数学卷·2018届广西南宁八中高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版） 18页

‎2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知a＞b，则下列结论正确的是（　　）‎ A．a2＞b2 B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．＞‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（　　）‎ A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°‎ ‎3．若，则z=x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎4．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（　　）‎ A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x ‎5．首项为﹣24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　）‎ A． B．≤d≤3 C．≤d＜3 D．‎ ‎6．若“∃x0∈R，x02+ax0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．设数列{an}的前n项和，则a3的值为（　　）‎ A．6 B．14 C．20 D．24‎ ‎9．下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是（　　）‎ A．和 ‎ B．和 ‎ C．和 ‎ D．和 ‎10．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为，则此椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知命题p：9﹣x2＞0，q：x2+x﹣6＜0，则p是q的　　条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．‎ ‎14．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=　　．‎ ‎15．在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=　　．‎ ‎16．已知双曲线2x2﹣y2=1的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，O为原点，若OM的斜率为k0，则k0k=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，b=2，，△ABC的面积为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求sinA值．‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a2=3，S5=25．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？‎ ‎（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）‎ ‎20．已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB．‎ ‎（2）求|AB|．‎ ‎21．已知函数（x∈R），其中m＞0为常数．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎22．如图，已知A、B是两个顶点，且 ‎，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P．‎ ‎（1）当M变化时，建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．‎ ‎（2）设P的轨道为曲线C，斜率为1的直线交曲线C于N、Q两点，O为坐标原点，求△NOQ面积的最大值，及此时直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知a＞b，则下列结论正确的是（　　）‎ A．a2＞b2 B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．＞‎ ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：A．取a=﹣1，b=﹣2时不成立．‎ B．由a＞b，利用不等式的基本性质可得：a+c＞b+c，成立．‎ C．c≤0时，不成立．‎ D．取a=3，b=2时不成立．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（　　）‎ A．30° B．30°或105° C．60° D．60°或120°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．‎ ‎【解答】解：由a=，b=，B=45°，‎ 根据正弦定理=得：sinA===，‎ 由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），‎ 则角A=60°或120°．‎ 故选D ‎　‎ ‎3．若，则z=x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣y过点A（1，0）时，z最大值即可．‎ ‎【解答】解：根据约束条件画出可行域，‎ 当直线z=x﹣y过点A（1，0）时，‎ z最大值，最大值是1，‎ 故答案为B．‎ ‎　‎ ‎4．以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（　　）‎ A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解析　由双曲线方程﹣=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，∴该双曲 线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为F（4，0）．设抛物线的标准方程为y2=‎ ‎2px（p＞0），则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．首项为﹣24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（　　）‎ A． B．≤d≤3 C．≤d＜3 D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先设数列为{an}公差为d，则a1=﹣24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a10＞0，a9≤0求得d的范围．‎ ‎【解答】解：设数列为{an}公差为d，则a1=﹣24；‎ a10=a1+9d＞0；‎ 即9d＞24，所以d＞‎ 而a9=a1+8d≤0；‎ 即d≤3‎ 所以＜d≤3‎ 故选D ‎　‎ ‎6．若“∃x0∈R，x02+ax0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】若“∃x0∈R，x02+ax0+1＜0”是假命题，则x2+ax+1≥0恒成立，则△=a2﹣4≤0，解得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：若“∃x0∈R，x02+ax0+1＜0”是假命题，‎ 则x2+ax+1≥0恒成立，‎ 则△=a2﹣4≤0，‎ 解得：a∈[﹣2，2]，‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=ac，‎ 化为（a﹣c）2=0，解得a=c．‎ 又B=60°，‎ 可得△ABC是等边三角形，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设数列{an}的前n项和，则a3的值为（　　）‎ A．6 B．14 C．20 D．24‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用则a3=S3﹣S2，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵，则a3=S3﹣S2=32+3﹣（22+2）=6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是（　　）‎ A．和 ‎ B．和 ‎ C．和 ‎ D．和 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】分别求出A，B，C，D离心率和渐近线，再进行比对．‎ ‎【解答】解：A中，渐近线方程分别是y=±x，y=±x，离心率都为，‎ B中，渐近线方程都是y=±x，离心率分别为，2，‎ C中，渐近线方程分别是y=±x，y=±x，离心率都为2，‎ D中，渐近线方程分别是y=±x，离心率分别为，‎ 故A正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】{an}为等比数列，可设首项为a1，公比为q，从而由a7=a6+2a5可以得出公比q=2，而由可以得出m+n=6，从而得到，从而便得到，这样可以看出，根据基本不等式即可得出的最小值．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，则由a7=a6+2a5得：‎ ‎；‎ ‎∴q2﹣q﹣2=0；‎ ‎∵an＞0；‎ ‎∴解得q=2；‎ ‎∴由得：；‎ ‎∴2m+n﹣2=24；‎ ‎∴m+n﹣2=4，m+n=6；‎ ‎∴；‎ ‎∴=，，即n=2m时取“=”；‎ ‎∴的最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．‎ ‎【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，‎ 根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为，则此椭圆的方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知列式b=c，a﹣c=，又a2=b2+c2，求出a，b，c的值即可．