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- 2021-06-10 发布
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2020届番禺区高三年级摸底测试
理科数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R,,则( )
A. [1,3) B. (1,3] C. (1,3) D. (-2,1]
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定集合中的元素,然后由集合运算法则计算.
【详解】由题意,,
∴,.
故选:A.
【点睛】本题考查集合的运算,考查一元二次不等式的解法,掌握集合的运算定义是解题关键.本题还考查了对数型复合函数的定义域.需要掌握对数函数的性质.
2.设(i为虚数单位),其中x,y是实数,则等于( )
A. 5 B. 13 C. 22 D. 2
【答案】A
【解析】
分析】
- 23 -
把已知等式两边都化为复数的代数形式,然后由复数相等的定义求出,再根据复数模的定义求得模.
【详解】由得,
∴,解得,
∴.
故选:A.
【点睛】本题考查复数相等的概念,考查求复数的模.掌握复数相等的概念是解题关键.
3.函数的部分图象大致为( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性,排除两个,再由时,,又排除一个,从而得正确选项.
【详解】,是奇函数,排除A.B,
时,,排除C,只有D可选.
故选:D.
【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象,可用排除法,先确定函数的奇偶性,再确定函数值的变化趋势,特别是时,函数值的变化趋势.
4.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
- 23 -
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.
【详解】因为,
所以将其图象向左平移个单位长度,
可得,
故选C.
【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题,涉及到的知识点有辅助角公式,诱导公式,图象的平移变换的原则,属于简单题目.
5.等比数列的前项和为,公比为,若,,则( )
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,分析可得等比数列的公比,进而由等比数列的通项公式可得,解可得,又由,解可得的值,即可得答案.
【详解】根据题意,等比数列中,若,则,
- 23 -
若,则,解可得,则,
又由,则有,解可得;
故选B.
【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用,关键是掌握等比数列的前项和的性质.
6.射线测厚技术原理公式为,其中分别为射线穿过被测物前后的强度,是自然对数的底数,为被测物厚度,为被测物的密度,是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为( )
(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,,结果精确到0.001)
A 0.110 B. 0.112 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知,,代入公式,求出即可.
【详解】由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程;属于中档题.
7.平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A. 存在一条直线a,a∥α,a∥β
B. 存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C. 存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
- 23 -
D. 存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
【答案】D
【解析】
【详解】对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面相交或平行.故A不对;
对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面相交或平行,故B不对;
对于C,两个平面中的两条直线若平行,不能保证两个平面平行,故C不对;
对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.
8.设函数的导函数为,且,则曲线在点(4,f(4))处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数,从而先求出得函数解析式,得导函数,然后可求得切线斜率.
【详解】由得,∴,,
∴,,,斜率为1,倾斜角为.
故选:B.
【点睛】本题考查导数的几何意义 ,解题关键求出导函数,求出.
9.已知函数的图象关于直线对称,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
- 23 -
【分析】
利用是函数的最值求得参数,然后再确定的性质.
【详解】由题意,解得,
∴,.
,,
∵,∴中一个取值1一个取值,
∴.
故选:D.
【点睛】本题考查三角函数的性质,考查三角函数的最值、周期、对称性等.正弦函数的性质:过正弦函数图象的最高点或者最低点与边垂直的直线是其对称轴.即对称轴对应的函数值是最值.
10.中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
总共有10种结果,其中相生的有5种,由古典概型的计算公式计算出概率即可
【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种,共种,
而相生的有5种,则抽到的两种物质不相生的概率
故选:D
【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率,较简单.
11.已知是抛物线的焦点,是轴上一点,线段与抛物线相交于点,若,则( )
- 23 -
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
设的坐标,点的坐标,根据向量关系解方程即可得解.
【详解】由题意得点的坐标为,设点的坐标,点的坐标,
所以向量:,,
由向量线性关系可得:,,解得:,
代入抛物线方程可得:,则,
由两点之间的距离公式可得:.
故选:A.
【点睛】此题考查根据直线与抛物线的交点构造向量关系求解参数,考查基本运算.
12.已知正方体,过对角线作平面交棱于点E,交棱于点F,则:
①平面分正方体所得两部分的体积相等;
②四边形一定是平行四边形;
③平面与平面不可能垂直;
④四边形的面积有最大值.
