江苏省南京市六校联合体2021届高三数学12月联考试题（Word版附答案） 9页

2020-2021 学年第一学期 12 月六校联合调研试题 高三数学 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．记全集 U＝R，集合 A＝{x| x2≥16}，集合 B＝{x| lnx≥0}，则（CUA）∩B＝（ ） A． [4，＋∞） B．（1，4] C． [1，4） D．（1，4） 2．设 i 为虚数单位，a∈R，“a＝1”是“复数 z＝a2 2 － 1 1－i 是纯虚数”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知圆 C 的圆心在直线 y＝x 上，且与 y 轴相切于点(0，5)，则圆 C 的标准方程是（ ） A．(x＋5)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y－5)2＝25 C．(x－5)2＋(y－5)2＝5 D．(x＋5)2＋(y－5)2＝5 4．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准 对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边长的10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.8 的视标边长为（ ） A． a8.010 B． a7.010 C． a8.010 D． a7.010 5．已知双曲线C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，直线y＝ 3 2 （x＋a）与C的一条渐 近线在第一象限相交于点P，若PA与x轴垂直，则C的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D．3 6．已知函数 y＝f (x)的图象如右图所示，则此函数可能是（ ） A．f (x)＝ sin6x 2－x－2x B．f (x)＝ sin6x 2x－2－x C．f (x)＝ cos6x 2－x－2x D．f (x)＝ cos6x 2x－2－x 7．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日， 在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼 等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 50 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 4 名顾客都领取 一件礼品，则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是（ ） （第 4 题图）y x （第 6 题图） O A． 5 9 B． 4 9 C． 7 16 D． 9 16 8．在三棱锥 P－ABC 中，底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，且 AB＝2，PA＝PC ＝ 5， PB 与底面 ABC 所成的角的余弦值为2 2 3 ，则三棱锥 P－ABC 的外接球的体积为（ ） A．9π 2 B．89 89π 6 C．9π D．27π 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每个小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是( ) A．若 X~B（n，1 3 ），且 EX＝2，则 n＝6 B．设有一个回归方程 y＝3－5x，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均减少 5 个单位 C．线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布 N（1，σ2）（σ＞0），则 P（ξ＞1）＝0.5 10．若函数 f(x)＝sin2x 的图象向右平移π 6 个单位得到的图象对应的函数为 g(x)，则下列说法中 正确的是（ ） A．g(x)的图象关于 x＝5π 12 对称 B．当 x[0，π 2]时，g(x)的值域为[－ 3 2 ， 3 2 ] C．g(x)在区间[5π 12 ，11π 12 ]上单调递减 D．当 x∈[0，π]时，方程 g(x)＝0 有 3 个根 11．如图，直角梯形 ABCD， AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1 2 ，AB＝1，E 为 AB 中点，以 DE 为折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC＝ 3 2 ．则（ ） A．平面 PED⊥平面 EBCD B．PC⊥ED C．二面角 P－DC－B 的大小为π 4 D．PC 与平面 PED 所成角的正切值为 2 2 网] 12．已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M、N 两点，设线段 AB 的中点为 P，则（ ） A． OA·  OB＝－3p2 4 B．