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  • 2021-06-10 发布

江苏省南京市六校联合体2021届高三数学12月联考试题(Word版附答案)

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2020-2021 学年第一学期 12 月六校联合调研试题 高三数学 一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.记全集 U=R,集合 A={x| x2≥16},集合 B={x| lnx≥0},则(CUA)∩B=( ) A. [4,+∞) B.(1,4] C. [1,4) D.(1,4) 2.设 i 为虚数单位,a∈R,“a=1”是“复数 z=a2 2 - 1 1-i 是纯虚数”的( )条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知圆 C 的圆心在直线 y=x 上,且与 y 轴相切于点(0,5),则圆 C 的标准方程是( ) A.(x+5)2+(y-5)2=25 B.(x-5)2+(y-5)2=25 C.(x-5)2+(y-5)2=5 D.(x+5)2+(y-5)2=5 4.标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式,标准 对数远视力表各行为正方形“E”形视标,且从视力 5.2 的视标所在行开始往上,每一行 “E”的边长都是下方一行“E”边长的10 10 倍,若视力 4.1 的视标边长为 a,则视力 4.8 的视标边长为( ) A. a8.010 B. a7.010 C. a8.010 D. a7.010 5.已知双曲线C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右顶点为A,直线y= 3 2 (x+a)与C的一条渐 近线在第一象限相交于点P,若PA与x轴垂直,则C的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 6.已知函数 y=f (x)的图象如右图所示,则此函数可能是( ) A.f (x)= sin6x 2-x-2x B.f (x)= sin6x 2x-2-x C.f (x)= cos6x 2-x-2x D.f (x)= cos6x 2x-2-x 7.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节日, 在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼 等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满 50 元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有 4 名顾客都领取 一件礼品,则他们中有且仅有 2 人领取的礼品种类相同的概率是( ) (第 4 题图)y x (第 6 题图) O A. 5 9 B. 4 9 C. 7 16 D. 9 16 8.在三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,且 AB=2,PA=PC = 5, PB 与底面 ABC 所成的角的余弦值为2 2 3 ,则三棱锥 P-ABC 的外接球的体积为( ) A.9π 2 B.89 89π 6 C.9π D.27π 2 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每个小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.下列说法正确的是( ) A.若 X~B(n,1 3 ),且 EX=2,则 n=6 B.设有一个回归方程 y=3-5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位 C.线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱 D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),则 P(ξ>1)=0.5 10.若函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移π 6 个单位得到的图象对应的函数为 g(x),则下列说法中 正确的是( ) A.g(x)的图象关于 x=5π 12 对称 B.当 x[0,π 2]时,g(x)的值域为[- 3 2 , 3 2 ] C.g(x)在区间[5π 12 ,11π 12 ]上单调递减 D.当 x∈[0,π]时,方程 g(x)=0 有 3 个根 11.如图,直角梯形 ABCD, AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=1 2 ,AB=1,E 为 AB 中点,以 DE 为折痕把 ADE 折起,使点 A 到达点 P 的位置,且 PC= 3 2 .则( ) A.平面 PED⊥平面 EBCD B.PC⊥ED C.二面角 P-DC-B 的大小为π 4 D.PC 与平面 PED 所成角的正切值为 2 2 网] 12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,以线段 AB 为直径的圆交 y 轴于 M、N 两点,设线段 AB 的中点为 P,则( ) A. OA·  OB=-3p2 4 B.