其中所有正确结论的序号为( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
- 23 -
根据正方体的性质对每个命题进行判断.结合排除法可选正确结论.
【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥,四棱锥,三棱锥,截面下方几何体对称的也是三个棱锥,对应体积相等(特殊位置截面更容易得此结论),①正确,排除B;
由正方体相对两个面平行,根据面面平行的性质定理知四边形的两组对边平行,从而是平行四边形,②正确,排除A;
当是中点,是中点,这时可证平面(先证),从而平面与平面垂直,③错误,排除D,
只有C可选了.
事实上,四边形即有最大值也有最小值.与(或)重合时面积最大,是中点时,面积最小.
设,正方体棱长为1,,,,,
在中,,
所以,
所以,
所以或1时,取得最大值.④正确.
故选:C.
- 23 -
【点睛】本题考查正方体的截面的性质.解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系.如果空间想象能力丰富,结论易得,由正方体对称性,①正确,从运动角度考虑,当从运动到时,截面面积发生变化,这是一个有限的连续过程,其中必有最大值和最小值.④正确,②③易于从面线面关系说明.
二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.的展开式中项的系数是____________
【答案】420
【解析】
【分析】
利用多项式乘法法则确定项的系数,
【详解】由题意展开式中项的系数是.
故答案为:420.
【点睛】本题考查二项式定理的应用,求多项式展开式中某一项系数,可能利用多项式乘法法则,结合组合的知识求解.
14.已知实数满足则取得最大值的最优解为_________.
【答案】(4,2)
【解析】
【分析】
首先作出不等式组表示的可行域,然后利用z的几何意义,作出直线,向上平移直线到最高点,此时目标函数取得最大值,求出此时直线与可行域的交点坐标即可
【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示:
作出直线如图所示,向上平移直线,当经过点A时,目标函数取得最大值,所以点A所对的坐标即为所求的最优解.
- 23 -
联立方程,解方程组得,即点A坐标为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题;利用z的几何意义和数形结合的思想是求解本题的关键;属于中档题.
15.设数列的前n项和为,且,则数列的前10项的和是__________
【答案】
【解析】
【分析】
利用得出数列的递推关系,变形后求出,然后用裂项相消法求和.
【详解】由题意,时,,
,即,
∴数列是等差数列,公差为2,首项为1,∴,,
,
- 23 -
∴数列的前10项的和为.
故答案:.
【点睛】本题考查由数列与的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和.掌握关系式是解题关键.
16.已知函数,,若与的图象上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数关于直线的对称函数,令与的图象有交点得出的范围即可.
【详解】关于直线对称的直线为,
∴直线与在上有交点,
作出与函数图象,如图所示:
若直线经过点,则,若直线与相切,
- 23 -
设切点为,则,解得.
∴,故答案为.
【点睛】本题考查了函数的对称问题解法,注意运用转化思想,以及零点与函数图象的关系,导数的几何意义,属于中档题.
三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分別为a,b,c,若.
(1)求a;
(2)已知点M在边BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面积.
【答案】(1)2;(2)
【解析】
【分析】
(1)由平方关系求出,由二倍角公式求得,由正弦定理求得;
(2)用诱导公式求出,由正弦定理求出,用三角形内角平分线定理求出,由三角形面积公式计算即得.
【详解】(1)∵,
- 23 -
∴,,
由得;
(2),∴,∴,
由(1),
.
由正弦定理得.
又平分,∴,又,
∴,
∴.
【点睛】本题考查正弦定理,考查三角形面积公式,考查三角函数的恒等变换.掌握正弦定理是解题关键.
18.如图,已知三棱柱中,平面平面,,.
- 23 -
(1)证明:;
(2)设,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
【分析】
(1)连结.由菱形得对角线垂直,再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直平面,平面,从而,于是证得线面垂直后再得线线垂直;
(2)取的中点为,连结,证得与都垂直后,以为原点,为正方向建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面的法向量,则法向量夹角得二面角,注意要判断二面角是锐角还是钝角.
【详解】(1)连结.
∵,四边形为菱形,∴.
∵平面平面,平面平面,
平面,,
∴平面.
又∵,∴平面,∴.
∵,
∴平面,而平面,
- 23 -
∴
(2)取的中点为,连结.
∵,四边形为菱形,,∴,.
