数学理卷·2018届北京市房山区高三4月模拟考试（一模）（2018 13页

‎　房山区2018年高考第一次模拟测试试卷 数学（理）‎ 第一部分 （选择题 共分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合，，则集合等于 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知实数满足条件，则的最大值是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 开始 S=2S+k k=k+1‎ S=0, k=1‎ 否 是 输出S 结束 （4） 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断 框内应填入的条件是 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D） ‎ ‎（5）下列函数中，与函数的单调性和奇偶性相同的函数是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】（A）‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）“”是“关于的方程无解”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（8）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转的过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，则下列判断正确的是 ‎（A）当时，‎ ‎（B）时， 为减函数 ‎（C）对任意，都有 ‎（D）对任意，都有 第二部分 （非选择题 共分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）抛物线的焦点坐标为 . ‎ ‎（10）某班植树小组今年春天计划植树不少于棵，若第一天植树 棵，以后每天植树的棵数是前一天的倍，则需要的最少天数等于 .‎ ‎（11）在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为______．‎ ‎（12）已知函数同时满足以下条件：①周期为；②值域为；③．试写出一个满足条件的函数解析式 .‎ ‎（13）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 .‎ ‎（14）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为，且 ，则 .‎ C E D A B 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题分）‎ ‎ 在△中，内角的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的值； ‎ ‎（Ⅱ）若，，求△的面积．‎ ‎（16）（本小题分）‎ ‎ 年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过天，重度污染的天数仅有天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间内，将数据按区间列表如下：‎ 分组 频数 频率 合计 ‎（Ⅰ）求表中，的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；‎ ‎（Ⅱ）从用气量在区间和区间的用户中任选户，进行燃气使用的满意度调查，求这户用气量处于不同区间的概率；‎ ‎（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了户，用表示用气量在区间内的户数，求的分布列和期望．‎ ‎（17）（本小题分）‎ P A B C D E 如图，四棱锥中，△是以 为斜边的等腰直角三角形，，=，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为中点，求与面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）由顶点沿棱锥侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为.求该最短路线的长及的值.‎ （18） ‎（本小题分）‎ ‎ 已知椭圆:过点，离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．‎ （19） ‎（本小题分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎（i）求在处的切线方程；‎ ‎（ii）设，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f(x)在区间有两个的零点，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ （20） ‎（本小题分）‎ ‎ 已知有穷数列数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程:中任取两项，将的值添在的最后，然后删除这样得到一个项的新数列 (约定：一个数也视作数列)．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，…，如此经过次操作后得到的新数列记作.‎ ‎（Ⅰ）设请写出的所有可能的结果；‎ ‎（Ⅱ）求证：对于一个项的数列操作总可以进行次；‎ ‎（Ⅲ）设，求的可能结果，并说明理由.‎ ‎ ‎ 房山区2018年高考第一次模拟测试试卷 数学（理）‎ 参考答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ 答案 A B C B D D A C 二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ (9) ‎ (10) (11) (12) 或 或其它满足条件的结果。‎ ‎ (13) (14) ‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题分）‎ ‎（Ⅰ）解：由已知得 ， ‎ ‎ 即 ． ‎ 解得 ，或． ‎ 因为 ，故舍去． ‎ 所以 ． …………6分 ‎ ‎（Ⅱ）解：由余弦定理得 ． ‎ 将，代入上式，整理得．‎ 因为 ， ‎ 所以 ． ‎ 所以 △的面积． …………13分 解：（Ⅰ），‎ ‎ 估计该村每户平均用气量为 ‎ …………4分 ‎（Ⅱ）设“这3户用气量处于不同区间”，则 ‎ …………7分 ‎（Ⅲ）的可能取值为，，，，则 所以的分布列为 或，所以 …………13分 ‎（17）证明：证明：（Ⅰ） 由题， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………5分 ‎ ‎（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知 以点O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示 C（）P(0,0,1), D(0,1,0) B() E(0,,)‎ P A B C D E O x y z ‎,‎ 设面PBC的法向量 设CE与面PBC所成角为 ‎ …………10分 ‎ ‎ P A B C D E x y z ‎（Ⅱ）法2：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示 C（）P(-1,0,1), D(0,0,0) B() E(,0,)‎ ‎,‎ 设面PBC的法向量 设CE与面PBC所成角为 P A B C D E x y z ‎ …………10分 法3：‎ 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示 C（）P(0,1,1), D(0,2,0) B() E(0,,)‎ ‎,‎ 设面PBC的法向量 设CE与面PBC所成角为 ‎ …………10分 ‎（Ⅲ）‎ 将侧面PCD绕着PD旋转，使其与侧面PAD共面，点C运动到C’，连接AC’交PD于E，‎ 则AC’为最短路线 ‎ …………14分 ‎（18）（Ⅰ）根据题意 ‎ 解得：‎ 所以椭圆的方程为 …………… 5分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为 由 得 ‎ 由得且 ‎ 设，线段中点 那么，‎ ‎ ‎ 设，根据题意 所以，得 所以 ‎ ‎ ‎=‎ 所以为定值 ………………… 14分 ‎（19） (Ⅰ)解：，，，.‎ ‎.‎ 故所求切线方程为：‎ ‎(Ⅱ) 解：,函数定义域为：‎ ‎，‎ 故的极小值为，无极大值.‎ ‎(Ⅲ)解法1：令，解得：（显然）‎ 问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点. ‎ 由(Ⅱ)可知：，，，解得：‎ 故实数a的取值范围是.‎ ‎(Ⅲ)解法2： ‎ ‎（1） 时，上是减函数，不能有两个零点；‎ ‎（2）时，，所以恒成立，所以上是减函数，不能有两个零点；‎ ‎（3）时，令 变化情况如下表：‎ ‎（i）时，即，上是增函数，所以不能有两个零点；‎ ‎（ii）时，上是减函数，上是增函数. 所以若有两个零点只需：‎ ‎ 即： 解得 所以 综上可知的范围是 ‎20.解：（Ⅰ）有如下的三种可能结果： ……………………3分 ‎（Ⅱ），有 且 所以，即每次操作后新数列仍是数列.‎ 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项） ……………………6分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知中仅有一项.‎ 对于满足的实数定义运算：，下面证明这种运算满足交换律和结合律。‎ 因为，且，所以，即该运算满足交换律；‎ 因为 且 ‎ 所以，即该运算满足结合律.‎ 所以中的项与实施的具体操作过程无关 ………………..….11分 选择如下操作过程求： ‎ 由（Ⅰ）可知；‎ 易知；；；；‎ 所以；‎ 易知经过4次操作后剩下一项为.‎ 综上可知： . ....................13分