2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版） 21页

‎2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先化简集合A,B，再求得解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．设复数z＝，则|z|＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.‎ ‎【详解】‎ 解：z＝＝＝＝﹣﹣,‎ 则|z|＝＝＝＝.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.‎ ‎3．在等差数列{an}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（ ）‎ A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a3＝5，S4＝24用通项公式和前项和公式列出关于,的方程，得到的通项公式，从而求出答案.‎ ‎【详解】‎ 数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，‎ ‎∵a3＝5，S4＝24，‎ ‎∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，‎ 联立解得a1＝9，d＝﹣2，‎ 则a9＝9﹣2×8＝﹣7．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.‎ ‎4．已知幂函数＝xα的图象经过点 （3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a ‎【答案】A ‎【解析】先由条件求出幂函数f（x）＝xα中的的值，再结合指数、对数函数的单调性比较的大小即可.‎ ‎【详解】‎ 解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点 （3，5），‎ ‎∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），‎ ‎∴0＜a＝＜1，‎ b＝＞1，‎ c＝logα＜logα1＝0，‎ ‎∴c＜a＜b．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查应用指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题.‎ ‎5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（　　）‎ A．该市总有 15000 户低收入家庭 B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户 C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户 D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 ‎【答案】D ‎【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，‎ 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，‎ 该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，‎ 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，‎ 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.‎ ‎6．平面内不共线的三点O，A，B，满足＝1，＝2，点C为线段AB的中点，若 ＝，则∠AOB＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】点C为线段AB的中点,在中，则 ‎, 将两边平方结合向量数积的定义得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：点C为线段AB的中点,在中，‎ 则,两边平方得：‎ ‎,‎ 由＝1，＝2， ＝且向量，的夹角为 即，解得：.‎ 又，所以.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的定义及运算，本题还可以用余弦定理求解,属于中档题.‎ ‎7．的展开式中x2y2项的系数是（　　）‎ A．420 B．﹣420 C．1680 D．﹣1680‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意根据乘方的意义，组合数的计算公式，求得展开式中x2y2项的系数.‎ ‎【详解】‎ 解：表示8个因式的乘积，‎ 要得到展开式中含x2y2的项，则 故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，‎ 其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．‎ 故展开式中x2y2项的系数是•22•• • ＝420，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查乘方的意义，组合数的计算公式，属于基础题.‎ ‎8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）‎ A． B． C．27 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，‎ 所以几何体体积.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．函数的图象大致为（　　　 ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.‎ ‎【详解】‎ 因为 ,‎ 所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;‎ 因为,故排除,‎ 因为由图象知,排除.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.‎ ‎10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合图形，平移直线，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．‎ ‎【详解】‎ 如图，作直线，当直线上移与圆相切时，取最大值，‎ 此时，圆心到直线的距离等于1，即，‎ 解得的最大值为：，‎ 当下移与圆相切时，取最小值，‎ 同理，即的最小值为：，‎ 所以．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎11．关于函数＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：①是偶函数；②π是的最小正周期；③在[π，π]上单调递增；④的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简，由，可判断①；可令，可得，由函数的周期性可判断②；由的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④．‎ ‎【详解】‎ 解：f（x）＝|cosx|+cos|2x|＝|cosx|+2cos2|x|﹣1，‎ 由cos|x|＝cosx，可得＝|cosx|+2cos2x﹣1＝2|cosx|2+|cosx|﹣1，‎ 由＝，则为偶函数，故①正确；‎ 可令t＝|cosx|，可得，‎ 由y＝|cosx|的最小正周期π，可得的最小正周期为π，故②正确；‎ 由y＝cosx在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；‎ 由t∈[0，1]，，可得在[0，1]递增，则的值域为[﹣1，2]，故④错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，若该数列前项和满足：①②是2的整数次幂，则满足条件的最小的为 A．21 B．91 C．95 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造数列，使得：，，，，，求出数列的前项和，根据题意可表示出原数列与的关系，以及原数列前和与数列的前项和的关系，讨论出满足条件的的最小值即可。‎ ‎【详解】‎ 根据题意构造数列，使得：，，，，，‎ 故，，，，，所以数列的前项和令数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，为，‎ 根据题意可得：，，则数列的前项和 ‎，‎ 所以要使数列前项和满足：，则，则，故，故D答案不对。‎ 由于是2的整数次幂，则，则，则，‎ 当时，则，解得：，，‎ 故满足条件的最小的为95，‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和，考查学生的计算能力，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．椭圆＝1的离心率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据椭圆方程得到a＝2，b＝,求出，由离心率的公式可得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，‎ ‎∴c＝＝1‎ ‎∴e＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆方程求椭圆的离心率，属于基础题.‎ ‎14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为_____．‎ ‎1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行 ‎6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行 ‎【答案】06‎ ‎【解析】按照随机数表法依次选取在总体编号范围内的样本编号即可，注意重复的样本号码应舍去．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；‎ 所以选出来的第6个个体编号为06．‎ 故答案为：06．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用随机数表法选取样本数据的应用问题，是基础题．‎ ‎15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，以及直线AF的方程，设M（x1，y1），N（﹣，y2）,由条件可得M，N的坐标，结合抛物线的方程可得a.‎ ‎【详解】‎ 抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，‎ 可得直线AF的方程为y＝1﹣x，‎ 设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，‎ 由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，‎ 可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，‎ 代入抛物线方程可得＝，‎ 可得a＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题抛物线方程和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点 E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设BE=x，EC=y，则BC=AD=x+y，推导出SA⊥ED，ED⊥平面SAE，ED⊥SE，AE=，ED=，推导出，SE= ，ED=，从而S△SED=×SE×ED=由此能求出SED面积的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，‎ ‎∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，‎ ‎∴SA⊥ED，‎ ‎∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，‎ ‎∴ED⊥SE，‎ 由题意得AE＝，ED＝，‎ 在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，‎ ‎∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，‎ 在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，‎ ‎∴S△SED＝＝，‎ ‎∵3x2+≥2＝36，‎ 当且仅当x＝，‎ 时，等号成立，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴△SED面积的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的线面关系及基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．的内角，，的对边分别是，，，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.‎ ‎（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得.‎ 所以由余弦定理，得.‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）由，得.‎ 由正弦定理，得，因为，所以.‎ 又因，所以.‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.‎ ‎18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．‎ ‎（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）推导出AC⊥BC，CD⊥AD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PCD． （2）以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，‎ 在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，‎ 设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，‎ 在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°＝3，‎ ‎∴CD＝，‎ ‎∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，‎ ‎∵PD⊥平面ABC，CD 平面ABC，‎ ‎∴PD⊥CD，‎ 又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，‎ 又CD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．‎ ‎（2）解：∵PD⊥平面ABC，‎ ‎∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，‎ ‎∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，‎ 由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，‎ 分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），‎ ‎＝（0，﹣3，﹣3），＝（），‎ 则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，‎ 设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），‎ 则，取x＝，得＝（，﹣1，1），‎ 设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，‎ 则cosθ＝＝，‎ ‎∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．‎ ‎（1）若线段MN的中点坐标为 （1，），求直线l的方程；‎ ‎（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足kQM+kQN＝0，求pq的值．‎ ‎【答案】（1）x+2y﹣2＝0；（2）pq＝4．‎ ‎【解析】(1)设M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，然后相减用点差法将中点公式代入，可求出直线M N的斜率，然后写出直线方程. (2)设出直线M N的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理代入用M， N的坐标表示出kQM+kQN＝0的式子中，可求出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得.‎ ‎，①‎ 由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣.‎ 所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，‎ 所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0.‎ ‎（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，‎ 则x1+x2＝，x1x2＝，‎ 由kQM+kQN＝0，则＝0，‎ 即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，‎ ‎∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，‎ 化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq＝0，‎ ‎∴﹣+2pq＝0，‎ 化简得：2pq﹣8＝0，‎ ‎∴pq＝4．‎ ‎20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．‎ ‎（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．‎ ‎（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；‎ ‎（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；‎ ‎（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析 ‎【解析】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率． （ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列． （2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+ P ‎（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，‎ 则家长对小孩的排序是随意猜测的，‎ 先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，‎ 其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：‎ ‎2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，‎ ‎∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．‎ 基小孩对四种食物的排序是其他情况，‎ 只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，‎ 假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，‎ 再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，‎ ‎∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．‎ ‎（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，‎ 列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，‎ X的分布列如下表：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎2‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎ 10‎ ‎ 12‎ ‎ 14‎ ‎ 16‎ ‎ 18‎ ‎ 20‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．‎ 理由如下：‎ 假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，‎ P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，‎ 三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，‎ 这个结果发生的可能性很小，‎ ‎∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若f（x）≤0恒成立，求ea（b﹣1）的最大值．‎ ‎【答案】（1）讨论见解析；（2）最大值为0‎ ‎【解析】（1）分时，时，两种情况讨论单调性． （2）由（1）知：当时，取且时，，与题意不合，当时，由题目中恒成立可得，,得，所以，令，只需求即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），‎ ‎＝，由f′（x）＝0，‎ 得x＝1﹣＞﹣，‎ 所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，‎ ‎②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），‎ 由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，‎ 所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减．‎ 综上：当a＞0时，f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减.‎ 当a＜0时, f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减．‎ ‎（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，‎ f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，‎ 当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤ a﹣alna﹣1，‎ 所以ea（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）ea，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）ex，‎ 则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）ex，‎ 令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，‎ 则u″（x）＝，‎ u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．‎ 则u′（x）max＝u′（1）＜0，‎ 从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．‎ 所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；‎ 当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，‎ 则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，‎ 所以h（x）max＝h（1）＝0．‎ 所以ea（b﹣1）的最大值为0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数讨论函数单调性，求函数的最值，属于导数的综合应用，在解题过程中多次求导分析函数的单调性得出函数最值,属于难题.‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）l： ，C方程为 ；（2）＝‎ ‎【解析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)曲线C的参数方程为（m为参数），‎ 两式相加得到，进一步转换为．‎ 直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，则 ‎ 转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），‎ 代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），‎ 所以，，‎ 所以＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎23．已知x，y，z均为正数．‎ ‎（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；‎ ‎（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8‎ ‎【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.‎ ‎（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵x，y，z均为正数，‎ ‎∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，‎ 当且仅当x＝y＝z时取等号．‎ 又∵0＜xy＜1，∴，‎ ‎∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；‎ ‎（2）∵＝，即．‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，‎ ‎∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．‎