数学理卷·2018届广东省佛山市高三下学期教学质量检测（二）（2018 14页

‎2017 ～2018 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)‎ 数 学( ( 理科) )‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，若,，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数为虚数单位)的共轭复数( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知等差数列的前项为且，则( )‎ A．90 B．100 C.110 D．120‎ ‎5. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线的方程为,相关系数为.现给出以下3个结论：‎ ‎①； ②直线恰好过点； ③；其中正确结论是( )‎ ‎ ‎ A．①② B．①③ C.②③ D．①②③‎ ‎6.函数的最小正周期和振幅分别是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7.下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( )‎ ‎ ‎ A．-2 B．-1 C. D． ‎ ‎9.已知，设满足约束条件，且的最小值为-4，则( )‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎10.已知分别为双曲线 的左、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C.2 D．‎ ‎11.如图，正方形的棱长为 4 ,点分别在底面、棱上运动,且，点为线段运动时,则线段的长度的最小值为( )‎ ‎ ‎ A．2 B． C.6 D．‎ ‎12.已知函数,曲线关于直线对称,现给出如结论：‎ ‎①若,则存在，使；‎ ‎②若，则不等式的解集为；‎ ‎③若，且是曲线 的一条切线,则 的取值范围是.‎ 其中正确结论的个数为( )‎ A．0 B．1 C.2 D．3‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知均为单位向量,且它们的夹角为120°,则 ．‎ ‎14.的展开式中的常数项是 ．‎ ‎15.若抛物线的焦点在直线上，则直线截抛物线的弦长为 ．‎ ‎16.若使得成立的最小整数，则使得成立的最小整数 ‎ ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图 ,在平面四边形中，.‎ ‎(Ⅰ)若,求的面积；‎ ‎(Ⅱ)若，求.‎ ‎ ‎ ‎18. 如图，在多面体中，平面，直线与平面所成的角为30°，为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎ ‎ ‎19. 单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为 1% ,且每个人血检是否呈阳性相互独立.‎ ‎(Ⅰ) 根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验．‎ 现有两个分组方案：‎ 方案一: 将 55 人分成 11 组,每组 5 人；‎ 方案二：将 55 人分成5组,每组 11 人；‎ 试分析哪一个方案工作量更少？‎ ‎(Ⅱ) 若该疾病的患病率为 0.4% ,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99% ,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据:)‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点为.过作直线交椭圆于，过作直线交椭圆于，且垂直于点.‎ ‎(Ⅰ)证明：点在椭圆内部；‎ ‎(Ⅱ)求四边形面积的最小值.‎ ‎21. 已知,函数.‎ ‎(Ⅰ)若有极小值且极小值为0，求的值；‎ ‎(Ⅱ)当时，, 求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数，.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上一点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同一条直线上，且成等比数列,求 的极坐标方程.‎ ‎ ‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017~2018 年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）‎ 数 学 （ 理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCDAA 6-10: BDBCC 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14.240 15. 