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- 2021-06-10 发布
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张家口市第一中学2019-2020学年级高二12月考试
数学试卷(普实班)
(满分:150分,测试时间:120分钟)
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为600件、400件、300件,用分层抽样方法抽取容量为n的样本,若从丙车间抽取6件,则n的值为()
A. 18 B. 20 C. 24 D. 26
2. 若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事.“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为()
A. B. C. D.
4. 随机调查某校50个学生在学校的午餐费,结果如表:
餐费(元)
6
7
8
人数
10
20
20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是( )
A. , B. , C. 7, D. 7,
5. 方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为
A. B. C. D.
6. 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上,若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()
A. B. C. D.
1. 已知抛物线y2=4x,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点,则△AOB的面积为( )
A. B. C. D.
2. 已知动点M(x,y)的坐标满足方程,则M的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
3. 已知非零向量不共线,如果,, ,则四点A,B,C,D( )
A. 一定共线 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面 D. 可能不共面
4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
1. 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上,记,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
2. 设f(x)在x处可导,则等于( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
3. 若向量=(2,1,-2),∥且||=1,则=______.
4. 如图茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为______,______.
1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
2. 函数在R上不是单调函数,则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共72分)
3. 本题满分10分
已知命题p:“曲线C1:=1表示焦点在x轴上的椭圆”,命题q:“曲线C2:表示双曲线”.
(1)若命题p是真命题,求m的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求t的取值范围.
18、本题满分12分
20名学生某次数学考试成绩单位:分的频率分布直方图如图:
Ⅰ求频率分布直方图中a的值;
Ⅱ分别求出成绩落在与中的学生人数;
Ⅲ从成绩在的学生任选2人,求此2人的成绩都在中的概率.
19、本题满分12分
如图,已知三棱锥D-ABC中,二面角A-BC-D的大小为90°,且∠BDC=90°,∠ABC=30°,BC=3,.
(1)求证:AC⊥平面BCD;
(2)二面角B-AC-D为45°,且E为线段BC的中点,求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值.
20、本题满分12分
若直线l为曲线C1:y=x2与曲线C2:y=x3的公切线,求直线l的斜率为
21、本题满分12分
已知椭圆:(a>b>0)过点,且离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:()交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由。
22、本题满分12分
已知抛物线C;y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1•k2为定值.
高二数学12月月考答案和解析
1.DAAA.D 6.ACDCC 11.BC
13.()或(-,-,). 14.5 8 15. 16.(-∞,-1)∪(1,+∞)
17.【答案】解:(1)若p为真:则,
解得-4<m<-2,或m>4;-------5分
(2)若q为真,则(m-t)(m-t-1)<0,
即t<m<t+1,
∵p是q的必要不充分条件,
则{m|t<m<t+1}{m|-4<m<-2,或m>4},
即或t≥4,
解得-4≤t≤-3或t≥4.-------10分
18.【答案】解:Ⅰ根据直方图知组距,由,解得-------3分;Ⅱ成绩落在中的学生人数为,成绩落在中的学生人数为;-------7分Ⅲ记成绩落在中的2人为A,B,成绩落在中的3人为C,D,E,
则成绩在的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,
其中2人的成绩都在中的基本事件有CD,CE,DE共3个,
故所求概率为.-------12分
19.【答案】解:(1)△ABC中,由,
解得,从而AC2+BC2=AB2,
∴AC⊥BC;
又二面角A-BC-D的大小为90°,即平面BCD⊥平面ABC,
而平面BCD∩平面ABC=BC,AC平面ABC,
故AC⊥平面BCD;-------6分
(2)以C为原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴,过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,故平面ABC的法向量=(0,0,1),
设平面ACD的法向量=(1,m,n),由,
易知m=0,
从而=(1,0,n),,
解得n=±1,结合实际图形,可知n取1时,二面角为135°,应舍去
所以=(1,0,-1),
易知,B(3,0,0),
故,
则,设直线AE与平面ACD所成的角为θ,
则,即直线AE与平面ABC所成的角的正弦值为.-------12分
20.【答案】解:【解析】解:曲线C1:y=x2,则y′=2x,曲线C2:y=x3,则y′=3x2,-------3分
直线l与曲线C1的切点坐标为(a,b),则切线方程为y=2ax-a2,-------6分
直线l与曲线C2的切点坐标为(m,n),则切线方程为y=3m2x-2m3,-------9分
∴2a=3m2,a2=2m3,
∴m=0或m=,
∴直线l的斜率为0或.-------12分
21.【答案】解:(1)由已知得,解得,
∴椭圆E的方程为;-------5分
(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),则,
联立直线AB与椭圆的方程,消去x整理得(m2+2)y2-2my-3=0,
∴,
从而,
∴,又不共线,
∴∠AGB为锐角,故点在以AB为直径的圆外.-------12分
22.【答案】解:(1)由题意抛物线y2=2px过点A(1,1),所以p=,
所以抛物线的方程为y2=x;-------5分
(2)证明:设过点P(3,-1)的直线l的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,
代入y2=x得y2-my-m-3=0
,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,
所以k1•k2==
==-,
所以k1•k2为定值.-------12分