3 C． D． ‎ ‎5、设，则是的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6、在中，是线段AC的三等分点，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7、将函数的图象向右平移个单位，再讲图象上没一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎8、已知函数，若存在实数满足，且，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎9、设为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ‎ ‎10、在上的最大值是 ‎ ‎11、已知函数，且的最小值 等于，则 ‎ ‎12、已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的 最小值为 ‎ ‎13、如图，是双曲线的左右焦点，‎ 过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，若为 等边三角形，则双曲线的离心率为 ‎ ‎14、已知下列命题：‎ ‎ ①函数有最小值2；‎ ‎②“”的一个必要不充分条件是“”；‎ ‎③命题；命题，则命题“”是假命题；‎ ‎④函数在点处的切线方程为.‎ 其中正确命题的序号是 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分13分）‎ ‎ 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）求的值.‎ ‎18、（本小题满分13分）‎ ‎ 某人准备投资1200万元办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：‎ ‎ 市场调查表：‎ ‎ 根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费外，初中每人每年可以取600元，高中每人每年可收取1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），教师实行聘任制，初、高中的教育周期均为三年，设初中编制为个班，高中编制为个班，请你合理安排招生计划，使年利润最大.‎ ‎17、（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，‎ 且分别为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎ （2）求证：平面平面；‎ ‎18、（本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列满足.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；‎ ‎ （2）设数列满足，证明：对一切正整数n，‎ 有 .‎ ‎19、（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）设与圆相切的直线交椭圆于两点，求面积的最大值，‎ 及取得最大值时直线的方程.‎ ‎20、（本小题满分14分 ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎ （2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎ （3）过过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围.‎ 高三数学（文）（1705）‎ 一、选择题（每小题5分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C C B A B C A 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎9． 10． 11． 12． 13． 14．③④ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ） 根据正弦定理，，........................................2‎ 因为 ，所以 ．....................................5‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得 ，..................8‎ 于是 ，‎ 从而 ，，......................11‎ ‎．.................................................13‎ ‎（16）（本小题满分13分）‎ 设初中编制为 个班，高中编制为 个班，‎ 则依题意有 .........................................4‎ 又设年利润为 万元，那么 ‎，即 .........7‎ 在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域，如图所示．‎ ‎...............................10‎ 问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线 在 轴上的截距的最大值．‎ 显然图中的点 是符合题意的最优解．‎ 解方程组 得 即 ．.................................11‎ 所以 ．‎ 故学校规模以初中 个班、高中 个班年利润最大.....................................13‎ ‎（17）（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）连接 ， 为正方形， 为 中点， 为 中点．‎ 所以在 中，，且 ，‎ 所以 ．........................................................4‎ ‎（Ⅱ）因为 ， ‎ ‎ 为正方形，，‎ 所以 ． ....................................6‎ 所以 ，.................................7‎ 又 ， 所以 是等腰直角三角形，‎ 且 即 .........................9‎ ‎，且 ‎ 所以 又 ，‎ 所以 ．..............................13‎ （18） ‎（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）因为 ，‎ 所以 ，‎ 因为 ，，‎ 所以 ，...............................3‎ 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，‎ 则 ‎ 所以 ‎ ‎..............................7‎ ‎（Ⅱ）....................................9‎ 则 ‎..........................................13‎ （19） ‎（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）由题意可得： ..........................2‎ ‎ ..........................4‎ ‎（Ⅱ）①当不存在时，，‎ ‎ ..........................5‎ ‎②当存在时，设直线为，‎ ‎....................8‎ ‎..........................9‎ ‎ ..........................10‎ ‎ ...........................12‎ 当且仅当 即时等号成立 ..........................13‎ ‎，‎ ‎∴面积的最大值为，此时直线方程. ..........................14‎ （20） ‎（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）当 时，，得 ．.............1‎ 因为= ，‎ 所以当 时，，函数 单调递增；‎ 当 或 时， ，函数 单调递减．‎ 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．...........4‎ ‎（Ⅱ）方法1：由，得 ．‎ 因为对于任意 都有 成立，‎ 即对于任意 都有 成立，‎ 即对于任意 都有 成立，‎ 令 ，要使对任意 都有 成立，‎ 必须满足 或 ‎ 即 或 ‎ 所以实数 的取值范围为 ．.......................................9‎ 方法2：由，得 ，‎ 因为对于任意 都有 成立，‎ 所以问题转化为，对于任意 都有 ．‎ 因为 ，其图象开口向下，对称轴为 ．‎ ‎①当 时，即 时， 在 上单调递减，‎ 所以 ，‎ 由 ，得 ，此时 ．‎ ‎②当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，‎ 所以 ，‎ 由 ，得 ，此时 ．‎ 综上①②可得，实数 的取值范围为 ．.........................................9‎ ‎（Ⅲ）设点 是函数 图象上的切点，‎ 则过点 的切线的斜率为 ，‎ 所以过点 的切线方程为 ．‎ 因为点 在切线上，‎ 所以 ‎ 即 ．‎ 若过点 可作函数 图象的三条不同切线，‎ 则方程 有三个不同的实数解．‎ 令 ，则函数 与 轴有三个不同的交点．‎ 令 ，解得 或 ．‎ 因为 ，，‎ 所以必须 ，即 ．‎ 所以实数 的取值范围为 ．...........................................14‎