40 16.18‎ 三、解答题 ‎17.解析(Ⅰ)在中，由余弦定理得，，‎ 即，解得或(舍去)，‎ 所以的面积.‎ ‎(Ⅱ)设，在中，由正弦定理得，,‎ 即，所以.‎ 在中，，则，‎ 即，即，整理得.‎ 联立，解得，即.‎ ‎ ‎ ‎18.【解析】(Ⅰ)连接，取的中点为，连接.‎ 因为平面平面，所以，‎ 又,所以平面，‎ 则为直线与平面所成的角，即.‎ 所以,‎ 所以是等腰直角三角形，则，‎ 又平面,所以，所以平面.‎ 又分别是的中点，所以又，所以,‎ 故四边形是平行四边形,所以,‎ 所以平面,又平面，所以平面平面.‎ ‎(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,‎ 则,‎ 所以.‎ 设平面 的法向量为,则，即,解得,‎ 令，得；‎ 设平面的法向量为，则,即,解得,‎ 令，得；‎ 所以,‎ 所以二面角的大小为60°.‎ ‎19.【解析】(Ⅰ)方法1：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，6.‎ 所以，‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎6‎ ‎0.951‎ ‎0.049‎ 所以.‎ 故方案一的化验总次数的期望为:次.‎ 设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，12，‎ 所以，‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎12‎ ‎0.895‎ ‎0.105‎ 所以.‎ 故方案二的化验总次数的期望为：次.‎ 因，所以方案二工作量更少.‎ 方法 2:也可设方案一中每个人的化验次数为 ,则 的取值为.‎ 方案二中每个人的化验次数为 ,则的取值为.‎ 同方法一可计算得,因,所以方案二工作量更少.‎ ‎(Ⅱ)设事件：血检呈阳性；事件:患疾病．‎ 则由题意有,‎ 由条件概率公式，得,‎ 故, 所以血检呈阳性的人确实患病的概率为 39.6%.‎ ‎20.【解析】(Ⅰ)由题意得,故,所以椭圆方程为.‎ 由于分别为过两焦点, 且垂直相交于点,则的轨迹为以为直径的圆，‎ 即的轨迹方程为,‎ 又因为，所以点在椭圆内部.‎ ‎(Ⅱ)①当斜率不存在时,直线的方程为, 此时直线的方程为,‎ 此时四边形的面积为.‎ 同时当斜率为0时,此时的斜率不存在,易得.‎ ‎②当斜率存在且不为0时，设直线方程为,直线方程为,‎ 设,联立，消去整理得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 同理得 则 令，则 即当，即时，‎ 综合上式①②可得，当时，.‎ 求最值的其它方法:,令,得,‎ 因为,当时，,且是以为自变量的增函数，所以.‎ 综上可知,. 即四边形面积的最小值为.‎ 方法二:①当斜率为0,此时直线轴,此时四边形的面积为.‎ 同时当斜率为0时，此时轴，易得.‎ ‎②当斜率存在且不为0时,设直线方程为,直线方程为,‎ 设，联立,消去整理得,‎ 所以,‎ 所以.‎ 同理得 则 下同解法一.‎ ‎21.【解析】(Ⅰ).‎ ‎①若，则由解得,‎ 当时，递减；当上，递增；‎ 故当时，取极小值，令，得（舍去）.‎ ② 若，则由，解得.‎ ‎(i)若，即时，当，.递增；当上，递增.‎ 故当时，取极小值，令，得（舍去）‎ ‎（ii）若，即时，递增不存在极值；‎ ‎(iii)若，即时，当上，递增；，上，递减；当上，递增.‎ 故当时，取极小值,得满足条件.‎ 故当 有极小值且极小值为0时,‎ ‎(Ⅱ)等价于，即 当时，①式恒成立；当时，，故当时，①式恒成立；‎ 以下求当时,不等式恒成立，且当时不等式 恒成立时正数的取值范围.‎ 令,以下求当恒成立，且当,‎ 恒成立时正数的取值范围.‎ 对求导，得，记.‎ ‎(i)当时，,‎ 故在上递增，又，故,‎ 即当时，式恒成立；‎ ‎(ii)当时，,故的两个零点即的两个零点和,在区间上，是减函数，‎ 又，所以，当时①式不能恒成立.‎ 综上所述,所求的取值范围是.‎ ‎22.【解析】(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为，化简得,‎ 又，所以 代入点得，解得或（舍去）.‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ) 由题意知,设直线的极坐标方程为，设点,‎ 则.‎ 联立得，，所以.‎ 联立得，.‎ 因为成等比数列，所以，即.‎ 所以,解得.‎ 经检验满足四点依次在同一条直线上,所以的极坐标方程为.‎ ‎23.【解析】(Ⅰ)当时，不等式为.‎ 若，则，解得或，结合得或.‎ 若，则，不等式恒成立，结合得.‎ 综上所述,不等式解集为.‎ ‎(Ⅱ)‎ 则的图象与直线所围成的四边形为梯形,‎ 令,得,令，得,‎ 则梯形上底为, 下底为 11,高为.‎ ‎.‎ 化简得，解得，结合，得的取值范围为.‎ ‎ ‎