山东省青岛第二中学2019届高三下学期2月月考数学（文）试题 19页

青岛第二中学高三下学期期初（2月）考试数学（文）试题 一、选择题 ‎1.若集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出A，B集合，即可选出答案．‎ ‎【详解】A集合：或 ‎ B集合：‎ 根据不等式关系知．‎ 选A ‎【点睛】本题主要考查集合与集合之间关系，属于基础题．‎ ‎2.设复数，若为实数，则的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. -1 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，所以，，故选D．‎ ‎3.图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A. 51 B. ‎58 ‎C. 61 D. 62‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由茎叶图可知,甲的这几场比赛得分的中位数为27,‎ 乙的这几场比赛得分的中位数为35,‎ 所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是27+35=62‎ 故选D 点睛：画茎叶图时注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶； （2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．‎ ‎4.若直线与直线平行，则（ ）‎ A. 2或-1 B. ‎2 ‎C. -1 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，，当时，方程为，即，方程为，两直线重合，不合题意，舍去，时，直线的方程分别为，，符合题意．所以．故选C．‎ 考点：两直线平行．‎ ‎5.已知为等差数列，为等比数列，其公比且，若，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式可得，由等号取不到可得答案.‎ ‎【详解】由题意可得四个正数满足，，‎ 由等差数列和等比数列的性质可得，，‎ 由基本不等式可得，‎ 又公比，故，上式取不到等号，‎ ‎，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属基础题.‎ ‎6.函数满足，且当时，，则的值为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由求出函数的周期为，可得.‎ 详解：函数满足，‎ 可得，‎ 的周期为，‎ 当时，，‎ 则，故选A.‎ 点睛：本题主要考查函数的解析式及函数的周期性，属于简单题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:‎ ‎(1) ；‎ ‎（2）；‎ ‎（3） .‎ ‎7.已知,,若,则,在同一平面直角坐标系内的大致图像是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，确定，确定与在上的单调性.再判断的奇偶性，即可.‎ ‎【详解】由 和在上都为减函数.‎ 定义域为关于原点对称 ‎，即为偶函数.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象和性质.属于较易题.‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求组合体的体积.‎ 详解：由三视图得几何题是一个组合体，左边是半个球，球的半径为1，中间是一个底面半径为1的圆柱，高为2，最右边是一个底面半径为1的圆锥，高为2.‎ 所以组合体的体积为 故答案为C 点睛：（1）本题主要考查三视图和组合体的体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找原图常用的有直接法和模型法，本题选择直接法比较简洁方便.‎ ‎9.在（0,1）内任取一个实数b,则使得方程x2-x+b=0有实数根的概率为(　　)‎ A. B. C . D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题设“方程x2-x+b=0有实数根”可得，即，故由几何概型的计算公式可得所求事件的概率，应选答案A．‎ ‎10.在数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，对式子变形得，即，故是常数数列，所以，即可得到通项公式.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是常数数列，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，解题的关键是利用对数运算性质对递推式进行变形，得到数列关系，属于中等题.‎ ‎11.已知实数，满足，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 做出不等式的可行域，如图所示.‎ 可以看作可行域内的点到原点的距离的平方.‎ 由，得 因为，所以.‎ 故选D.‎ 点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.‎ ‎12.定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.‎ ‎【详解】构造函数，，‎ 所以，函数为上的增函数，‎ 由，则，，可得，即，‎ ‎，因此，不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13.已知双曲线经过点，则其离心率____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由点在双曲线上可得，解得，所以双曲线的方程为.故，，所以.‎ ‎14.已知且，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式得到，结合角的范围得到，再利用诱导公式和同角三角函数关系式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】=, ,‎ 又，得，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，属于基础题.‎ ‎15.已知，，实数满足，则________.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量模的坐标计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得或.‎ 故答案为：1或 ‎【点睛】本题主要考查向量模的坐标计算，属基础题.‎ ‎16.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．‎ ‎【详解】∵关于的不等式在上恒成立， ∴， ∵x＞， ∴ ‎ ‎，当且仅当，即 时取等号， ∴， ∴，解得， ， ∴实数a的最小值为． ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简得，从而得，由，，求得的值，‎ 根据余弦定理得.‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎，‎ ‎∴函数的最大值为.‎ ‎（2）由题意，化简得.‎ ‎∵，∴，∴，∴.‎ 由得，又，‎ ‎∴，或，.‎ 在中，根据余弦定理得. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，．‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)已知四边形ABCD是等腰梯形，且，求五面体ABCDEF的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)先根据线面垂直判定定理得平面.，即得. 再根据平行关系得结论，(2)先分割. 过作，根据线面垂直判定定理得平面，则是四棱锥的高.由（1）可得平面,则是三棱锥的高.最后根据锥体体积公式求体积.‎ 详解：（1）证明：由已知的,,、 平面，且∩‎ ‎,‎ 所以平面. ‎ 又 平面,所以.‎ 又因为//,所以. ‎ ‎（2）解：连结、,则. ‎ 过作交于，又因为平面，所以，且∩，‎ 所以平面，则是四棱锥的高. ‎ 因为四边形是底角为的等腰梯形，,‎ 所以，,. ‎ 因为平面，//，所以平面,则是三棱锥的高. ‎ 所以，‎ 所以.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎19.‎ 经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：‎ 年龄 ‎28‎ ‎32‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎48‎ ‎52‎ ‎58‎ ‎62‎ 收缩压（单位 ‎114‎ ‎118‎ ‎122‎ ‎127‎ ‎129‎ ‎135‎ ‎140‎ ‎147‎ 其中：，‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）‎ ‎（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)中度高血压人群.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中数据即可得散点图；‎ ‎（2）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；‎ ‎（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎∴回归直线方程为．‎ ‎（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为 ‎，‎ ‎∵．∴收缩压为的70岁老人为中度高血压人群．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，点，，动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与轨迹有且仅有一个公共点，且与直线相交于点 ‎，求证：以为直径的圆过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用椭圆的定义判定轨迹为椭圆，并求出，a,b,从而写出标准方程；（2）以为直径的圆过定点可转化为，利用向量可比较容易证明,先联立方程，消元得，可得，，从而，，根据数量积为0即可证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：因为 即 由椭圆定义可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆 所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：由，‎ 消去得 如图，设点，依题意，‎ ‎∵直线与轨迹有且仅有一个公共点 ‎∴由，‎ 可得.‎ 此时，，即，，‎ ‎∴，‎ 由，解得 ‎∴‎ 由 可得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴以为直径的圆过定点.‎ 点睛：本题在证明以为直径的圆过定点时，要注意转化，根据圆的几何性质可转化为即可，要证明两个线段垂直比较简单的方法可利用数量积为0来进行，这是解析几何问题中垂直的常用方法.‎ ‎21.已知函数；‎ 讨论的极值点的个数；‎ 若，求证：．‎ ‎【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点；当a＞0时，函数y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：（1）先求一阶导函数的根，求解或的解集，写出单调区间，最后判断极值点．‎ ‎（2）根据第（1）问的结论，若，转化为证明.‎ ‎【详解】：（1）根据题意可得，，‎ 当时，，函数是减函数，无极值点；‎ 当时，令，得，即，‎ 又在上存在一解，不妨设为，‎ 所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的.‎ 所以函数有一个极大值点，无极小值点；‎ 总之：当时，无极值点；‎ 当时，函数有一个极大值点，无极小值点.‎ ‎（2），，‎ 由（1）可知有极大值，且满足①，‎ 又在上是增函数，且，所以，‎ 又知：，②‎ 由①可得，代入②得，‎ 令，则恒成立，‎ 所以在上是增函数，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ ‎【点睛】：函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值．对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：‎ ‎1、恒成立，等价于 ‎2、使得成立，等价于 ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得，所以曲线C的直角坐标方程为 ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设两点对应的参数分别为，列出，，，于是可以求出的最小值.‎ 试题解析：（I）由由，得 曲线的直角坐标方程为 ‎（II）将直线的参数方程代入，得 设两点对应的参数分别为则，，‎ ‎ ‎ 当时，的最小值为2.‎ 考点：1.极坐标方程；2.参数方程.‎ ‎23.已知，为不等式的解集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当时， .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明即可．‎ 试题解析：（1）解：‎ 当时，由得，舍去；‎ 当时，由得，即；‎ 当时，由得，即；‎ 综上，.‎ ‎（2）证明：∵，∴，，‎ ‎ ‎