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线 AB 的斜率为 3 P A E D C B （第 11 题图） C．若抛物线上存在一点 E（2，t）到焦点 F 的距离等于 3，则抛物线的方程为 y2＝8x D．若点 F 到抛物线准线的距离为 2，则 sin∠PMN 的最小值为1 2 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，D 为 AB 边上的中点，则  CD·  AC等于 ▲ ． 14．（x－2y）（x＋y）8 的展开式中 x2y7 的系数为 ▲ ．用数字填写答案） 15．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上递减，若不等式 f(－ax＋lnx＋1)＋f(ax－lnx－1) ≥2f(1) 对 x∈[1，e2]恒成立，则实数 a 的取值范围为 ▲ ． 16．已知函数 f(x)＝3cos（2x＋π 3 ），当 x∈[0，9π]时，把函数 F(x)＝f(x)－1 的所有零点依次记 为 x1，x2，x3，……，xn，且 x1＜x2＜x3＜……＜xn，记数列{xn}的前 n 项和为 Sn，则 2Sn－（x1 ＋xn）＝ ▲ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）在①AC→·AB→＝b2－1 2 ab，②atanC＝2csinA，③S＝ 3 4 (a2＋b2－c2)这三个 条件中任选一个．．，补充在下面的问题中，并解决该问题． 锐角△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，△ABC 的面积为 S，已知______， （1）求角 C 的大小； （2）求 sinA＋sinB 的取值范围． 18．（本小题满分 12 分）已知数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 an＞0，6Sn＝an2＋ 3an． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记 bn＝ 1 Sn ，若 k＞Tn 恒成立，求 k 的最小值． 19．（本小题满分 12 分）如图，点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点（异于 A，B），己知 AB ＝2，AC＝ 2，AE＝ 7，四边形 BEDC 为矩形，平面 ABC⊥平面 BEDC．设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l． （1）证明：l∥BC； （2）求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值． 20．（本小题满分 12 分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分 复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采 用简单随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……， 20），其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位： 吨），并计算得 20 1 80i i x   ， 20 1 4000i i y   ，  20 2 1 80i i x x    ，   20 2 1 8000i i y y    ，    20 1 700i i i x x y y     ． （1）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年） 统计表： 1 年 2 年 3 年 4 年 合计 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估 计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？ 参考公式：相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜 率和截距的 最小二乘估计分别为：      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆˆa y bx  使用年限 台数款式 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1（a＞b＞0）的一条准线方程为 x＝3 2 2 ，点 （3 2 ，1 2 ）在椭圆 C 上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求△AOB 面积（O 为原点）的最大值． 22．（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝tetx(t＞0)，g(x)＝lnx， （1）若 f(x)在 x＝0 处的切线与 g(x)在 x＝1 处的切线平行，求实数 t 的值； （2）设函数φ(x)＝f(x)－g(x)， ①当 t＝1 时，求证：φ(x)在定义域内有唯一极小值点 x0，且φ(x0)∈(2，5 2 )； ②若φ(x)恰有两个零点，求实数 t 的取值范围． 