重庆市江津中学实验中学等七校2020届高三6月联考（三诊）数学（理）试题 11页

七校高2020级第三次诊断性考试 数学（理科）试题 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.‎ ‎4．考试结束后，将答题卷交回.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（綦江）已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（铜梁）设,则在复平面内z对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．（实验）命题“”的否定是（ ）‎ A．不存在 B．‎ C． D．‎ ‎4．（綦江）设等差数列的前项和为，且，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（实验）已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 ‎ B．若，则 C．若，，则 ‎ D．若，则 ‎6．（长寿）如图所示,给出的是求：的值的 一个程序框图, 判断框内应填入的条件是（ ）.‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎7．（大足）《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，‎ 其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给 出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将 圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积 公式中的近似取为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（綦江）函数在上的大致图象是（ ）‎ ‎9．（实验）已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点．若的面积为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（綦江）受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎11．（大足）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（实验）函数，若最大值为，最小值为，则（ ）‎ A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．（合川）已知向量=(1，1)，，且，则的值等于 .‎ ‎14．（实验）展开式的常数项是 ．‎ ‎15．（长寿）已知圆的方程为，过直线：（）上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线的斜率为 ．‎ ‎16．（綦江）已知数列中，，，设+…，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ‎ ‎17．（实验）在中，角的对边分别为，且满足 ‎．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎18．（綦江）如图，在四棱锥中 ‎，,,‎ ‎，,点是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎19．（江津）某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：‎ 空气质量指数 ‎(0，50]‎ ‎(50，100]‎ ‎(100，150]‎ ‎(150，200]‎ ‎(200，300]‎ ‎300以上 空气质量等级 一级 ‎(优)‎ 二级 ‎(良)‎ 三级 ‎(轻度污染)‎ 四级 ‎(中度污染)‎ 五级 ‎(重度污染)‎ 六级 ‎(严重污染)‎ ‎（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；‎ ‎（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).‎ ‎①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.‎ ‎20．（铜梁）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作斜率为，（）的两条直线分别交于异于点的两点.证明：当时，直线过定点.‎ ‎21．（大足）已知函数，，其中.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立时最大的记为，当时，的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎22．（长寿）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若射线与直线相交于点，求的值.‎ ‎23．（长寿）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围. ‎ 七校高2020级第三次诊断性考试 数学（理科）答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1-12　AACDA　ACDCB　DD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．—2 14． 15． 16．【解析】‎ ‎∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，‎ ‎∴，又∵当时，也满足上式，‎ ‎∴数列的通项公式为，∴‎ ‎，令（），‎ 则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，‎ 故当时，，即当时， ，对任意的正整数，‎ 当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.‎ 三、解答题：‎ ‎17．（12分）解：（Ⅰ）因为，‎ 所以，‎ ‎ ………………………………………2分 即 ……………………4分 ‎ 由，得，‎ 得， ………………………6分 ‎（Ⅱ）由余弦定理：，得．‎ 得 …………………………8分 得 ………………………………10分 E M D C B A P 所以，得 所以周长为 ‎ ‎……………………………12分 ‎18．（本小题12分）‎ ‎（綦江中学改编）如图，在四棱锥 ,,,点M是棱的中点。‎ ‎（1）求证：CM∥平面PAB； ‎ ‎（2）求二面角的大小。‎ 解：E z y x M D C B A P （1）如图，取AP的中点E，连接BE、EM．‎ ‎∵M是PD的中点，∴，EM∥AD，………………………………2分 ‎ 又，BC∥AD，所以EM=BC，EM∥BC，‎ ‎∴四边形BCME为平行四边形，‎ ‎∴CM∥BE，………………………………4分 又平面PAB，平面PAB，‎ ‎∴CM∥平面PAB． ……………………5分 ‎（2）在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A为坐标原点，Ax，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，， ‎ 可得，∴，，………7分 设平面MAC的法向量为， ‎ 则由，即，令，则，‎ ‎∴为平面MAC的一个法向量．…………………………………9分 ‎∵PA⊥底面ABCD，∴可取平面ACD的一个法向量为，……………10分 ‎∴， ‎ ‎∵二面角为锐二面角 ‎∴ 二面角的大小为………………………………………………12分 注：使用几何法求二面角大小同样给分．‎ ‎19．（ 12分）‎ 解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.……………………3分 ‎（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，‎ ‎∴，，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ . …………………………………8分 ‎②甲不宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，‎ ‎∴. ………………………………12分 ‎20．解：（1）·······3分 ‎（2）由题不妨设联立方程组解 消去化简得， ‎ 且·········5分 ‎　　　‎ ‎·······8分 ‎ 　　········10分 直线，.·········12分 ‎22．解：（1）曲线的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为.‎ 化简，得.‎ 由，得 ‎∵，‎ ‎∴. ..............5分 ‎（2）射线的极坐标方程为，‎ 直线的普通方程为.‎ ‎∴直线的极坐标方程为.‎ 联立，解得.‎ ‎∴. ..............10分 ‎23．（1）当时，不等式可化为 或 或 故不等式的解集为 ..........5分 ‎（2）当时，‎ ‎( 时取等号），则不等式 的解集为空集等价于, 解得 故实数b的取值范围是 ..............10分