若|AF|·|BF|=4p2,则直线 AB 的斜率为 3 P A E D C B (第 11 题图) C.若抛物线上存在一点 E(2,t)到焦点 F 的距离等于 3,则抛物线的方程为 y2=8x D.若点 F 到抛物线准线的距离为 2,则 sin∠PMN 的最小值为1 2 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,D 为 AB 边上的中点,则  CD·  AC等于 ▲ . 14.(x-2y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 ▲ .用数字填写答案) 15.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递减,若不等式 f(-ax+lnx+1)+f(ax-lnx-1) ≥2f(1) 对 x∈[1,e2]恒成立,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 16.已知函数 f(x)=3cos(2x+π 3 ),当 x∈[0,9π]时,把函数 F(x)=f(x)-1 的所有零点依次记 为 x1,x2,x3,……,xn,且 x1<x2<x3<……<xn,记数列{xn}的前 n 项和为 Sn,则 2Sn-(x1 +xn)= ▲ . 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)在①AC→·AB→=b2-1 2 ab,②atanC=2csinA,③S= 3 4 (a2+b2-c2)这三个 条件中任选一个..,补充在下面的问题中,并解决该问题. 锐角△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,△ABC 的面积为 S,已知______, (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+sinB 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)已知数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 an>0,6Sn=an2+ 3an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn= 1 Sn ,若 k>Tn 恒成立,求 k 的最小值. 19.(本小题满分 12 分)如图,点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点(异于 A,B),己知 AB =2,AC= 2,AE= 7,四边形 BEDC 为矩形,平面 ABC⊥平面 BEDC.设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l. (1)证明:l∥BC; (2)求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 20.(本小题满分 12 分)垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分 复杂多样,且具有污染性,所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采 用简单随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,……, 20),其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个县城的人口(单位:万人)和该县年垃圾产生总量(单位: 吨),并计算得 20 1 80i i x   , 20 1 4000i i y   ,  20 2 1 80i i x x    ,   20 2 1 8000i i y y    ,    20 1 700i i i x x y y     . (1)请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合; (2)求 y 关于 x 的线性回归方程; (3)某科研机构研发了两款垃圾处理机器,下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年) 统计表: 1 年 2 年 3 年 4 年 合计 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器,以使用年限的频率估计概率.根据以往经验估 计,该机构选择购买哪一款垃圾处理机器,才能使用更长久? 参考公式:相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,……,n),其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜 率和截距的 最小二乘估计分别为:      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         , ˆˆa y bx  使用年限 台数款式 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:x2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0)的一条准线方程为 x=3 2 2 ,点 (3 2 ,1 2 )在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求△AOB 面积(O 为原点)的最大值. