【数学】2018届一轮复习人教A版第47讲平面向量的应用学案 5页

‎【知识要点】‎ 一、向量在几何中的应用 ‎ 1、三角形法则、平行四边形法则 ‎ ‎ ‎2、向量的数乘 ‎（1）定义：求实数与向量的乘积的运算叫向量的数乘，记作.‎ ‎（2）向量的数乘结果还是一个向量.‎ 当时，与的方向相同，且；‎ 当时，与的方向相反，且.‎ ‎3、向量共线定理 如果向量为非零的向量，那么向量与向量共线有且只有一个实数，使得.‎ ‎ 4、向量的平行和垂直 ‎(1)设=,=，则(竖乘相加).‎ ‎（2）设=,=，则（(竖乘相加等于零).‎ 设=,=，则||（斜乘相减等于零）‎ ‎（3）设=,=，为向量与的夹角，则 ‎5、距离 ‎ （1） 或; ‎ ‎（2）设,， =.‎ ‎6、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”‎ 先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量 积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.‎ 二、 向量在物理中的应用：‎ ‎1、向量的加法与减法在力的分解及合成中的应用;‎ ‎ 2、 向量在速度的分解及合成中的应用;‎ ‎ 3、向量的数量积在力所做的功中的应用;‎ ‎4、利用向量解决物理问题的步骤: （1）问题转化,即把物理问题转化为数学问题; （2）模型建立,即建立以向量为主体的数学模型; （3）参数获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; （4）问题答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.‎ ‎【方法讲评】‎ 题型一 平面向量在几何中的应用 使用情景 平面几何涉及距离（线段长度）、夹角问题.‎ 解题步骤 先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.‎ ‎ ‎ ‎【例1】 如图，平行四边形中，点分别是边的中点，分别与交于两点，你能发现之间的关系吗？‎ A B C D E F R T ‎【点评】（1）利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.（2）首先要构造，，它是平面向量的基底. 学科*网 ‎【反馈训练1】利用向量证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.‎ 题型二 平面向量在物理中的应用 使用情景 力的分解及合成、速度的分解和合成、在力所做的功中的应用 解题步骤 ‎（1）问题转化,即把物理问题转化为数学问题;（2）模型建立,即建立以向量为主体的数学模型;（3）参数获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;（4）问题答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.‎ ‎【例2】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸点出发，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东.‎ ‎（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两位有效数字）‎ ‎（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用于江水速度间的夹角表示，精确到度）‎ A B C D ‎【点评】（1）先找到江水速度、船速以及船实际航行的速度之间的关系，并利用向量来表示它们的关系.（2）向量是有大小，又有方向的量，它的大小的计算主要是通过解三角形来完成的.‎ ‎【反馈训练2】一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从某岸的处出发到河对岸，已知船的速度||=，水流的速度||=‎ ‎，当行驶航程最短时，所用的时间是多少？‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第47讲：‎ 平面向量的应用参考答案 ‎【反馈训练1答案】证明见后面的解析.‎ ‎【反馈训练2答案】2.4（分钟）‎ ‎【反馈训练2详细解析】∵河的宽度为，船的速度||=‎ ‎∴当行驶航程最短时，需要使得航行的路线是与河岸垂直，‎ 在垂直与河岸的分速度是 ‎∴过河需要小时，‎ ‎∴所用的时间是0.04×60=2.4（分钟）‎