数学卷·2019届辽宁省沈阳二中、本溪市高级中学等五校联考高二上学期期中考试（2017-11） 8页

‎2017—2018学年度上学期期中考试高二试题 数学（文理通用）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题“，如果，则”的否命题为（ ） ‎ A．，如果，则 B．，如果，则 ‎ C．，如果，则 D．，如果，则 ‎ ‎2. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 不等式 的解集为（ ）‎ A． B． C．且 D．‎ ‎4. 不等式组所表示的平面区域大致为以下四幅所示的哪一个（ ）‎ ‎5. 已知数列满足，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 无字证明是指禁用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，无字证明同学（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知，且，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．无最小值 ‎8. 不等式 对于恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 命题“对于的最小值为9”；命题“若关于的方程有两个正实根，则”，下列选项正确的是（ ）‎ A．为真 B．为假 C．为真 D．为假 ‎ ‎10. 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（ ）‎ A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥‎ ‎11. 关于等差数列和等比数列，有如下四个说法：‎ ‎①若数列的前项和为常数）则数列为等差数列；‎ ‎②若数列的前项和为常数）则数列为等差数列；‎ ‎③数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列；‎ ‎④数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列；‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知，现有下列四个结论：①；②；③‎ ‎；④若，则，起哄正确的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.写出命题“正方形菱形 ”的非： ．‎ ‎14.等比数列中，已知，则 ．‎ ‎15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总储存费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值为 ．‎ ‎16.已知函数，设为数列的前项和，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 解不等式.‎ ‎18. 已知，关于的一元二次方程，求上述两个方程的根都是整数的充要条件.‎ ‎19.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且.‎ ‎（1）求与；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20. 下表给出三种食物的维生素含量及其成本：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 维生素A（单位/千克）‎ ‎4000‎ ‎5000‎ ‎300‎ 维生素B（单位/千克）‎ ‎700‎ ‎100‎ ‎300‎ 成本（元/千克）‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 现欲将三种食物混合成本100千克的混合食品，要求至少含35000单位维生素A，40000单位维生素B，采用何种配比成本最小？‎ ‎21.数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）试写出；‎ ‎（2）设，求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）求出数列的前项和为及数列的通项公式.‎ ‎22.在数列中，，其前项和为，满足，其中.‎ ‎（1）设，证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求；‎ ‎（3）设数列的通项公式为为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有数列为递增数列.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCACC 6-10: DCADD 11、B 12：C 二、填空题 ‎13. 正方形菱形 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：当时，原不等式为，解集为；‎ 当时，原不等式化为，又，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式化为，又，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 综上所述，当时，原不等式为；当时，原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为.‎ ‎18.解：方程有实数，则，即，‎ 方程有实根，即，‎ 所以上述两个方程都有实数根，‎ 因为，所以；‎ 当时，方程可化为，无实数根；‎ 当时，方程可化为，无实数根；‎ 当时，上述两个方程都有整数解，‎ 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是.‎ ‎19.解：（1）设的公差为，因为，‎ 所以或（舍），，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）问可得，所以，‎ 所以 ‎ ‎20.解：设三种食物分别用千克，千克，千克，‎ 则满足 ，‎ 再设成本为元，则，‎ 约束条件可转化为 ‎ 目标函数可转化为，‎ 作出上面不等式组表示的平面区域，求得最优解为，‎ 从而元，‎ 答：三种食物分别却30千克，10千克，60千克时成本最小.‎ ‎21.解：（1）；‎ ‎（2）由可得，‎ 整理，‎ 所以，又有，‎ 所以数列是等比数列，首项是1，公比为2.‎ ‎（3）由（2）可知，且，进而，‎ 所以数列的前项和，‎ 当，‎ 当时，也满足上式.‎ ‎22.解：（1）当时，，所以，‎ 当时，，‎ 所以，即，所以（常数）‎ 又，所以是首项为2，公差为1的对称数列，所以.‎ ‎（2），‎ 所以，‎ ‎，‎ 相减得，‎ 所以.‎ ‎（3）若数列为递增数列，可得，得，‎ 化简得，‎ 即，‎ 进而对任意恒成立，‎ 当为奇数时，，所以；‎ 当为偶数时，，所以，‎ 所以，又为非零整数，所以.‎