2020-2021 学年第一学期 12 月六校联合调研试题 高三数学答案 一、单选题：1~8：CABDCDBA 二、多选题：9、ABD 10、AC 11、ACD 12、AD 三、填空题：13、－8；14、－48；15、[1 e ，4 e2 ]；16、442π 3 四、解答题： 17、解答:(1)选条件①AC→·AB→＝bccosA＝b2－1 2 ab 所以 cb·b2＋c2－a2 2bc ＝b2－1 2 ab，即 b2＋c2－a2 ＝2b2－ab，所以 b2＋a2－c2＝ab，所以 cosC＝b2＋a2－c2 2ab ＝ 1 2 ．…………………………………………………………3 分 因为 C∈(0，π)，…………………………………………………………4 分 所以 C＝π 3 ．…………………………………………………………5 分 选条件②atanC＝2csinA，有正弦定理得，sinA·sinC cosC ＝2sinCsinA，因为 A，B∈(0，π)，所以 sinA， sinC＞0，因此 cosC＝1 2 ，…………………………………………………………3 分 C∈(0，π)，…………………………………………………………4 分 所以 C＝π 3 ．…………………………………………………………5 分 所以选条件③S△ABC＝ 3 4 (a2＋b2－c2)＝ 3 4 2abcosC，S△ABC＝1 2 absinC， 3abcosC＝absinC，C∈(0， π)，sinC＞0，cosC＞0，tanC＝ 3，…………………………………………………………3 分 C∈(0，π)，…………………………………………………………4 分 C＝π 3 ．…………………………………………………………5 分 （2）sinA＋sinB＝sinA＋sin(2π 3 －A)＝3 2 sinA＋ 3 2 cosA＝ 3sin(A＋π 3 )，……………7 分 A∈(0，π 2 )，2π 3 －A∈(0，π 2 )，所以 A∈(π 6 ，π 2 )，A＋π 6 ∈(π 3 ，2π 3 )，……………8 分 所以 sinA＋sinB∈(3 2 ， 3]．…………………………………………………………5 分 18、解析（1）当 n＝1 时， 2 1 1 16 3a a a  ，解得 a1＝3．……………1 分 当 n≥2 时，由 26 3n n nS a a  ，得 2 1 1 16 3n n nS a a    ，两式相减并化简得   1 1 3 0n n n na a a a     ， 由于 0na  ，所以 1 3 0n na a    ，即 1 3( 2)n na a n   ，………………………………4 分 故 na 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以 3na n ．………………………………6 分 （2）Sn＝3n（n＋1） 2 bn＝ 1 Sn ＝ 2 3n（n＋1） ＝2 3 （1 n － 1 n＋1 ）．……………………8 分 故 Tn＝b1＋b2＋……＋bn＝2 3 （1 1 －1 2 ）＋2 3 （1 2 －1 3 ）……＋2 3 （1 n － 1 n＋1 ）＝2 3 （1－ 1 n＋1 ），由于 {Tn}是单调递增数列，2 3 （1－ 1 n＋1 ）<2 3 ……………………10 分 ，所以 k  2 3 ．故 k 的最小值为2 3 ．……………………12 分 19、解∶（1）因为四边形 BEDC 为矩形， DE//BC ，DE 平面 DAB ，BC  平面 DAB ，所以 BC // 平面 EAD ，…………………2 分 又平面 EAD ∩平面 ABC =l ，又 BC  平面 CAB ，所以得 //l BC ．…………………4 分 （2）四边形 BEDC 为矩形，所以 DC⊥BC,又平面 ABC⊥平面 BEDC，平面 ABC∩平面 BEDC=BC，DC  平面 BEDC，所以CD  平面 ABC ．所以CD  AC，又 AB 为直径，所以 AC⊥BC…………………6 分 以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CD 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则 (0,0,0)C ， ( 2,0,0)A ， (0,0, 3)D ， (0, 2, 3)E ，所以 ( 2,0, 3)AD   ， (0, 2,0)DE  ，平面 ABC 的法向量 1 (0,0, 3)n  ，…………………8 分 设平面 ADE 的法向量 2 ( , , )n x y z ， 2 2 0 0 n AD n DE          所以 2 3 0 2 0 x z y     ， 即 2 ( 3,0, 2)n  ，…………………10 分 所以 1 2 1 2 1 2 6 10cos , 53 5 n nn n n n           …………………12 分 20、（1）由题意知相关系数        20 1 20 202 2 1 1 700 7 0.875880 8000 i i i i i i i x x y y r x x y y               ，…………3 分 因为 y 与 x 的相关系数接近1，所以 y 与 x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型 进行拟合. （2）由题意可得，      20 1 20 2 1 700ˆ 8.7580 i i i i i x x y y b x x           ，…………5 分 4000 80ˆˆ 8.75 200 8.75 4 16520 20a y bx         ，所以 ˆ 8.75 165y x  .