2017-2018学年河南省濮阳市高二上学期期末（A卷）数学理试题（解析版） 13页

‎2017-2018学年河南省濮阳市高二上学期期末（A卷）数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为，均为直线,在平面内，所以，时，且；反之，且，不一定有，因为，不一定是相交直线，故选A.‎ 考点：1.立体几何的垂直关系;2.充要条件的概念.‎ ‎2. 已知矩形平面,则以下等式中可能不成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意四边形为矩形，且平面,则 ,‎ 故选项A .正确；选项C. 正确；选项正确； 而选项B只有四边形为正方形时才正确． 故选B.‎ ‎3. 设，集合为奇数集，集合是偶数集，若命题则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定为特称命题可知若命题则 故选D.‎ ‎4. 若数列满足，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于且，‎ 所以 ‎ ‎ …‎ 数列各项的值轮流重复出现，每三项一次循环 所以 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式，数列的周期性．在递推过程中注意项的变化，发现数列各项的值重复出现这一规律是关键．‎ ‎5. 已知为正实数，若函数是奇函数，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题函数1是奇函数， 则 ‎ 由为正实数，所以 ‎ 所以 则 ‎ ‎（当且仅当，即时取等号），‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质和定义，以及据基本不等式求最值问题，解题时注意等号成立的条件.‎ ‎6. .已知是两条异面直线，、，、，且则直线所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得 故可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 与夹角的取值范围为 故向量与的夹角为 ∴直线所成的角为．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，化为向量的夹角进行计算是解决问题的关键，‎ ‎7. 已知是等比数列，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】是等比数列，，， ‎ 解得 ‎ ‎ 是首项为4，公比为的等比数列，是首项为8，公比为的等比数列， ‎ ‎8. 设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：这是线性规划的应用.目标函数是线性约束条件所确定的三角形区域内一点与原点的连线的斜率.先画出三条直线所围成的三角形区域，可知，直线与直线的交点坐标(1,6)代入计算得.‎ 考点：线性规划的应用.‎ ‎9. 已知椭圆为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点则线段的中点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 线段 ‎【答案】A ‎【解析】设线段的中点 ‎ ‎ ‎ ‎∴点的轨迹方程为 ‎ ‎∴线段 的中点 的轨迹是椭圆． 故选A．‎ ‎10. 已知为等差数列，若且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.‎ 考点：等差数列的基本性质.‎ ‎11. 已知中，内角所对的边分别为，且，若则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知等式利用正弦定理化简得： ‎ 由，整理得： ，即 ‎ 由余弦定理得： ①， ‎ 与联立，解得： ‎ 由正弦定理，得： ‎ ‎ 则 ‎ 故选B．‎ ‎12. 如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°， 即 ‎ 解之得 ‎ 由此可得双曲线C的离心率 故选C．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知命题是假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题是假命题，即“ “是真命题 ①．‎ 当时，①不成立， 当时，要使①成立，必须  ，解得 ，‎ 故实数的取值范围为 ．‎ 故答案为．‎ ‎14. 在中，已知给出下列结论：‎ ‎①由已知条件，这个三角形被唯一确定；‎ ‎②一定是钝角三角形；‎ ‎③‎ ‎④若则的面积是 其中正确结论的序号是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎ ∴③正确；同时由于 边长不确定，故①错；‎ 又 为钝角三角形，∴②正确；‎ 若，则 又，故④错． 故答案为② ③.‎ ‎15. 如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心是上一点，以为基底，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，连接 则 ‎ ‎． .‎ 故答案为.‎ ‎16. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】对任意，可得 当时， 或3；‎ 若，由，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，-1； 若，由，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1； 或2，1，0；或2，1，-1；或3，0，0；或3，0，-1；或3，1，0；或3，1，-1； 若由 ，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，-1；或2，1，0，0；或2，1，0，-1； 或2，1，-1，0；或2，1，-1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，-1； 或3，0，-1，0；或3，0，-1，1；或3，-1，0，0；或3，-1，0，1； 或3，-1，1，0；或3，-1，1，-1； … 即有 4后一项都为0或1或-1，则k的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，-1，或3，0，1，-1． 