数学文卷·2018届江西省南昌三中高二上学期期末考试（2017-01） 9页

南昌三中2016-2017学年度上学期期末考试 高二数学（文）试卷 命题：胡炳华 审题：邱焱明 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 复数的共轭复数是(　　)．‎ A．－i B.i C．－i D．i ‎2. 函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是 (　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．由a确定 ‎3. 与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)．‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－1＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x－y-3＝0 ‎ ‎4. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 ( ) 条件 ‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 ‎5. 下列判断错误的是（ ）‎ A．若为假命题，则至少之一为假命题 B. 命题“”的否定是“”‎ C．“若且，则”是真命题 D．“若，则”的否命题是假命题 ‎ ‎6.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 (　　)‎ A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)‎ ‎7. 若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是 (　　)‎ A．(0,1) B. C．(－∞，1) D．(0，＋∞) ‎ ‎8. 函数f(x)＝sinx＋2xf ′()，f ′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是(　　)‎ A．f(a)f(b)　 C．f(a)＝f(b)　 D．f(|a|)>f(b)‎ ‎9. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若 的最大值为5，则的值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12. 已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则(　　)‎ A．f(3)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(1)＜f(2)＜f(3)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 函数y＝2－x＋4在点(-,)处的切线的斜率为 .‎ ‎14. 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　．‎ ‎15. 若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .‎ ‎16.已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. (本小题满分12分)已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知p：指数函数f(x)＝(‎2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋‎2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．‎ ‎19. (本题满分12分) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．‎ ‎(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．‎ ‎20. (本题满分12分) 已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率kPA、kPB满足kPA·kPB=-.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程;‎ ‎(2)若H是曲线E与y轴正半轴的交点,则曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明满足条件的M、N有几对;若不存在,请说明理由.‎ ‎21. (本题满分12分) 已知函数，g(x)aln xx(a0)．‎ ‎（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a > 0时，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1) < f (x2)成立，其中是自然对数的底数．‎ ‎22. (本题满分12分)平面直角坐标系中，曲线.直线经过点，且倾斜角为.以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.‎ 南昌三中2016—2017学年度上学期 高二期终考试数学(文)答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 复数的共轭复数是(　C　)．‎ A．－i B.i C．－i D．i ‎2. 函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是 (　A　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．由a确定 ‎3. 与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　B　)．‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－1＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x－y-3＝0 ‎ ‎4. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 ( A ) 条件 ‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 ‎5. 下列判断错误的是（ C ）‎ A．若为假命题，则至少之一为假命题 B. 命题“”的否定是“”‎ C．“若且，则”是真命题 D．“若，则”的否命题是假命题 ‎ ‎6.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 (　A　)‎ A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)‎ ‎7. 若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是 (B　　)‎ A．(0,1) B. C．(－∞，1) D．(0，＋∞) ‎ ‎8. 函数f(x)＝sinx＋2xf ′()，f ′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是(　B　)‎ ‎　 A．f(a)f(b)　 C．f(a)＝f(b)　 D．f(|a|)>f(b)‎ ‎9. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（　A 　）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若 的最大值为5，则的值是（ B ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12. 已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则(　A　)‎ A．f(3)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(1)＜f(2)＜f(3)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 函数y＝2－x＋4在点(-,)处的切线的斜率为 .‎ ‎14. 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　a>3或a<-1　　　　　．‎ ‎15. 若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=____2_____.‎ ‎16.已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为___m≥1_____．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. (本小题满分12分) 已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值 答案:X＋y－2=0；x=2时f(x)取得极少值2，无极大值。‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知p：指数函数f(x)＝(‎2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋‎2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．‎ 答案　(，3]∪[，＋∞)‎ 解析　p真，则指数函数f(x)＝(‎2a－6)x的底数‎2a－6满足0<‎2a－6<1，所以30，a<－2或a>2；②对称轴x＝－＝>3；③g(3)>0，即32－‎9a＋‎2a2＋1＝‎2a2－‎9a＋10>0，所以(a－2)(‎2a－5)>0.所以a<2或a>.‎ 由得a>. p真q假，由3，得0), 则HN所在直线的方程为y=-x+1. ‎ 联立,消去y整理得(1+4k2)x2+8kx=0,得xM=-,‎ 将xM=-代入y=kx+1可得yM=-+1,故点M的坐标为(-,+1).‎ 所以|HM|=, 同理可得|HN|=,‎ 由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2, 所以k3-4k2+4k-1=0,整理得(k-1)(k2-3k+1)=0, 解得k=1或k=. ‎ 当直线HM的斜率k=1时,直线HN的斜率为-1; 当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为;‎ 当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为. 综上所述,符合条件的M、N有3对.‎ ‎21. (本题满分12分)‎ ‎ 已知函数，g(x)aln xx(a0)．‎ ‎（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a > 0时，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1) < f (x2)成立，其中是自然对数的底数．‎ 解析：（Ⅰ）函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝＝.　　　　　　　　……1分 当a>0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f ′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f (x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 当a<0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f ′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f (x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 综上所述，‎ 当a>0时，f (x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；‎ 当a<0时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a>0时，f (x)在区间(0，1)上单调递增，f (x) >f (0)＝a；‎ f (x)在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝＋a>a，所以当x∈(0，e]时，f (x)>a. ……6分 因为g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝－1，令g′(x)＝0，得x＝a.‎ ‎①当a≥e时，g′(x)≥0在区间(0，e]上恒成立，‎ 所以函数g(x)在区间(0，e]上单调递增，所以g(x)max＝g(e)＝a－e0，得0a，所以函数g(x)在区间(0，a)上单调递增，在区间(a，e]上单调递减．所以g(x)max＝g(a)＝aln a－a. 　　　　　　　　　……9分 因为a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，‎ 所以对任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)