…………7 分 （3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限为 X （单位：年）的分布列为： X 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.3 0.2   1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.2 2.6E X          .…………9 分 乙款垃圾处理机器使用年限为Y （单位：年）的分布列为： Y 1 2 3 4 P 0.3 0.4 0.2 0.1   1 0.3 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2.1E Y          .…………11 分 因为    E X E Y ，所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久. …………12 分 21. （1）由 2 2 2 2 2 2 21 3 a b be a a     得 3 3 b a  ①， 由椭圆C 经过点 3 1( )2 2 ， 得 2 2 9 1 14 4a b   ②，…………2 分 联立①②，解得 1b  ， 3a  ，∴椭圆C 的方程是 2 2 13 x y  ；…………4 分 （2）由题意可知直线 AB 一定存在斜率，设其方程为 2y kx  ， 联立 2 2 2 13 y kx x y     消去 y 得： 2 2(1 3 ) 12 9 0k x kx    ， 则 2 2144 36(1 3 ) 0k k     ，得 2 1k  ， 设 1 1( )A x y， 、 2 2( )B x y， ，则 1 2 2 12 1 3 kx x k     ， 1 2 2 9 1 3x x k    ，…………6 分 ∴ 1 2 1 2 1 22AOB POB POAS S S x x x x          ， ∵ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 12 36 36( 1)( ) ( ) 4 ( )1 3 1 3 (1 3 ) k kx x x x x x k k k            ，…………8 分 设 2 1k t  ( 0t  )，则 2 1 2 2 36 36 36 3( ) 16(3 4) 4169 24 2 9 24 tx x t t tt t          ，………… 10 分 当且仅当 169t t  ，即 4 3t  时等号成立，此时 2 7 13k   可取， 此时 AOB 面积取得最大值 3 2 .…………12 分 注：Δ不检验，扣一分 22、解答:（1）f'(x)＝t2etx，g'(x)＝1 x ，t2＝1，（t＞0）t＝1…………2 分 （2）①φ(x)＝ex－lnx(x＞0)，φ'(x)＝ex－1 x ，φ''(x)＝ex＋1 x2 ＞0，所以φ’(x)在定义域上是增函数， φ'(1 2 )＝e 1 2－2＜0，φ'(1)＝e－1＞0，所以φ'(x)在区间(1 2 ，1)上有唯一零点 x0．当 x∈(0，x0)时， φ'(x)＜0，即φ(x)是减函数；当 x∈(x0＋∞)时，φ'(x)＞0，即φ(x)是增函数，所以 x0 是φ(x)的唯一 极小值点．…………4 分 ex0＝1 x0 ，x0＝－lnx0，x0∈(1 2 ，1)．φ(x0)＝x0＋1 x0 在(1 2 ，1)是减函数，所以φ(x0)∈(2，5 2 )．………… 6 分 ②因为 tetx＞0，lnx≤0(0＜x≤1)所以φ(x)＝tetx－lnx 的零点在(1，＋∞)上． 由题意得，xφ(x)＝(tx)etx－xlnx 在(1，＋∞)上两个零点，设 h(x)＝xlnx，h'(x)＝1＋lnx＞0，所以 h(x)在(1，＋∞)上是增函数，h(x)＝h(etx)，当且仅当 x＝etx，即lnx x －t＝0 有两个解．…………8 分 设 p(x)＝lnx x －t(x＞1)，令 p'(x)＝1－lnx x2 ＞0，x＜e，当 x∈(1，e)，p'(x)＞0，p(x)是增函数，当 x∈(e＋∞)，p’(x)＜0，p(x)是减函数，所以当 x＝e 时，p(x)的最大值为 e－1－t， (Ⅰ)当 t＞e－1 时，p(x)＜0 恒成立，方程lnx x －t＝0 无解，舍去；…………9 分 (Ⅱ)当 t＝e－1 时，p(x)≤0 恒成立，当且仅当 p(e)＝0，方程lnx x －t＝0 有唯一解 e，舍去；………… 10 分 (Ⅲ)当 0＜t＜e－1 时，设 p(e)＝e－1－t＞0，p(1)＝－t＜0，所以 p(x)在(1，e)有唯一零点，由(Ⅱ) 已证 lnx≤x e ，lnx x ＝2ln(x 1 2) x ≤2x 1 2 ex ＝ 2 e x ，p((2 et ＋e)2)＜0，所以 p(x)在(e＋∞)有唯一零点． 综上所述，当 0＜t＜e－1 时，φ(x)恰有两个零点．…………12 分