数学理（实验班）卷·2019届陕西省西安市长安一中高二上学期第二次月考（2017-12） 7页

长安一中2016级（高二阶段）第一学期第二次月考数学试题（实验）‎ 时间：100分钟 总分：150分 命题人：李林刚 审题人：任晓龙 一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.已知复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.命题“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是( ).‎ A.若不是偶数，则都不是奇数 B.若不是偶数，则不都是奇数 C.若是偶数，则都是奇数 D.若是偶数，则不都是奇数 ‎3.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）.‎ A． B． C． D．【来源：全,品…中&高*考+网】4.若函数满足，则的值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎5.某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ ）.‎ A． B． C． D．13‎ ‎6.若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( ). ‎ A. B. C． D. ‎ ‎7.观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52017的末四位数字为(　　)．‎ A．3125 B．‎5625 ‎‎ ‎ C．0625 D．8125‎ ‎8.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.曲线与直线所围成的平面区域的面积为（ ）.‎ A.１ B. ‎２ C. D. ‎ ‎10.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下：‎ 广告费用（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）.‎ A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 ‎11.有4个命题：①若,则与共面;②若与共面,则;‎ ‎③若,则共面;④若共面,则.‎ 其中真命题的个数是( ).‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎12.若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎13.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）.‎ A． B. C. D. ‎ ‎14.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.把答案填写在答题卡相应的位置.）‎ ‎15.若1,2,3,4，这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为____.‎ ‎16.已知函数在处的切线与直线平行，则 .‎ ‎17. 已知椭圆方程，为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹方程是为 ． ‎ ‎18.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．‎ ‎19.设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共4小题，共55分）‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，… ，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. ‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 如图，三棱锥中，平面平面，，‎ 且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，‎ ‎（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；‎ ‎（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.‎ ‎23.（本小题满分15分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求的单调区间；‎ ‎（II）若时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（III）证明不等式，其中．‎ 长安一中2016级（高二阶段）第一学第二次月考 高二级 数学参考答案（实验）‎ 一、选择题： 1-5.BBCAC 6-10. DADDB 11-14.BDBD 二、填空题：15．2 16.0 17. 18. ‎ ‎19.‎ 三、解答题： ‎ ‎20.（13分）‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0. 26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．‎ 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000．‎ ‎（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3． ‎ 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．‎ 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．‎ ‎21.（14分）‎ ‎（1）取的中点，连接. ,,‎ 平面,平面，‎ 又OC平面,，而是的中点，.（6分）‎ （2） 平面平面,平面，‎ 平面平面,平面，‎ 再由（1）可知三条直线两两垂直.‎ 以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 由条件可得,.‎ 则，‎ ‎,,.‎ 设平面的一个法向量为，由可得 ‎，令，则.‎ 同理可得平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 由图易知，二面角为锐角，二面角的余弦值为.（12分）‎ ‎22.（14分）解析（1）由题意F(1,0),设直线AB方程为，将直线AB方程与抛物线方程联立，消去得.‎ 设，,所以，①‎ 因为，所以，②‎ ‎ 由①②解得.所以直线AB的斜率为.‎ ‎（2）如图10-32所示，由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB面积等于,‎ 因为＝‎ ‎＝，‎ 所以时，四边形OACB的面积最小，最小值为4.‎ ‎23.（14分）‎ ‎（1）因为，所以.所以在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）令，即，则随的变化情况如表3-20所示.‎ ‎ ‎ 极小值 又因为，又在上恒成立，所以.‎ ‎（3）设，则，因为 ‎，所以.所以在上为单调增函数.‎ 又因为，当时，，即.‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