数学文卷·2019届河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考试题（解析版）x 21页

邢台一中2017-2018学年上学期第三次月考 高二年级数学试题（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. 已知为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由得是线面垂直的判定定理，但时，平面的直线不可能都垂直于平面，故本题选A．‎ 考点：面面垂直的判定与性质．‎ ‎2. 已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④中，真命题是（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】是真命题，是假命题，是假命题，∴真命题是②③.‎ 点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.‎ ‎3. 若方程（是常数），则下列结论正确的是（ ）‎ A. ，方程表示椭圆 B. ，方程表示双曲线 C. ，方程 表示椭圆 D. ，方程表示抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，当时，方程表示圆，故A不正确。‎ 对于B，当为负数时，方程表示双曲线，故B正确。‎ 对于C，当为负数时，方程表示双曲线，故C不正确。‎ 对于D，当时，方程表示椭圆、圆或双曲线，故方程不会表示抛物线。故D不正确。‎ 综上，选B。‎ ‎4. 点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 又P（-1，1），∴kPC= =1，‎ ‎∴弦AB所在的直线方程斜率为2，又P为AB的中点，‎ 则直线AB的方程为 .‎ 故选：C．‎ ‎5. 已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ∵曲线 存在与直线 垂直的切线， 成立， ‎ 故选A ‎6. 已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意画出几何体的图形如图，把扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，‎ ‎∵，是正三角形，‎ 所以 ‎，‎ 所求球的表面积为：。‎ 故选A。‎ 点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．‎ ‎7. 如图所示，是圆内一定点，是圆周上一个动点，的中垂线与交于，则点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎8. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又曲线在点点处的切线方程为，‎ ‎∴，解得。‎ 选D。‎ ‎9. 已知双曲线的离心率为3，若抛物线 的焦点到双曲线的渐进线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得双曲线：的渐近线为 ‎ 化为一般式可得 ，离心率 ‎ 解得： ‎ 又抛物线 的焦点为 ‎ 故焦点到 的距离 ‎ ‎∴抛物线 的方程为 ． 故选D．‎ ‎10. 点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（ ）‎ A. 4 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的离心率是 ， ‎ ‎ 的面积 ‎ 在 中，由勾股定理可得 故选 C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义是解题的关键．‎ ‎11. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知抛物线的准线为，设两点的坐标分别为，‎ ‎，则。‎ 由 消去整理得，解得，‎ ‎∵在图中圆的实线部分上运动，‎ ‎∴。‎ ‎∴的周长为。‎ 选A。‎ 点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用。特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单。‎ ‎12. 已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：‎ ‎,‎ ‎，‎ 设,‎ 则，在中根据余弦定理可得到 化简得：‎ 该式可变成：‎ ‎,‎ 故选 点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点为，故圆心为，‎ 圆的半径为，故圆的方程为：．‎ ‎14. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的大小为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由椭圆性质可得：，，而，所以，由余弦定理可得，故可得的大小为 考点：椭圆性质以及余弦定理 ‎15. 已知函数，若曲线在点处的切线经过圆的圆心，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合函数的解析式可得：，‎ 对函数求导可得：，故切线的斜率为，‎ 则切线方程为：，即，‎ 圆：的圆心为，则：.‎ ‎16. 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为。‎ 如图，设，过A,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E,N，则 ‎，解得。‎ 把代入抛物线，解得。‎ ‎∴直线AB经过点与点，‎ 故直线AB的方程为，代入抛物线方程解得。‎ ‎∴。‎ 在中，，‎ ‎∴‎ ‎∴。答案：‎ 点睛：‎ 在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设命题：实数满足（），命题：实数满足.‎ ‎（1）若且“”为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：第一步首先把a=1代入求出p所表示的含义，解不等式组搞清q的含义，根据为真，为假，求出x的范围，第二步是的充分不必要条件的等价关系为，说明所表示的集合是所表示的集合的真子集，针对为正、负两种情况按要求讨论解决. ‎ 试题解析：‎ ‎（1）当为真时，当为真时，‎ 因为为真，为假，所以，一真一假，‎ 若真假，则，解得；‎ 若假真，则，解得，‎ 综上可知，实数的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知，当为真时，，‎ 因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，‎ 因为为真时，若，有且是的真子集，‎ 所以，解得：， ‎ 因为为真时，若，有且是的真子集，‎ 所以，不等式组无解．‎ 综上所述：实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】解含参一元二次不等式时，若已知参数值可代入后求解，若不知参数值需要讨论后求解，涉及含有逻辑联结词的命题的真假问题需要按照真值表考虑简单命题的真、假，按照要求求出参数的范围，当遇到是的充分不必要条件时，要按照互为逆否命题同真假去转化为等价关系为，然后再去解决. ‎ ‎18. 如图，三棱柱中，底面为正三角形，底面，且，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）在侧棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接交于点，连，由三角形中位线的性质得，再根据线面平行的判定可得结论。