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=tetx(t>0),g(x)=lnx, (1)若 f(x)在 x=0 处的切线与 g(x)在 x=1 处的切线平行,求实数 t 的值; (2)设函数φ(x)=f(x)-g(x), ①当 t=1 时,求证:φ(x)在定义域内有唯一极小值点 x0,且φ(x0)∈(2,5 2 ); ②若φ(x)恰有两个零点,求实数 t 的取值范围. 2020-2021 学年第一学期 12 月六校联合调研试题 高三数学答案 一、单选题:1~8:CABDCDBA 二、多选题:9、ABD 10、AC 11、ACD 12、AD 三、填空题:13、-8;14、-48;15、[1 e ,4 e2 ];16、442π 3 四、解答题: 17、解答:(1)选条件①AC→·AB→=bccosA=b2-1 2 ab 所以 cb·b2+c2-a2 2bc =b2-1 2 ab,即 b2+c2-a2 =2b2-ab,所以 b2+a2-c2=ab,所以 cosC=b2+a2-c2 2ab = 1 2 .…………………………………………………………3 分 因为 C∈(0,π),…………………………………………………………4 分 所以 C=π 3 .…………………………………………………………5 分 选条件②atanC=2csinA,有正弦定理得,sinA·sinC cosC =2sinCsinA,因为 A,B∈(0,π),所以 sinA, sinC>0,因此 cosC=1 2 ,…………………………………………………………3 分 C∈(0,π),…………………………………………………………4 分 所以 C=π 3 .…………………………………………………………5 分 所以选条件③S△ABC= 3 4 (a2+b2-c2)= 3 4 2abcosC,S△ABC=1 2 absinC, 3abcosC=absinC,C∈(0, π),sinC>0,cosC>0,tanC= 3,…………………………………………………………3 分 C∈(0,π),…………………………………………………………4 分 C=π 3 .…………………………………………………………5 分 (2)sinA+sinB=sinA+sin(2π 3 -A)=3 2 sinA+ 3 2 cosA= 3sin(A+π 3 ),……………7 分 A∈(0,π 2 ),2π 3 -A∈(0,π 2 ),所以 A∈(π 6 ,π 2 ),A+π 6 ∈(π 3 ,2π 3 ),……………8 分 所以 sinA+sinB∈(3 2 , 3].…………………………………………………………5 分 18、解析(1)当 n=1 时, 2 1 1 16 3a a a  ,解得 a1=3.……………1 分 当 n≥2 时,由 26 3n n nS a a  ,得 2 1 1 16 3n n nS a a    ,两式相减并化简得   1 1 3 0n n n na a a a     , 由于 0na  ,所以 1 3 0n na a    ,即 1 3( 2)n na a n   ,………………………………4 分 故 na 是首项为 3,公差为 3 的等差数列,所以 3na n .………………………………6 分 (2)Sn=3n(n+1) 2 bn= 1 Sn = 2 3n(n+1) =2 3 (1 n - 1 n+1 ).……………………8 分 故 Tn=b1+b2+……+bn=2 3 (1 1 -1 2 )+2 3 (1 2 -1 3 )……+2 3 (1 n - 1 n+1 )=2 3 (1- 1 n+1 ),由于 {Tn}是单调递增数列,2 3 (1- 1 n+1 )<2 3 ……………………10 分 ,所以 k  2 3 .故 k 的最小值为2 3 .……………………12 分 19、解∶(1)因为四边形 BEDC 为矩形, DE//BC ,DE 平面 DAB ,BC  平面 DAB ,所以 BC // 平面 EAD ,…………………2 分 又平面 EAD ∩平面 ABC =l ,又 BC  平面 CAB ,所以得 //l BC .…………………4 分 (2)四边形 BEDC 为矩形,所以 DC⊥BC,又平面 ABC⊥平面 BEDC,平面 ABC∩平面 BEDC=BC,DC  平面 BEDC,所以CD  平面 ABC .所以CD  AC,又 AB 为直径,所以 AC⊥BC…………………6 分 以C 为坐标原点,以CA ,CB ,CD 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 则 (0,0,0)C , ( 2,0,0)A , (0,0, 3)D , (0, 2, 3)E ,所以 ( 2,0, 3)AD   , (0, 2,0)DE  ,平面 ABC 的法向量 1 (0,0, 3)n  ,…………………8 分 设平面 ADE 的法向量 2 ( , , )n x y z , 2 2 0 0 n AD n DE          所以 2 3 0 2 0 x z y     , 即 2 ( 3,0, 2)n  ,…………………10 分 所以 1 2 1 2 1 2 6 10cos , 53 5 n nn n n n           …………………12 分 20、(1)由题意知相关系数        20 1 20 202 2 1 1 700 7 0.875880 8000 i i i i i i i x x y y r x x y y               ,…………3 分 因为 y 与 x 的相关系数接近1,所以 y 与 x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型 进行拟合. (2)由题意可得,      20 1 20 2 1 700ˆ 8.7580 i i i i i x x y y b x x           ,…………5 分 4000 80ˆˆ 8.75 200 8.75 4 16520 20a y bx         ,所以 ˆ 8.75 165y x  .