寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题5 相关性与回归直线方程（解析）x 11页

专题5　相关性与回归直线方程 ‎1．两个变量线性相关 ‎(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．‎ ‎(2)正相关与负相关 ‎①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．‎ ‎②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．‎ ‎2．回归直线的方程 ‎(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．‎ ‎(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．‎ ‎(3)回归方程的推导过程：‎ ‎①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．‎ ‎②设所求回归方程为＝x＋，其中，是待定参数．‎ ‎③由最小二乘法得 .‎ 其中，是回归方程的斜率，是截距．‎ 例1　在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？‎ ‎①正方形边长与面积之间的关系；‎ ‎②作文水平与课外阅读量之间的关系；‎ ‎③人的身高与年龄之间的关系；‎ ‎④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．‎ 变式1　有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？有人认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？‎ 例2　以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：‎ 画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关．‎ 变式2　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：‎ ‎(1)画出散点图；‎ ‎(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？‎ 例3　有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：‎ ‎(1)画出散点图；‎ ‎(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；‎ ‎(3)求回归方程；‎ ‎(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数．‎ 变式3　下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.‎ ‎(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系，说明理由；‎ ‎(2)如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．‎ A级 ‎1．下列两个变量之间的关系：‎ ‎①角度和它的余弦值；‎ ‎②正n边形的边数与内角和；‎ ‎③家庭的支出与收入；‎ ‎④某户家庭用电量与电价间的关系．‎ 其中是相关关系的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．回归直线方程 ＝ x＋ 必过(　　)‎ A．点(0,0) B．点(，0)‎ C．点(0，) D．点(，)‎ ‎3．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：‎ ‎①用所求出的回归方程作出估计；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求回归直线方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则正确的操作顺序是(　　)‎ A．①②⑤③④ B．③②④⑤①‎ C．②④③①⑤ D．②⑤④③①‎ ‎4.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线(如图)，以下结论中正确的是(　　)‎ A．x和y的相关系数为直线l的斜率 B．x和y的相关系数在0到1之间 C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D．直线l过点(，)‎ ‎5．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且回归方程 ＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．‎ ‎6．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为 ＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．‎ ‎7．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 根据上表可得回归直线方程 ＝ x＋ ，其中 ＝0.76， ＝－ .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)‎ A．11.4万元 B．11.8万元 ‎ C．12.0万元 D．12.2万元 B级 ‎8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎9．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为 ＝60＋90x，下列判断正确的是(　　)‎ A．劳动生产率为1千元时，工资为50元 B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D．劳动生产率为1千元时，工资为90元 ‎10．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)‎ A. ＝－10x＋200 B. ＝10x＋200‎ C. ＝－10x－200 D. ＝10x－200‎ ‎11．如图所示，有5组(x，y)数据，去掉数据________后，剩下的4组数据的线性相关性变强(　　)‎ A．E B．D C．B D．A ‎12．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm.‎ ‎13．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝ x＋ ；‎ ‎(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)‎ 详解答案 典型例题 例1　解　两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．‎ 变式1　解　从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的．‎ 例2　解　散点图如下：‎ 由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关．‎ 变式2　解　(1)散点图如下：‎ ‎(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．‎ 例3　解　(1)散点图如图所示：‎ ‎(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．‎ ‎(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数．利用计算器容易求得回归方程＝－2.352x＋147.767.‎ ‎(4)当x＝2时，＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮．‎ 变式3　解　(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如下图．‎ 直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．‎ ‎(2)计算相应的数据之和：‎ i＝1 031，i＝71.6，‎ ＝137 835，iyi＝9 611.7.‎ 将它们代入公式计算得≈0.077 4，≈－1.024 9，‎ 所以，所求回归方程为＝0.077 4x－1.024 9.‎ 强化提高 ‎1．A　2.D ‎3．D　[本题考查具有线性相关关系的两个变量的研究步骤，应先收集数据，再作散点图，求相关系数，求回归方程，最后应用回归方程作出估计，则顺序为②⑤④③①.]‎ ‎4．D　[相关系数r的计算公式与l斜率的计算公式不一样，故A错；由|r|＜1知B错；分布在l两侧的点的个数没有什么规律，故C错；(，)为样本点的中心，回归直线过样本的中心，故D正确．]‎ ‎5．87.5%‎ 解析　设该地区人均工资收入为，则＝0.7＋2.1，当＝10.5时，＝＝12.×100%＝87.5%.‎ ‎6．20‎ 解析　令两人的总成绩分别为x1，x2.‎ 则对应的数学成绩估计为 1＝6＋0.4x1， 2＝6＋0.4x2，所以| 1－ 2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.‎ ‎7．B　[先求 ，再利用回归直线方程预测．‎ 由题意知，‎ ＝＝10，‎ ＝＝8，‎ ‎∴ ＝8－0.76×10＝0.4，‎ ‎∴当x＝15时， ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]‎ ‎8．B　[由题意可知＝3.5，＝42，则42＝9.4×3.5＋，＝9.1，＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.]‎ ‎9．C　[因工人月工资与劳动生产率变化的回归方程为 ＝60＋90x，当x由a提高到a＋1时， 2－ 1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.]‎ ‎10．A　11.B ‎12．185‎ 解析　根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：‎ ＝173，＝176，∴＝＝＝1，＝－＝176－173＝3，∴回归方程为＝x＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm)．‎ ‎13．解　(1)散点图如下图所示：‎ ‎(2)＝＝4.5，‎ ＝＝3.5，‎ xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x＝32＋42＋52＋62＝86，‎ ‎∴ ＝＝ ‎＝0.7，‎ ＝－ ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.‎ ‎∴所求的回归方程为＝0.7x＋0.35.‎ ‎(3)现在生产100吨甲产品用煤 ＝0.7×100＋0.35＝70.35，‎ ‎∴90－70.35＝19.65.‎ ‎∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．‎