高中数学选修2-2教案第四章 章末复习课 5页

题型一　定积分的概念及几何意义 例1　根据定积分的几何意义计算定积分ʃ|x－2|dx.‎ 解　根据定积分的几何意义，所求定积分表示的是y＝|x－2|和x＝3，x＝1及y＝0所围成的图形的面积，即图中阴影部分面积．‎ 因此，ʃ|x－2|dx＝×1×1＋×1×1＝1.‎ 反思与感悟　‎ 将定积分的求解问题，利用定积分的几何意义转化为求一个图形的面积问题，正确地作出被积函数的图像，然后由求面积的方法求解该定积分是解决本类问题的重点．‎ 跟踪训练1　定积分ʃ(－x)dx等于(　　)‎ A. B.－1‎ C. D. 答案　A 解析　ʃ(－x)dx＝ʃdx－ʃxdx.ʃdx表示圆(x－1)2＋y2＝1的上半圆与x＝1，x＝0，y＝0围成的图形面积．‎ 画出图形可知S1＝ʃdx＝，‎ ‎∴S＝S1－S2＝.‎ 题型二　利用微积分基本定理求定积分 利用微积分基本定理计算定积分与定义法计算定积分相比较，使运算量大大地减少了，因此在计算定积分时要优先考虑微积分基本定理的运用．‎ 利用微积分基本定理求定积分关键是要找到被积函数的原函数，在找被积函数的原函数时，一定要仔细观察被积函数的结构，结合导数公式和导数的运算性质，才能较快地找到原函数．‎ 例2　计算下列定积分：‎ ‎(1)ʃ0cos2dx；(2)ʃ|x2－x|dx.‎ 解　(1)ʃ0cos2dx＝ʃ0dx ‎＝ʃ0(1＋cos x)dx ‎＝(x＋sin x)|0＝(＋)‎ ‎＝＋.‎ ‎(2)ʃ|x2－x|dx＝ʃ(x2－x)dx＋ʃ(x－x2)dx＋‎ ʃ(x2－x)dx ‎＝＋＝.‎ 跟踪训练2　计算下列定积分：‎ ‎(1)ʃdx；(2)ʃ(|x－2|＋)dx.‎ 解　(1)ʃdx＝＝‎ ‎(2)ʃ(|x－2|＋)dx ‎＝ʃ(2－x＋)dx＋ʃ(x－2＋)dx ‎＝(2x－x2－)|21＋(x2－2x－)|2＝.‎ 题型三　定积分的应用 ‎1．定积分可用来计算曲边梯形的面积，某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式．‎ ‎2．利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．计算由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而生成的旋转体的体积为V＝ʃπ[f(x)]2dx.‎ 例3　(1)求由曲线y＝sin x，y＝cos x及直线x＝0，x＝所围成图形的面积．‎ 解　先画草图如图．‎ 其次，若选x为积分变量，积分下限为x＝0，上限为x＝.最后，‎ 由图形可知，平面图形由x＝把图形分成两块．‎ ‎＝2(－1)．‎ ‎(2)求抛物线y2＝2px(p>0)与直线x＝p及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．‎ 解　如图所示，因为y2＝2px(p>0)，‎ 所以[f(x)]2＝2px，x∈[0，]．‎ 所以 跟踪训练3　(1)求曲线y＝sin x，x∈[0，π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积．‎ 解　由体积公式V＝ʃπy2dx＝ʃπ(sin x)2dx ‎＝πʃsin2xdx＝πʃdx ‎＝π(ʃdx－ʃdx)‎ ‎＝(ʃ1dx－ʃcos 2xdx)‎ ‎＝(x|π0－sin 2x|π0)＝(π－0)＝.‎ ‎(2)如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成的图形的面积．‎ 解　由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝4，在点B处的切线斜率是k2＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.‎ 设两切线相交于点M，由 消去y，得x＝，即点M的横坐标为.‎ 在区间上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间上，曲线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．‎ 因此，所求的图形的面积是 ‎＝＋＝.‎