‎ ‎【解答】解：解：不妨以焦点在x轴上的椭圆为例，如图，‎ 则由题意可得，b=c，a﹣c=，又a2=b2+c2，联立以上三式解得：a=4，b=c=4．‎ 椭圆方程为：．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知命题p：9﹣x2＞0，q：x2+x﹣6＜0，则p是q的　必要不充分　条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用不等式的解法分别化简命题p，q，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：命题p：9﹣x2＞0，解得﹣3＜x＜3．‎ q：x2+x﹣6＜0，﹣3＜x＜2．‎ 则p是q的必要不充分条件．‎ 故答案为：必要不充分．‎ ‎　‎ ‎14．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=　e　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=xlnx ‎∴f'（x）=lnx+1‎ 则f′（x0）=lnx0+1=2‎ 解得：x0=e 故答案为：e ‎　‎ ‎15．在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=　﹣　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】先把+++进行分组求和，再利用等比中项的性质可知a7a10=a8a9，最后把a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣代入答案可得．‎ ‎【解答】解： +++=（+）+（+）=+==﹣‎ 故答案为﹣‎ ‎　‎ ‎16．已知双曲线2x2﹣y2=1的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，O为原点，若OM的斜率为k0，则k0k=　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段AB的中点为M，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），‎ 则x1+x2=2x，y1+y2=2y，‎ A，B代入双曲线方程，两式相减可得：2（x1﹣x2）×2x﹣（y1﹣y2）×2y=0，‎ ‎∵AB的斜率为k，直线OM的斜率为k0，‎ ‎∴k0k=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，b=2，，△ABC的面积为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求sinA值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可解得a的值．‎ ‎（2）由已知及余弦定理可解得c的值，利用正弦定理即可得解sinA的值．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）‎ 解：（1）∵且0＜C＜π，‎ ‎∴．…‎ ‎∵．‎ ‎∴a=1．…‎ ‎（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=2，‎ ‎∴，…‎ 由正弦定理得：得．…‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a2=3，S5=25．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎（2）利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a2=3，S5=25．‎ ‎∴a1+d=3， d=25，解得a1=1，d=2．‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎（2）∵==，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？‎ ‎（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义．‎ ‎【分析】先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，根据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．‎ ‎【解答】解：方法1：导数法 设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，‎ 则（x≥10，x∈Z+）‎ ‎，‎ 令f'（x）=0得x=15‎ 当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0‎ 因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；‎ 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．‎ 方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）‎ 设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，‎ 则，‎ 当且进行，即x=15时取等号．‎ 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线y=x﹣2与抛物线y2=2x相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB．‎ ‎（2）求|AB|．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y1+y2和y1y2的值，进而根据直线方程求得x1x2的值，利用x1x2+y1y2=0，证明OA⊥OB．‎ ‎（2）利用弦长公式求|AB|．‎ ‎【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与抛物线方程得y2﹣2y﹣4=0‎ ‎∴y1+y2=2，y1y2=﹣4‎ ‎∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴OA⊥OB．‎ ‎（2）解：直线方程代入抛物线方程整理得：x2﹣6x+4=0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则x1+x2=6，x1x2=4，‎ ‎∴|AB|==2．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数（x∈R），其中m＞0为常数．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可；‎ ‎（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．‎ ‎【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=﹣x3+x2，f′（x）=﹣x2+2x，故f′（1）=1．‎ 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，‎ 而f（1）=，‎ 故切线方程是：y﹣=x﹣1，‎ 整理得：y=x﹣；‎ ‎（2）f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1．‎ 令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．‎ 因为m＞0，所以1+m＞1﹣m．‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，1﹣m）‎ ‎1﹣m ‎（1﹣m，1+m）‎ ‎1+m ‎（1+m，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 所以f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．‎ 函数的极小值为：f（1﹣m）=﹣m3+m2﹣；‎ 函数的极大值为：f（1+m）=m3+m2﹣．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知A、B是两个顶点，且，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P．‎ ‎（1）当M变化时，建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．‎ ‎（2）设P的轨道为曲线C，斜率为1的直线交曲线C于N、Q两点，O为坐标原点，求△NOQ面积的最大值，及此时直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）根据题意画出图形，利用垂直平分线转换线段的关系得到PA+PB=4，据椭圆的定义即可得到动点P的轨迹方程．‎ ‎（2）利用基本不等式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）以线段AB的中点为坐标原点，直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系．‎ 由线段MB的垂直平分线l交MA于点P知，PB=PM 故PA+PB=PA+PM=AM=4，，A（，0）‎ ‎，B（，0），即P点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，‎ 中心为（0，0），可得a=2，c=，则b=1‎ 故P点的方程为：．‎ ‎（2）设l：y=x+m并代入 得5x2+8mx+4m2﹣4=0，‎ ‎∵△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）＞0‎ ‎∴80﹣16m2＞0 ‎ ‎ 即m∈（﹣，），‎ ‎|PQ|===‎ 又原点O到直线l的距离为d=‎ ‎∴S△OPQ=×=≤2×=2，‎ 当且仅当5﹣m2=m2即m=±时等号成立，‎ 故△OPQ面积的最大值为：2．‎ 此时直线l的方程：y=x．‎ ‎　‎