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- 2021-06-10 发布
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第1讲 坐标系与参数方程
1.(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy中,直线l1的倾斜角为30°,且经过点A(2,1).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l2:ρcos θ=3.从坐标原点O作射线交l2于点M,点N为射线OM上的点,满足|OM|·|ON|=12,记点N的轨迹为曲线C.
(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l1与曲线C交于P,Q两点,求|AP|·|AQ|的值.
解:(1)直线l1的参数方程为(t为参数),即(t为参数).
设N(ρ,θ),M(ρ1,θ1)(ρ>0,ρ1>0),
则,又ρ1cos θ1=3,所以ρ=12,即ρ=4cos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0(x≠0).
(2)设P,Q对应的参数分别为t1,t2,将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,
得(2+t)2-4(2+t)+(1+t)2=0,
即t2+t-3=0,Δ=13>0,
t1,t2为方程的两个根,所以t1t2=-3,
所以|AP||AQ|=|t1t2|=|-3|=3.
2.(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并取相同的单位长度,曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)过P(0,1)的直线l交曲线C1于A,B两点,当|PA|·|PB|=8时,求直线l的倾斜角.
解:(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2=4y,曲线C2的极坐标方程可化为ρcos θ-ρsin θ=2,化为直角坐标方程为x-y-2=0.
(2)设直线l的参数方程为(m为参数,α为直线l的倾斜角且α
≠90°),
代入曲线C1的普通方程中得m2cos2α-4msin α-4=0,
所以m1m2=,
所以|PA|·|PB|=|m1m2|==8,得α=45°或135°,即直线l的倾斜角为45°或135°.
3.(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρ(sin θ-acos θ)=(a∈R).
(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程;
(一题多解)(2)若直线C2与曲线C1有两个不同的交点,求a的取值范围.
解:(1)曲线C1的普通方程为y=1-x2(-1≤x≤1),把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入ρ(sin θ-acos θ)=,得直线C2的直角坐标方程为y-ax=,即ax-y+=0.
(2)法一:由直线C2∶ax-y+=0,知直线C2恒过点M(0,).由y=1-x2(-1≤x≤1),知当y=0时,x=±1,
则直线MP的斜率为k1==,
直线MQ的斜率为k2==-.
因为直线C2的斜率为a,且直线C2与曲线C1有两个不同的交点,所以k2≤a≤k1,即-≤a≤.
所以a的取值范围为[-,].
法二:联立,消去y得x2+ax-=0,依题意,得x2+ax-=0在[-1,1]上有两个不相等的实根.
设f(x)=x2+ax-,
则解得-≤a≤.
所以a的取值范围为[-,].
4.(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=4sin(θ+).
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与直线l的交点为A,B,Q是曲线C上的动点,求△ABQ面积的最大值.
解:(1)由消去t得x+y-5=0,所以直线l的普通方程为x+y-5=0.
由ρ=4sin(θ+)=4sin θ+4cos θ,得ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,
化为直角坐标方程为x2+y2=4x+4y,
所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.
(2)由(1)知,曲线C是以(2,2)为圆心,2为半径的圆,直线l过点P(3,2),可知点P在圆内.
将直线l的参数方程化为,代入圆的直角坐标方程,得t2-9t+33=0.
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=9,t1t2=33,
所以|AB|=|t2-t1|==.
又圆心(2,2)到直线l的距离d==,
所以△ABQ面积的最大值为××(+2)=.
5.(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ,直线l
的参数方程为(t为参数,其中a>0),直线l与曲线C相交于M,N两点.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若点P(0,a)满足+=4,求a的值.
解:(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2cos2θ=ρsin θ,
由,得曲线C的直角坐标方程为y=x2.
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y=x2,得t2--a=0,Δ=+3a>0.
设M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,
所以+==
===4,
化简得64a2-12a-1=0,
解得a=或a=-(舍去),
所以a=.
6.(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数,实数a>0),曲线C2:(φ为参数,实数b>0).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α(ρ≥0,0≤α≤)与C1交于O,A两点,与C2交于O,B两点,当α=0时,|OA|=1;当α=时,|OB|=2.
(1)求a,b的值;
(2)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值.
解:(1)将C1的参数方程化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,其极坐标方程为ρ1=2acos θ,
由题意可得,当θ=α=0时,|OA|=2a=1,所以a=.
将C2的参数方程化为普通方程为x2+(y-b)2=b2,其极坐标方程为ρ2=2bsin θ,
由题意可得,当θ=α=时,|OB|=2b=2,所以b=1.
(2)由(1)可得C1,C2的方程分别为ρ1=cos θ,ρ2=2sin θ,
所以2|OA|2+|OA|·|OB|=2cos2θ+2sin θcos θ=sin 2θ+cos 2θ+1=sin(2θ+)+1.
因为θ=α,0≤α≤,所以0≤θ≤,所以2θ+∈[,],
所以当2θ+=,即θ=时,sin(2θ+)+1取得最大值,为+1.
7.(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C的参数方程为(α为参数),以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)P,Q为曲线C上两点,若·=0,求的值.
解:(1)由,得曲线C的普通方程是+y2=1,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得5ρ2sin2θ+2ρ2cos2θ=5,
即ρ2=(ρ2=也可得分).
(2)因为ρ2=,所以=sin2θ+,
由·=0,得OP⊥OQ,
设点P的极坐标为(ρ1,θ),则点Q的极坐标可设为(ρ2,θ±),
所以==
===.
8.(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.
(1)若点P的极坐标为(2,π),求|PM|·|PN|的值;
(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值.
解:(1)由ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12得x2+3y2=12,故曲线C的直角坐标方程为+=1,点P的直角坐标为(-2,0),
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程+=1中,得t2-t-4=0,设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|·|PN|=|t1t2|=4.
(2)由(1)知,曲线C的直角坐标方程为+=1,可设曲线C上的动点A(2cos α,2sin α),0<α<,
则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos α+2sin α)=16sin(α+),0<α<.
因此该内接矩形周长的最大值为16,当且仅当α=时取得最大值.