（2）先证平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面。（3）假设存在点满足题意，不妨设,由可得，从而可得点确实存在，且。‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图,连接交于点，连。‎ 由题意知,在三棱柱中,平面,‎ ‎∴四边形为矩形,‎ ‎∴点为的中点.‎ ‎∵ 为的中点,‎ ‎∴.‎ ‎∵ 平面,平面.‎ ‎∴ 平面.‎ ‎（2）∵底面为正三角形,是的中点,‎ ‎∴, ‎ ‎∵ 平面,平面,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 平面,‎ ‎∵ 平面,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.‎ 设。‎ ‎∵ ,,‎ ‎∴ ,‎ 即,‎ 解得,‎ 即.‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 在侧棱上存在一点,使得三棱锥的体积是,此时.‎ 点睛：‎ ‎（1‎ ‎）空间中线面位置关系的证明，在细心看图的基础上将线面位置关系判定的有关定理用图形中的符号表达出来，达到解题的目的，解题时注意定理中的细节问题，表达要完整。‎ ‎（2）解决立体几何中的探索性问题，可先假设满足条件的元素存在，然后在此条件下进行推理，看能否得到矛盾。若在推理中得到了矛盾的结论，这说明假设不成立，从而说明所要的元素不存在；否则所要的元素存在。‎ ‎19. 已知圆的方程为.‎ ‎（1）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）求平行于直线且被圆截得的弦长为2的直线方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）设切线点斜式方程，根据圆心到切线距离等于半径可得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足题意（2）根据平行关系可设直线方程，再根据垂径定理列等量关系，求参数 试题解析：（I）设切线方程，‎ 整理得，‎ 圆心，半径，‎ ‎∴圆心到切线距离，‎ 解出，‎ 即切线方程为，‎ 当切线斜率不存在时，切线平行于轴，‎ 切线方程为，符合要求，‎ 综上，切线方程为或．‎ ‎（II）设直线方程，‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 代入解出，‎ ‎∴直线方程为 或．‎ 点睛：1．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．‎ ‎2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．‎ ‎20. 已知椭圆过点，离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线过点且交椭圆于两点，若（其中为坐标原点），求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得，再根据离心率求得（2）设，，则由得，再设直线方程，化简得和与积的关系，最后联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人关系式，求解得斜率，注意验证斜率不存在时是否满足条件 试题解析：（Ⅰ）将代入方程可得，‎ 离心率，‎ ‎∴，‎ ‎∴的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设，，直线方程为，‎ 则，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由，‎ 可得，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴直线的方程为或．‎ 点睛：‎ 直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎21. 已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于，两点.‎ ‎（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；‎ ‎（2）设点的坐标为，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将直线的点斜式方程（其中斜率为参数）代入椭圆方程，并设出交点A，B的坐标，消去Y后，可得一个关于X的一元二次方程，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数关系）易得A、B两点中点的坐标表达式，再由AB中点的横坐标是，，构造方程，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程．（2）由M点的坐标，我们易给出两个向量的坐标，然后代入平面向量数量集公式，结合韦达定理（一元二次方程根与系数关系），不难不求出的值．‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将代入，消去整理得，‎ ‎．‎ 设，，‎ 则，‎ 由线段中点的横坐标是，‎ 得，‎ 解得，适合（）．‎ 所以直线的方程为，或．‎ ‎(Ⅱ)①当直线与轴不垂直时，‎ 由（I）知，．（），‎ 所以，‎ ‎．‎ 将（）代入，整理得：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎②当直线与轴垂直时，‎ 此时点，的坐标分别为、，‎ 此时亦有．‎ 综上，．‎ 点睛：与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与向量数量积有关的问题，常常利用韦达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化．‎ ‎22. 已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线交曲线于，两点，若，当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得曲线是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，进而可得其方程为。（2）设直线为y=kx+1，代入抛物线方程消去y可得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由得，又，可构造，由函数的单调性可得，即，解得。即为所求。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，‎ ‎∴ 动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，‎ 设其方程为,‎ 由条件得.‎ ‎∴ 曲线的标准方程为；‎ ‎（2）由题意设直线的方程为y=kx+1，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵ 直线与抛物线相交，‎ ‎∴ ，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 由可得 ‎，‎ 即，‎ ‎∵，∴。‎ 设 ，则函数在上单调递减。‎ ‎∴，即。‎ 由得，满足。‎ ‎∴的取值范围为。‎ 点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用。另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。‎ ‎ ‎