2019-2020学年河北省枣强中学高二上学期第四次月考数学试题 7页

河北枣强中学高二下学期第四次月考数学试卷 出题人：袁宁宁 审题人：王恩勃 2019.12.19 一、单选题（每题 5 分） 1．已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线 的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( ) A． 2 2 15 20 x y  B． 2 2 120 5 x y  C． 2 23 3 125 100 x y  D． 2 23 3 1100 25 x y  2．甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均 为整数满分 100 分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A． 3 5 B． 5 9 C． 2 5 D． 3 4 3．下列结论中不正确的个数是（ ） ①“ 3x  ”是“ 1sin 2 2x      ”的充分不必要条件； ②命题“ ,sin 1x R x   ”的否定是“ ,sin 1x R x   ”； ③线性回归直线不一定过样本中心点 ( ),x y ④“若 A B B ，则 A B ”的逆否命题是假命题 A．1 B．2 C．3 D．4 4．今年 4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解 决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5 名专家对石柱县的3 个 不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不 同乡镇的概率为（ ） A． 19 25 B． 17 20 C． 16 25 D． 19 40 5．若某一届《中国好声音》最后的 5 人必须与甲、乙、丙 3 个公司中的某一个公司签 约，要求每个公司至少签约 1 人，最多签约 2 人，则签约方案有（ ） A．30 种 B．60 种 C．90 种 D．180 种 6．5 名同学在“五一”的 4 天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是 （ ） A． 4 5C B． 4 5A C． 45 D． 54 7．从6 人中选派4 人承担甲，乙，丙三项工作，每项工作至少有一人承担，则不同的 选派方法的个数为 （ ） A．1080 B．540 C．180 D．90 8． 6 2 1(1 )(1 )xx   展开式中 2x 的系数为（） A．30 B．15 C．0 D．-15 9．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b   ＞ ＞ 的左，右焦点是 F1、F2，P 是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|， 则椭圆的离心率的取值范围是（） A． 10 2      ， B． 1 1 3 2      ， C． 1 13     ， D． 1 12     ， 10．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 且斜率为 24 7 的 直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若 2 1 2 1 0F F F A F A     ，则此双曲线的标准方程 可能为（ ） A． 2 2 14 3 x y  B． 2 2 13 4 x y  C． 2 2 116 9 x y  D． 2 2 19 16 x y  11．已知三棱锥 A BCD 中， 5AB CD  ， 2 AC BD ， 3AD BC  ，若该三 棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A． 3 2  B． 24 C． 6 D．6 12．已知抛物线 2 4y x ，圆 2 2:( 1) 1F x y   ，过点 F 作直线l ，自上而下顺次与上述 两曲线交于点 , , ,A B C D （如图所示），则 AB CD 的值正确的是 ( ) A．等于4 B．最小值是1 C．等于1 D．最大值是 4 二、填空题（每题 5 分） 13．二项展开式 7(2 3)x  中，在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个， 恰好为奇数的概率是______. 14．已知直线l ： 4 3 6 0x y   ，抛物线C ： 2 4y x 图像上的一动点到直线l 与到 y 轴 距离之和的最小值为________. 15．一组样本数据按从小到大的顺序排列为-1，0，4，x，y，14，若这组数据的平均 数与中位数均为 5，则其方差为________. 16．五个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为 ___________. 三、解答题 17．（满分 10 分）已知(1 )nx 的展开式中第 4 项和第 8 项的二项式系数相等． (Ⅰ)求n 的值和这两项的二项式系数； (Ⅱ)在 3 4 2(1 ) (1 ) (1 ) nx x x       的展开式中，求含 2x 项的系数（结果用数字表示）． 18．（满分 12 分）“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内 也有大量的好友参加了“微信运动”.他随机的选取了其中 30 人，记录了他们某一天走 路的步数，将数据整理如下： 步数  0,5000  5001,8000  8001, 人数 5 13 12 （1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过 5000 步的概率； （2）已知某人一天的走路步数若超过 8000 步则他被系统评定为“积极型”，否则评定 为“懈怠型”，将这 30 人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取 5 人，将这 5 人中属于“积极型”的人依次记为  1,2,3iA i   ，属于“懈怠型”的人依次 记为  1,2,3iB i   ，现再从这 5 人中随机抽取 2 人接受问卷调查.设 M 为事件“抽取的 2 人来自不同的类型”，求事件 M 发生的概率. 19．（满分 12 分）如图，在长方形 ABCD中， 4AB  ， 2AD  ，点 E 是 DC 的中点. 