又由(1)知,以为原点,为正方向建立空间直角坐标系,如图.
设,,,,
∴(0,0,0),(1,0,),(2,0,0),(0,1,0),(-1,1,).
由(1)知,平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,则,∴.
∵,,∴.
令,得,即.
∴,
∴二面角的余弦值为
【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直,考查用空间向量法求二面角.立体几何中证明垂直时,线线垂直,线面垂直,面面垂直常常是相互转化,判定定理与性质定理要灵活应用.在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系,用向量法求空间角.
19.已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设不经过点的直线与曲线相交于两点.若直线与的斜率之和为1,求实数的值.
【答案】(1)(2)3
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【解析】
【分析】
(1)设P,A,B的坐标,由坐标化可得变量间的关系,再由,求出曲线的方程 .
(2)设直线的方程及和坐标,由直线与圆锥曲线联立,利用韦达定理、 根的判别式、直线的斜率,结合已知条件能求出定点的坐标以及此常数 .
【详解】解:(1)设.
,,即.
.
又,.从而.
曲线的方程为.
(2)设.
联立,消去,得.
由,可得.
又直线不经过点,且直线与的斜率存在,
.,且.
,.
,
- 23 -
.
解得.
的值为3.
【点睛】本题考查曲线方程的求法, 考查满足条件的轴上的定点是否存在的判断与求法, 考查椭圆、 直线方程、 根的判别式、 韦达定理等基础知识, 考查函数与方程思想, 考查运算求解能力, 是中档题 .
20.某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)选择延保方案二较合算
【解析】
【分析】
(Ⅰ)所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,分别求出对应的概率,列出分布列即可;(Ⅱ)求出两种方案下所需费用的分布列,然后分别求出对应的期望值,比较二者的大小即可选出最合算的方案.
【详解】解:(Ⅰ)所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,
,,
- 23 -
,
,,
,,
∴的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
(Ⅱ)选择延保一,所需费用元的分布列为:
7000
9000
11000
13000
15000
(元).
选择延保二,所需费用元的分布列为:
10000
11000
12000
(元).
∵,∴该医院选择延保方案二较合算.
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查了概率的计算,考查了期望的求法,属于中档题.
- 23 -
21.已知函数
(1)若在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
(2)证明:
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)构造函数,要求在上的最小值即得;
(2)由(1)时有,且当时,,
令,,得个不等式,相加后即证.
【详解】(1)设,
,
,即时,恒成立,在上是增函数,
∴,∴满足题意,
时,有两个不等实根,,,
不妨设,则,
当时,,递减,时,,递增,
∴在时,,
,又,,
∴,
令,,
- 23 -
∴在上递减,
∴,在上不恒成立,
综上,.即的取值范围是.
(2)由(1)时,,且当时,,
令,则有,
∴,,
这个不等式相加得,
整理得.证毕.
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题,用导数证明不等式,不等式恒成立问题常常转化为研究函数的最值,为了研究导函数的正负,可能对导函数(或其中一部分构成的新函数)再求导,确定正负,确定单调性.
22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(k为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.
【答案】(Ⅰ)..(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)联想二倍角公式化弦为切的结构特征,即
- 23 -
,结合,所以将参数方程化为,即可化为普通方程;
展开,,代入,即可化为直角坐标方程;
(Ⅱ)将椭圆方程化为参数方程,利用辅助角公式,结合余弦函数的有界性,即可得出结论.
【详解】解:(Ⅰ),平方后得,
又,的普通方程为.
,即,
将,代入即可得到.
(Ⅱ)将曲线C化成参数方程形式为(为参数),
则,其中
所以.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化,注意消参方法,考查极坐标方程化直角坐标方程,应用参数方程求点到直线距离的范围,属于中档题.
23.设函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)对任意,恒有,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
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(1)由绝对值不等式的解法,当,分三种情况讨论,求解不等式即可得解;
(2)由绝对值不等式的三角不等式性质可得,
再转化为恒成立,再分和讨论即可得解.
【详解】解:(1)当时,,
则等价于或或,
解得或,
所以的解集为.
(2)由绝对值不等式的性质有:,由恒成立,有恒成立,
当时不等式显然恒成立,
当时,由得,
综上,的取值范围是.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质,主要考查了不等式恒成立问题,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属中档题.
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