高中数学《1_3_2-2 函数奇偶性的应用》课外演练 新人教A版必修1 3页

‎（新课程）高中数学《‎1.3.2‎-2 函数奇偶性的应用》课外演练 新人教A版必修1‎ 基础达标 一、选择题 ‎1．有下列4个命题：‎ ‎①偶函数的图象一定与纵轴相交；‎ ‎②奇函数的图象一定通过原点；‎ ‎③即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎④偶函数的图象关于纵轴对称．‎ 其中正确的命题有 ‎(　　)‎ A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．‎ 答案：A ‎2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为 ‎(　　)‎ A．y＝[f(x)]2 B．y＝f(2x)‎ C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x)‎ 解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．‎ 答案：C ‎3．已知y＝f(x)是偶函数，且其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是 ‎(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．4‎ 解析：∵f(x)是偶函数，且f(－x)＝f(x)．‎ 答案：A ‎4．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，G(x)＝f(x)－f(－x)，则G(x)必定为 ‎(　　)‎ A．增函数且为奇函数 B．增函数且为偶函数 C．减函数且为奇函数 D．减函数且为偶函数 解析：f(x)的定义域为R，则G(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R，又G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，‎ ‎∴G(x)为奇函数．设x1f(－x2)‎ ‎∴f(x1)－f(x2)<0，－[f(－x1)－f(－x2)]<0，‎ 即G(x1)f(－x2)‎ B．f(－x1)＝f(－x2)‎ C．f(－x1)0时f(x)递减，∴f(－x1)>f(－x2)．‎ 答案：A ‎6．f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)为 ‎(　　)‎ A．0.5 B．－0.5‎ C．1.5 D．－1.5‎ 解析：f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(7.5)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．‎ 解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．‎ 答案：(－∞，0)上为增函数，在[0,3]上为减函数．[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．‎ 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．‎ 答案：奇函数 ‎9．设定义在R上的函数f(x)恒大于0，则下列函数：①y＝－f(x)f(－x)，②y＝xf(x2)，③y＝－f(－x)，④y＝f(x)－f(－x)中必为奇函数的有________．(要求填写正确答案的序号)‎ 解析：令g(x)＝－f(x)f(－x)，则g(－x)＝－f(－x)f(x)＝g(x)，∴y＝－f(x)f(－x)为偶函数；‎ 令g(x)＝xf(x2)，则g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，∴y＝xf(x2)为奇函数．‎ 令g(x)＝－f(－x)，则g(－x)＝－f(x)与g(x)＝－f(－x)不一定有关系，∴y＝－f(－x)不一定是奇函数．‎ 令g(x)＝f(x)－f(－x)，则g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴y＝f(x)－f(－x)为奇函数．‎ 答案：②④‎ 三、解答题 ‎10．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求x<0时，f(x)的表达式．‎ 解：∵x<0，则－x>0，‎ ‎∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.‎ 又f(x)为奇函数，‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝‎ x|x＋2|.‎ 故当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.‎ ‎11．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，‎ ‎(1)求证：f(x)是奇函数；‎ ‎(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．[来源:Zxxk.Com]‎ 解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，‎ 令x＝y＝0得f(0)＝‎2f(0)，∴f(0)＝0.‎ ‎∴f(x)＋f(－x)＝0，‎ 即f(－x)＝－f(x)，‎ 故f(x)是奇函数．‎ ‎(2)∵f(x)为奇函数．‎ ‎∴f(－3)＝－f(3)＝a，‎ ‎∴f(3)＝－a.‎ 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝‎2f(3)＋‎2f(3)＝‎4f(3)，‎ ‎∴f(12)＝－‎4a.‎ 创新题型 ‎12．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.‎ ‎(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；‎ ‎(2)解不等式f(x－)b，则a－b>0，依题意有 >0成立，∴f(a)＋f(－b)>0.‎ 又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．‎ ‎(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数．则所求不等式等价于[来源:学科网ZXXK]‎