将 ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE  平面 ABCE ，连结 DB、 DC 、 EB . （1）求证：平面 ADE  平面 BDE ； （2）求平面 ADE 与平面 BDC 所成锐二面角的余弦值. 20．（满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知    1,2 , 1,0Q F ，动点 P 满足 PQ OF PF    （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）过点 F 的直线与 E 交于 ,A B 两点，记直线 ,QA QB 的斜率分别为 1 2,k k ，求证： 1 2k k 为定值 21．（满分 12 分）昆明市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空 气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 300）， 该社团将该校区在 2018 年 100 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布 直方图如图 4，把该直方图所得频率估计为概率. 空气质量 指数  0,50  50,100  100,150  150,200  200,250  250,300 空气质量 等级 1 级优 2 级良 3 级轻度污 染 4 度中度污 染 5 度重度污 染 6 级严重污 染 （1）请估算 2019 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计 算）； （2）用分层抽样的方法共抽取 10 天，则空气质量指数在 0,50 ， 50,100 ， 100,150 的天数中各应抽取几天? （3）已知空气质量等级为 1 级时不需要净化空气，空气质量等级为 2 级时每天需净化 空气的费用为 2000 元，空气质量等级为 3 级时每天需净化空气的费用为 4000 元若在 （2）的条件下，从空气质量指数在 0,150 的天数中任意抽取两天，求这两天的净化 空气总费用 X 的分布列 22．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0y xC a ba b     的上下两个焦点分别为 1 2,F F ，过点 1F 与 y 轴垂 直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点， 2MNF 的面积为 3 ，椭圆C 的长轴长是短轴长的 2 倍. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知O为坐标原点，直线 :l y kx m  与 y 轴交于点 P ，与椭园C 交于 ,A B 两个不 同的点，若存在实数 ，使得 1 4 4OP OA OB    ，求 m 的取值范围 月考参考答案 1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．C 9．C 10．D 11．C 12．C 13． 9 16 ； 14．1 15． 74 3 16． 1 6 17．（Ⅰ） 10n  ；120 （Ⅱ）285 解：（Ⅰ）∵ 3 7 n nC C ，∴ 10n  ，................................3’ ∴ 3 7 10 10 120C C  ； ........................................................5’ （Ⅱ）方法一：含 2x 项的系数为 2 2 2 3 4 12C C C   3 3 13 3 285C C   . ............................................................10’ 方法二：                3 3 3 3 4 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1 n n n x x x xx x x x x                   含 2x 的系数为 3 3 3 3 3 13 1 285nC C C     . 18．（1） 5 6 ；（2） 3 5 . （1）由题意知 30 人中一天走路步数超过 5000 步的有 25 人，频率为 5 6 ， 估计小李所有微信好友中每日走路步数超过 5000 步的概率为 5 6 . ..................4’ （2）5 人中“积极型”有 125 230   人，这两人分别记为 1 2,A A ......................6’ 5 人中“懈怠型”有 185 330   人，这三人分别记为 1 2 3, ,B B B . ...........................8’ 在这 5 人中任选 2 人，共有以下 10 种不同的等可能结果：                    1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B . 事件 M “抽取的 2 人来自不同的类型”有以下 6 种不同的等可能结果：            1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , , , , , . ,A B A B A B A B A B A B . 易得，其概率为 6 3 10 5  . 事件 M 发生的概率 3 5 .......................................12’ 19．