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- 2021-06-10 发布
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题型一 定积分的概念及几何意义
例1 根据定积分的几何意义计算定积分ʃ|x-2|dx.
解 根据定积分的几何意义,所求定积分表示的是y=|x-2|和x=3,x=1及y=0所围成的图形的面积,即图中阴影部分面积.
因此,ʃ|x-2|dx=×1×1+×1×1=1.
反思与感悟
将定积分的求解问题,利用定积分的几何意义转化为求一个图形的面积问题,正确地作出被积函数的图像,然后由求面积的方法求解该定积分是解决本类问题的重点.
跟踪训练1 定积分ʃ(-x)dx等于( )
A. B.-1
C. D.
答案 A
解析 ʃ(-x)dx=ʃdx-ʃxdx.ʃdx表示圆(x-1)2+y2=1的上半圆与x=1,x=0,y=0围成的图形面积.
画出图形可知S1=ʃdx=,
∴S=S1-S2=.
题型二 利用微积分基本定理求定积分
利用微积分基本定理计算定积分与定义法计算定积分相比较,使运算量大大地减少了,因此在计算定积分时要优先考虑微积分基本定理的运用.
利用微积分基本定理求定积分关键是要找到被积函数的原函数,在找被积函数的原函数时,一定要仔细观察被积函数的结构,结合导数公式和导数的运算性质,才能较快地找到原函数.
例2 计算下列定积分:
(1)ʃ0cos2dx;(2)ʃ|x2-x|dx.
解 (1)ʃ0cos2dx=ʃ0dx
=ʃ0(1+cos x)dx
=(x+sin x)|0=(+)
=+.
(2)ʃ|x2-x|dx=ʃ(x2-x)dx+ʃ(x-x2)dx+
ʃ(x2-x)dx
=+=.
跟踪训练2 计算下列定积分:
(1)ʃdx;(2)ʃ(|x-2|+)dx.
解 (1)ʃdx==
(2)ʃ(|x-2|+)dx
=ʃ(2-x+)dx+ʃ(x-2+)dx
=(2x-x2-)|21+(x2-2x-)|2=.
题型三 定积分的应用
1.定积分可用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式.
2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积,如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而生成的旋转体的体积为V=ʃπ[f(x)]2dx.
例3 (1)求由曲线y=sin x,y=cos x及直线x=0,x=所围成图形的面积.
解 先画草图如图.
其次,若选x为积分变量,积分下限为x=0,上限为x=.最后,
由图形可知,平面图形由x=把图形分成两块.
=2(-1).
(2)求抛物线y2=2px(p>0)与直线x=p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
解 如图所示,因为y2=2px(p>0),
所以[f(x)]2=2px,x∈[0,].
所以
跟踪训练3 (1)求曲线y=sin x,x∈[0,π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积.
解 由体积公式V=ʃπy2dx=ʃπ(sin x)2dx
=πʃsin2xdx=πʃdx
=π(ʃdx-ʃdx)
=(ʃ1dx-ʃcos 2xdx)
=(x|π0-sin 2x|π0)=(π-0)=.
(2)如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.
解 由题意,知抛物线y=-x2+4x-3在点A处的切线斜率是k1=4,在点B处的切线斜率是k2=-2.因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3,过点B的切线方程为y=-2x+6.
设两切线相交于点M,由
消去y,得x=,即点M的横坐标为.
在区间上,曲线y=4x-3在曲线y=-x2+4x-3的上方;在区间上,曲线y=-2x+6在曲线y=-x2+4x-3的上方.
因此,所求的图形的面积是
=+=.