…………7 分 (3)以频率估计概率,甲款垃圾处理机器的使用年限为 X (单位:年)的分布列为: X 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.3 0.2   1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.2 2.6E X          .…………9 分 乙款垃圾处理机器使用年限为Y (单位:年)的分布列为: Y 1 2 3 4 P 0.3 0.4 0.2 0.1   1 0.3 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2.1E Y          .…………11 分 因为    E X E Y ,所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久. …………12 分 21. (1)由 2 2 2 2 2 2 21 3 a b be a a     得 3 3 b a  ①, 由椭圆C 经过点 3 1( )2 2 , 得 2 2 9 1 14 4a b   ②,…………2 分 联立①②,解得 1b  , 3a  ,∴椭圆C 的方程是 2 2 13 x y  ;…………4 分 (2)由题意可知直线 AB 一定存在斜率,设其方程为 2y kx  , 联立 2 2 2 13 y kx x y     消去 y 得: 2 2(1 3 ) 12 9 0k x kx    , 则 2 2144 36(1 3 ) 0k k     ,得 2 1k  , 设 1 1( )A x y, 、 2 2( )B x y, ,则 1 2 2 12 1 3 kx x k     , 1 2 2 9 1 3x x k    ,…………6 分 ∴ 1 2 1 2 1 22AOB POB POAS S S x x x x          , ∵ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 12 36 36( 1)( ) ( ) 4 ( )1 3 1 3 (1 3 ) k kx x x x x x k k k            ,…………8 分 设 2 1k t  ( 0t  ),则 2 1 2 2 36 36 36 3( ) 16(3 4) 4169 24 2 9 24 tx x t t tt t          ,………… 10 分 当且仅当 169t t  ,即 4 3t  时等号成立,此时 2 7 13k   可取, 此时 AOB 面积取得最大值 3 2 .…………12 分 注:Δ不检验,扣一分 22、解答:(1)f'(x)=t2etx,g'(x)=1 x ,t2=1,(t>0)t=1…………2 分 (2)①φ(x)=ex-lnx(x>0),φ'(x)=ex-1 x ,φ''(x)=ex+1 x2 >0,所以φ’(x)在定义域上是增函数, φ'(1 2 )=e 1 2-2<0,φ'(1)=e-1>0,所以φ'(x)在区间(1 2 ,1)上有唯一零点 x0.当 x∈(0,x0)时, φ'(x)<0,即φ(x)是减函数;当 x∈(x0+∞)时,φ'(x)>0,即φ(x)是增函数,所以 x0 是φ(x)的唯一 极小值点.…………4 分 ex0=1 x0 ,x0=-lnx0,x0∈(1 2 ,1).φ(x0)=x0+1 x0 在(1 2 ,1)是减函数,所以φ(x0)∈(2,5 2 ).………… 6 分 ②因为 tetx>0,lnx≤0(0<x≤1)所以φ(x)=tetx-lnx 的零点在(1,+∞)上. 由题意得,xφ(x)=(tx)etx-xlnx 在(1,+∞)上两个零点,设 h(x)=xlnx,h'(x)=1+lnx>0,所以 h(x)在(1,+∞)上是增函数,h(x)=h(etx),当且仅当 x=etx,即lnx x -t=0 有两个解.…………8 分 设 p(x)=lnx x -t(x>1),令 p'(x)=1-lnx x2 >0,x<e,当 x∈(1,e),p'(x)>0,p(x)是增函数,当 x∈(e+∞),p’(x)<0,p(x)是减函数,所以当 x=e 时,p(x)的最大值为 e-1-t, (Ⅰ)当 t>e-1 时,p(x)<0 恒成立,方程lnx x -t=0 无解,舍去;…………9 分 (Ⅱ)当 t=e-1 时,p(x)≤0 恒成立,当且仅当 p(e)=0,方程lnx x -t=0 有唯一解 e,舍去;………… 10 分 (Ⅲ)当 0<t<e-1 时,设 p(e)=e-1-t>0,p(1)=-t<0,所以 p(x)在(1,e)有唯一零点,由(Ⅱ) 已证 lnx≤x e ,lnx x =2ln(x 1 2) x ≤2x 1 2 ex = 2 e x ,p((2 et +e)2)<0,所以 p(x)在(e+∞)有唯一零点. 综上所述,当 0<t<e-1 时,φ(x)恰有两个零点.…………12 分

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