（1）见解析；（2） 11 11 （1）证明：∵ 2AD DE  , 90ADE   连接 BE ,∴ 2 2AE BE  , 4AB  , ∴ 2 2 2AE BE AB  ,∴ AE BE 又平面 ADE  平面 ABCE ,平面 ADE  平面 ABCE AE , ∴ BE 平面 ADE 又 BE  平面 BDE ,∴平面 ADE  平面 BDE ............................4’ （2）作 AE 的中点O ,连结 DO , ∵ DA DE ,∴ DO AE , 又平面 ADE  平面 ABCE ,∴ DO  平面 ABCE , 过 E 作直线 / /EF DO , 以 EA 、 EB 、 EF 分别为为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 则 (0,0,0), (2 2,0,0), (0,2 2,0), ( 2,0, 2)E A B D ...................5’  2 2,2 2,0AB   ,  0,2 2,0EB   1 ( 2, 2,0)2EC AB    ,∴ ( 2, 2,0)C  平面 ADE 的法向量 1 / /n EB  , 1 (0,1,0)n   ...........................7’ 又 ( 2, 2,0)CB  , ( 2,2 2, 2)DB    设平面 BDC 的法向量为  2 , ,n x y z , 2 2 0 0 n CB n DB        , 2 2 0 2 2 2 2 0 x y x y z        ,即 0 2 0 x y x y z       平面 BDC 的法向量 2 (1, 1, 3)n    ...................................9’   1 2 1 2 22 21 2 1 11cos , 111 1 1 3 n nn n n n                .............................11’ ∴平面 ADE 与平面 BDC 所成锐二面角的余弦值为 11 11 ................................12’ 20．（1） 2 4y x ； （2）见解析.  1 设  ,P x y ，则      1 ,2 , 1,0 , 1 ,PQ x y OF PF x y          由 PQ OF PF    知  2 21 1x x y     化简得： 2 4y x ，即动点 P 的轨迹 E 方程为 2 4y x ； ...............4’  2 设过点  1,0F 的直线为：    1 1 2 21, , , ,x my A x y B x y  ，由 2 1 4 x my y x     得 2 1 2 1 24 4 0, 4 , 4y my y y m y y       ，....................7’ 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 , 1, 11 1 y yk k x my x myx x          1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 y yk k my my                1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 y my y my my my             1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 8 2 4 my y m y y m y y m y y        将 1 2 1 24 , 4y y m y y    代入得 2 1 2 2 8 8 24 4 mk k m     故 1 2k k 为定值 2 ..................................12’ 21．(1)110 天；(2)1，2，3 天. (3)见解析； （1）由题意，根据直方图可估算 2019 年（以 365 天计算）全年空气质量优良的天数为：  0.1 0.2 365 0.3 365 109.5 110      （天）...............................2’ （2）由频率分布直方图，可得空气质量指数在 0,50 的概率为50 0.002 0.1  ，所以10天中抽 的天数为10 0.1 1  天，空气质量指数在 50,100 的概率为50 0.004 0.2  ，所以10天中抽的 天数为10 0.2 2  天，空气质量指数在  100,150 的概率为50 0.006 0.3  ， 所以10天中抽的天数为10 0.3 3  天， 所以空气质量指数在 0,50 ， 50,100 ， 100,150 的天数中各应抽取 1，2，3 天.................6’ （3）由题意知 X 的取值为 2000,4000,6000,8000 ..........................7’   1 2 2 6 22000 15 CP X C    ，   2 1 2 3 2 6 44000 15 C CP X C    ，   1 1 2 3 2 6 26000 5 C CP X C    ，   2 3 2 6 18000 5 CP X C    ，............................11’ X 2000 4000 6000 8000 P 2 15 4 15 2 5 1 5 ..............................................12’ 22．（1） 2 2 14 yx   ；（2）    ( )2, 1 1,2 0    . (1)由题意可得  1 0,F c ,则 2 2 2 2 1c x a b   ,则 2bx a   ，  2MNF 的面积 2 21 2 22 32 b b cS ca a      ， ①  椭圆C 的长轴长是短轴长的 2 倍，  2a b ②，  2 2 2a b c  ③， 由①②③解得 2a  ， 1b  ， ∴椭圆C 的标准方程 2 2 14 yx   . (2)当 0m  时,则  0,0P ，由椭圆的对称性得 AP PB  ，即 0OA OB     0m  时,存在实数  ,使得 1 4 4OP OA OB    ， 当 0m  时,得 1 4 4OP OA OB    ，  A B P、 、 三点共线，1 4 3 3AP PB        ， 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y 由 2 24 4 0 y kx m x y       ，得( 2 2 2)( 4 2 4 0k x mkx m     ， 由已知得  2 2 2 24 4 4 4 0( )m k k m      ,即 2 2 4 0k m   且 1 2 2 2 4 kmx x k    ， 2 1 2 2 4 4 mx x k   . 由 3AP PB  得 1 23x x  ,  2 1 2 1 23 4 0x x x x   ，    2 2 2 2 2 2 2 2 22 (12 4 4  0 4 0) 44 k m m m k m kkk        ， 显然 2 1m  不成立，  2 2 2 4 1 mk m    2 2 4 0k m   ，  2 2 2 4 4 01 m mm     ,即 2 2 2 4 01 ( )m m m   . 解得 2 1m    或1 2m  . 综上所述, m 的取值范围为    ( )2, 1 1,2 0   