2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 9页

‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二 一、填空题（64分）‎ ‎1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ．‎ ‎2．函数的值域为 ．‎ ‎3．设为正实数，，，则 ．‎ ‎4．如果，，那么的取值范围是 ．‎ ‎5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）‎ ‎6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为 ．‎ ‎7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为 ．‎ ‎8．已知C，则数列中整数项的个数为 ．‎ 二、解答题（56分）‎ ‎9．（16分）设函数，实数满足，，求的值．‎ ‎10．（20分）已知数列满足：R且，‎ N．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，试比较与的大小．‎ y x O P A B ‎11．（20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．‎ ‎（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；‎ ‎（2）若，求△的面积．‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二 参考答案 ‎1．. 提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 ‎，‎ 故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．‎ ‎2．. 提示：设，且，则 ‎．‎ 设，则，且，所以 ．‎ ‎3．-1. 提示：由，得．又 ‎ ‎，‎ 即 ‎ ‎． ①‎ 于是 ‎ ‎ ． ②‎ 再由不等式①中等号成立的条件，得．与②联立解得或 故．‎ ‎4．. 提示：不等式 等价于 ‎. ‎ 又是上的增函数，所以，故 Z)．‎ 因为，所以的取值范围是．‎ ‎5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： ‎ ‎（1）有一个项目有3人参加，共有种方案；‎ ‎（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；‎ 所以满足题设要求的方案数为．‎ ‎6．. 提示：设四面体的外接球球心为，则在过△的外心且垂直于平面的垂线上．由题设知，△是正三角形，则点为△的中心．设分别为的中点，则在上，且，．‎ 因为，设与平面所成角为，可求得．‎ A B C D O P M N 在△中，．‎ 由余弦定理得 ‎，‎ 故．四边形的外接圆的直径 ‎ ‎．‎ 故球的半径．‎ ‎7．或．提示： 设，由得 ，则，．‎ 又，所以 ‎，‎ ‎．‎ 因为，所以，即有 ‎，‎ 即 ‎，‎ 即 ‎，‎ 即 ‎．‎ 显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．‎ 故所求点的坐标为或．‎ ‎8．15. 提示：C．‎ 要使 为整数，必有均为整数，从而．‎ 当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．‎ 当时，C，在C中，中因数2的个数为 ‎，‎ 同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数．‎ 当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．‎ 因此，整数项的个数为．‎ ‎9．因为，所以 ‎，‎ 所以或，又因为，所以，所以． ‎ 又由有意义知，从而 ‎，‎ 于是 ‎．‎ 所以 ‎ ‎．‎ 从而 ‎ ‎．‎ 又 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 故 ．解得或（舍去）．‎ 把代入解得． ‎ 所以 ，． ‎ ‎10．（1）由原式变形得 ‎ ‎，‎ 则 ‎ ‎．‎ 记，则，． ‎ 又 ，从而有 ‎，‎ 故 ，于是有 ． ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 显然在时恒有，故． ‎ ‎11．（1）设直线：，．‎ 将代入中，化简整理得 ‎．‎ 于是有，． 则 ‎，‎ 上式中，‎ 分子 ‎，‎ 从而，．‎ 又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上． ‎ ‎（2）若时，结合（1）的结论可知．‎ 直线的方程为：，代入中，消去得 ‎．‎ 它的两根分别是和，所以，即．所以 ‎．‎ 同理可求得． ‎ 所以 ‎ ‎．‎ ‎ ‎