安徽省阜阳市第三中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题 19页

www.ks5u.com ‎2018-2019学年度第二学期期末测试 高一数学（理科）‎ 注意事项：‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) ‎ A. 400，40 B. 200，10 C. 400，80 D. 200，20‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.‎ ‎【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，‎ 样本容量为：，‎ 抽取的高中生近视人数为：，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.‎ ‎2.已知是等差数列，，其前10项和，则其公差 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，解得，则，故选D。‎ ‎3.若圆心坐标为的圆,被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆的方程，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，设圆的方程为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 又由被直线截得的弦长为，则，‎ 所以所求圆的方程为，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的距离、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.若，则下列不等式不成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.‎ ‎【详解】由题得a＜b＜0，‎ 对于选项A,=，所以选项A错误.‎ 对于选项B,显然正确.‎ 对于选项C,，所以，所以选项C正确.‎ 对于选项D,，所以选项D正确.‎ 故答案为：A ‎【点睛】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.‎ ‎5.若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( )‎ A. 9π B. 9 C. 3π D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．‎ ‎【详解】∵圆锥的底面周长为6π，‎ ‎∴圆锥的底面半径r=3；‎ 双∵圆锥的母线长l=8，‎ 圆锥的高h==‎ 所以圆锥的体积V==3π，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的几何性质，解题关键空间问题平面化，在轴截面中明确各量的关系.‎ ‎6.已知，则的垂直平分线所在直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.‎ ‎【详解】因为，所以其中点坐标是，又，‎ 所以的垂直平分线所在直线方程为，‎ 即，故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.‎ ‎7.设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确 对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确 对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误 对于④‎ ‎：假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确 故选：C．‎ ‎8.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．‎ 考点：线性回归直线.‎ ‎9.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，由题意列出方程组，求得的值，进而利用公式，求得，即可得到答案．‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 由，可得，解得，‎ 所以，，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，其中解答中根据题意求得得出数列的首项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.下列结论中错误的是（ ）‎ A. 若，则 B. 函数的最小值为2‎ C. 函数的最小值为2 D. 若，则函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.‎ ‎【详解】对于A，由知，，所以，故选项A本身正确；对于B，，但由于在时不可能成立，所以不等式中的“”实际上取不到，故选项B本身错误；对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，故选项C本身正确；对于D，由知，，所以lnx+=-2，故选项D本身正确. 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.‎ ‎11.已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的平面区域如右图所示：‎ 当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以 ‎，解得，故选B.‎ ‎【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.‎ ‎12.平面α过正方体ABCD－的顶点A，α∥平面，α∩平面ABCD＝m，α∩平面＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长至，使，延长至，使，连接，.先证明m∥，再证明m、n所成的角为60°，即得m，n所成角的正弦值为.‎ ‎【详解】如图，延长至，使，延长至，使，连接 ‎，.易证.‎ ‎∴平面∥平面，即平面为平面α.‎ 于是m∥，直线即为直线n.‎ 显然有＝＝，于是m、n所成的角为60°，‎ 所以m，n所成角的正弦值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算和空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将准确的答案写在答题卡相应的横线上.）‎ ‎13.在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的知识点是几何概型的意义，我们由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为 ‎3‎ ‎，我们也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴与边CB相切，如图．‎ S扇形＝×××＝，‎ S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝‎ ‎【点睛】本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，‎ 所以所以．‎ ‎【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．‎ ‎15.的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．‎ ‎【详解】由余弦定理得，‎ 所以，‎ 即 解得（舍去）‎ 所以，‎ ‎【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．‎ ‎16.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.‎ ‎【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．‎ 三、解答题（本大题共6道题，其中17题10分，其余每题12分，共计70分，请将准确的答案写在答题卡相应的区域内.）‎ ‎17.已知圆的圆心为，直线与圆相切．‎ 求圆的标准方程；‎ 若直线过点，且被圆所截得弦长为2，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) ；或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合点到直线距离公式，计算半径，建立圆方程，即可。（2）结合点到直线距离公式，计算斜率k，建立直线方程，即可。‎ ‎【详解】（1）该圆心到直线距离为，所以该圆的标准方程为 ‎（2）结合题意，可以计算出该圆心到直线距离，圆心坐标为 该直线过点，‎ 斜率存在时，可设出该直线方程为，结合点到直线距离公式 则，解得，‎ 斜率不存在时，直线为也满足条件，故直线方程为 ‎【点睛】本道题考查了点到直线距离公式，关键抓住圆心到直线距离，建立方程，计算，属于中档题。‎ ‎18. 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 ‎(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，‎ 又由，得，即.‎ 又因为，得到，.‎ 由余弦定理可得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 从而，.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.‎ ‎19.‎ 已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.‎ ‎（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；‎ ‎（2）求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；‎ ‎(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果。‎ ‎【详解】(1)由题意可知，，，，‎ 所以，即，‎ 所以数列是首项为、公比为的等比数列，，‎ 因为，‎ 所以，数列是首项、公差为的等差数列，。‎ ‎(2)由(1)可知，，，‎ 所以，。‎ ‎【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎20.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）证明：在中，由勾股定理得 直角三角形，即．又面，，，面，；‎ ‎（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，‎ 则在中，∥，又面，则∥面；‎ ‎(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.‎ 试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．‎ 又面，，，面，.‎ ‎（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，‎ 则在中，∥，又面，则∥面．‎ ‎（3）在中过作垂足为，‎ 由面⊥面知，面，．‎ 而，，.‎ 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎21.近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；‎ ‎（Ⅲ）若按照分层抽样从,中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 平均数74.9,众数75.14,中位数75；(Ш) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据频率之和为列方程，结合求出的值.（II）利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.（III）先计算出从,中分别抽取人和人，再利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.‎ 详解】解：(I)依题意得,所以,‎ 又,所以． ‎ ‎(Ⅱ)平均数为 中位数 众数为 ‎ ‎(Ш)依题意,知分数在的市民抽取了2人,记为,分数在的市民抽取了6人,记为1,2,3,4,5,6,‎ 所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：‎ ‎,‎ 共28种,‎ 其中满足条件的为,共13种,设“至少有1人的分数在”的事件为,则 ‎【点睛】本小题主要考查求解频率分布直方图上的未知数，考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考查利用古典概型求概率.属于中档题.‎ ‎22.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.‎ ‎【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。‎ ‎，因为故或者，而根据题意 ‎，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.‎ ‎(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，‎ 故，解得.‎ 又应用正弦定理，，‎ 由三角形面积公式有：‎ ‎.‎ 又因,故，‎ 故.‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