数学理卷·2018届北京师大附中高三下学期第二次模拟考试（2018 22页

师大附中2018届高三第二次模拟卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·江西联考]设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2018·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）‎ ‎ ‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎3．[2018·菏泽联考]设，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．9 C．12 D．15‎ ‎4．[2018·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎5．[2018·桂林联考]已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎6．[2018·濮阳一模]函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．[2018·郴州一中]已知函数的图象经过点和，当时，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2018·厦门期末]‎ 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（ ）‎ ‎ ‎ A．44 B．68 C．100 D．140‎ ‎9．[2018·福州期末]设数列的前项和为，，且．若，则的最大值为（ ）‎ A．51 B．52 C．53 D．54‎ ‎10．[2018·玉林联考]若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎11．[2018·商丘模拟]已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．[2018·通州期末]如图，各棱长均为的正三棱柱，，‎ 分别为线段，上的动点，若点，所在直线与平面不相交，点为中点，则点的轨迹的长度是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．‎ ‎14．[2018·临川一中]已知圆过点，，，则圆的圆心到直线：的距离为__________．‎ ‎15．[2018·嘉兴期末]在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的取值范围是________．‎ ‎16．[2018·吕梁一模]已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则_______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·辽师附中]已知，，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·衡水金卷]“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，‎ ‎ ‎ ‎（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则，．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·宁德一模]如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）试求的长，使得二面角的大小为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·沧州质检]对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·湖北联考]已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，函数有两个零点，且．‎ 求证：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·广元一模]选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·会宁一中]选修4—5:不等式选讲 已知，．‎ ‎（1）求的最小值 ‎（2）证明：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 理科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】由题意得，∴．选A．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：，结合题意可知：甲组的中位数为33，即，则甲组数据的平均数为：．本题选择B选项．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】所以，过时，取得最大值为12．故选C．‎ ‎ ‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：．故答案为：B．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】正项等比数列满足：，可得，即，，，，，，，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选B．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A、D，当时，，排除B，故选C．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】因为点在函数图象上，，，，‎ 又点在函数图象上，，，，，，当方程有两个不等的实根时，已知函数的图象与直线有两个不同，由图象可知，，故选D．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】第1次运行，，，，不符合，继续运行；‎ 第2次运行，，不符合，继续运行；‎ 第3次运行，，不符合，继续运行；‎ 第4次运行，，不符合，继续运行；‎ 第5次运行，，不符合，继续运行；‎ 第6次运行，，不符合，继续运行；‎ 第7次运行，，不符合，继续运行；‎ 第8次运行，，符合，退出运行，输出；‎ 故选C．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】若为偶数，则 ‎，，，‎ 所以这样的偶数不存在，若为奇数，‎ 则 ‎，‎ 若，则当时成立，若，则当不成立，故选A．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵，即，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：，∴，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】函数的图象与函数的图象关于原点对称，若函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称，则函数（）的图象与函数的图象有交点，即方程（）有解，即（）有解，令，则，当时，，当时，，故当时，取最小值3，由，，故当时，取最大值，故，故选：D．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意，‎ ‎ ‎ 点，所在直线与平面不相交，则平面，过作交于，过作，连结，得，，，则平面平面，则∥平面，因为为线段上的动点，所以这样的有无数条，其中中点的轨迹的长度等于底面正的高，故选B．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，所以复数的实部为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题知，圆心坐标为，则．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，，，因为锐角，所以，，，‎ ‎，，．‎ ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】将点坐标代入抛物线方程得，解得，即，，由于为圆的半径，而，所以，，故，即，两边平方化简得，解得，故，．‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1），·····3分 令，则，，‎ 所以函数单调递增区间为，．·······6分 ‎（2）由可知（当且仅当时取等号），·······8分 所以，，，‎ 综上的取值范围为．·······12分 ‎18．【答案】（1）（2）（3）的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎ ‎【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为 ‎．·······3分 ‎（2）①∵服从正态分布，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴落在内的概率是．·······3分 ‎②根据题意得，‎ ‎；；；‎ ‎；．·······11分 ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．·······12分 ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 解:（1）连结，．‎ 在矩形中，,，‎ ‎,．‎ 在中，∵,‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎，即．·······2分 又在中，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴在中，,‎ ‎,·······4分 又,‎ ‎∴平面．·······5分 ‎∴．·······6分 ‎（2）解：在矩形中，过作于，并延长交于．沿着对角线翻折后，‎ 由（1）可知，，，两两垂直，‎ 以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 平面,‎ 为平面的一个法向量．·······7分 设平面的法向量为，‎ ‎，，，‎ 由得 取则，，．·······9分 即,‎ ‎．·······11分 当时，二面角的大小是．·······12分 ‎20．【答案】（1）（2）直线必经过一定点 ‎【解析】（1）∵椭圆在点处的切线方程为，‎ 其斜率为，‎ ‎∴．·······1分 又点在椭圆上，‎ ‎∴．·······2分 解得，．‎ ‎∴椭圆的方程为；·······4分 ‎（2）设，，，‎ 则切线，切线．·······6分 ‎∵都经过点，‎ ‎∴，．‎ 即直线的方程为．·······7分 又，·······8分 ‎∴，‎ 即．·······10分 令得 ‎∴直线必经过一定点．·······12分 ‎21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）·······1分 ‎①当时，在上单调递增；·······2分 ‎②当时，在上单调递增，在上单调递减····4分 ‎（2）当时，，‎ 由已知得：，，·······5分 两式相减得：，‎ ‎，，，·······8分 令，设，，‎ 在上单调递增，‎ ‎，即，又，，‎ ‎·······12分 ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，·······12分 将，代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为：．·······5分 ‎（2）设两点的极坐标方程分别为，，‎ 由消去得，·······7分 根据题意可得，是方程的两根，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．·······10分 ‎23．【答案】（1）3； （2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，，‎ 所以,即，‎ 当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．·······5分 ‎（2）‎ ‎．·······10分