故答案为4．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知 ‎（I）是否存在实数，使是的充要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎【答案】（I）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于是的充要条件，则集合与集合相等；由此可解得不存在；‎ ‎（2）由于是的必要条件，则．再结合集合关系求出实数即可．‎ 试题解析：（I）不存在，由得 所以 因为是的充要条件，所以 所以所以 这样的不存在,‎ ‎（Ⅱ）由题意是的必要条件，则 当时，即 当时，有，解之得 故时，是的必要条件.‎ ‎18. 某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李，小王设计的底座形状分别为，，经测量米，米，米，‎ ‎（I）求的长度；‎ ‎（Ⅱ）若环境标志的底座每平方米造价为元，不考虑其他因素，小李，小王谁的设计建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？（）‎ ‎【答案】（I）米.（Ⅱ）86600（元）.‎ ‎【解析】试题分析：由实际问题转化为数学问题，即为解三角形，首先利用两三角形中的余弦定理得到关于AB边的等式关系，解方程得到边长，进而得到角D的大小，利用三角形面积公式分解计算出两三角形的面积，得到取得最小造价的方案 试题解析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得， 2分 在中，由余弦定理得， 4分 由解得． 6分 ‎（Ⅱ）小李设计使建造费用最低， 7分 理由为：‎ 故选择的形状建造环境标志费用最低． 9分 边三角形， 10分 ‎ 12分 考点：1．余弦定理解三角形；2．三角形面积公式；3．解三角形的实际应用 ‎19. 如图，过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于两点.‎ ‎（I）用表示；‎ ‎（Ⅱ）若求这个抛物线的方程 ‎【答案】（I）4p;（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出； （2）利用根与系数的关系用表示出 ，根据列方程解出，从而得出抛物线方程．‎ 试题解析：（I）抛物线的焦点为,‎ 过点且倾斜角为的直线方程为，‎ 设，由 得，‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 解得 这个抛物线的方程为 ‎20. 已知直角三棱柱中，，是棱的中点，如图所示.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（I）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明平面；（2）分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．‎ 试题解析：（1）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.由题知，可得点、、、、、.‎ 于是，，，.‎ 可算得，.‎ 因此，.‎ 又，‎ 所以，平面.‎ ‎（2）设是平面的法向量.‎ ‎∴‎ 又，，‎ ‎∴，取，可得，即平面的一个法向量是.‎ 由（1）知，是平面的一个法向量，‎ 记与的夹角为，则，.‎ 结合三棱柱可知，二面角是锐角，‎ ‎∴所求二面角的大小是.‎ 考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）向量法求二面角.‎ ‎21. 已知数列，是其前项和，且满足 ‎ ‎（I）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）记求的表达式.‎ ‎【答案】（I）见解析.（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由知，当时，，作差后可知，于是易证数列是首项为，公比为的为等比数列；‎ ‎（2）由（1）知，利用分组求和法即可求得的表达式．‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 当时，，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是首项为，公比为的为等比数列；‎ ‎（2）由（1）知，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考点：（1）等比关系的确定；（2）数列的求和.‎ ‎22. 已知椭圆的离心率为，且经过点 ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，求（为原点）面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由 ，得 ．再由椭圆经过点，，代入椭圆方程，联立能求出椭圆的方程． （Ⅱ）设直线方程为．将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．‎ 试题解析：（I）由，得，①‎ 由椭圆经过点，得，②‎ 联立①②，解得 所以椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）已知直线的斜率存在，设其方程为 将直线的方程与椭圆的方程联立得，‎ ‎，消去得，‎ 令得，‎ 设，则 所以 因为 ‎ 设 则 ‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 此时 面积取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算．考查运算推理能力和计算求解能力，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化