• 1.82 MB
  • 2021-06-10 发布

广东省番禺区2020届高三摸底测试理科数学试题 Word版含解析

  • 23页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
www.ks5u.com ‎2020届番禺区高三年级摸底测试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集U=R,,则( )‎ A. [1,3) B. (1,3] C. (1,3) D. (-2,1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定集合中的元素,然后由集合运算法则计算.‎ ‎【详解】由题意,,‎ ‎∴,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算,考查一元二次不等式的解法,掌握集合的运算定义是解题关键.本题还考查了对数型复合函数的定义域.需要掌握对数函数的性质.‎ ‎2.设(i为虚数单位),其中x,y是实数,则等于( )‎ A. 5 B. 13 C. 22 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ - 23 -‎ 把已知等式两边都化为复数的代数形式,然后由复数相等的定义求出,再根据复数模的定义求得模.‎ ‎【详解】由得,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数相等的概念,考查求复数的模.掌握复数相等的概念是解题关键.‎ ‎3.函数的部分图象大致为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数的奇偶性,排除两个,再由时,,又排除一个,从而得正确选项.‎ ‎【详解】,是奇函数,排除A.B,‎ 时,,排除C,只有D可选.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象,可用排除法,先确定函数的奇偶性,再确定函数值的变化趋势,特别是时,函数值的变化趋势.‎ ‎4.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )‎ - 23 -‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.‎ ‎【详解】因为, ‎ 所以将其图象向左平移个单位长度,‎ 可得,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题,涉及到的知识点有辅助角公式,诱导公式,图象的平移变换的原则,属于简单题目.‎ ‎5.等比数列的前项和为,公比为,若,,则( )‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分析可得等比数列的公比,进而由等比数列的通项公式可得,解可得,又由,解可得的值,即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,等比数列中,若,则,‎ - 23 -‎ 若,则,解可得,则,‎ 又由,则有,解可得;‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用,关键是掌握等比数列的前项和的性质.‎ ‎6.射线测厚技术原理公式为,其中分别为射线穿过被测物前后的强度,是自然对数的底数,为被测物厚度,为被测物的密度,是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为( )‎ ‎(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,,结果精确到0.001)‎ A 0.110 B. 0.112 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知,,代入公式,求出即可.‎ ‎【详解】由题意可得,因为,‎ 所以,即.‎ 所以这种射线的吸收系数为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程;属于中档题.‎ ‎7.平面α∥平面β的一个充分条件是(  )‎ A. 存在一条直线a,a∥α,a∥β B. 存在一条直线a,a⊂α,a∥β C. 存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α - 23 -‎ D. 存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面相交或平行.故A不对;‎ 对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面相交或平行,故B不对;‎ 对于C,两个平面中的两条直线若平行,不能保证两个平面平行,故C不对;‎ 对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.‎ ‎8.设函数的导函数为,且,则曲线在点(4,f(4))处切线的倾斜角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数,从而先求出得函数解析式,得导函数,然后可求得切线斜率.‎ ‎【详解】由得,∴,,‎ ‎∴,,,斜率为1,倾斜角为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义 ,解题关键求出导函数,求出.‎ ‎9.已知函数的图象关于直线对称,若,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 利用是函数的最值求得参数,然后再确定的性质.‎ ‎【详解】由题意,解得,‎ ‎∴,.‎ ‎,,‎ ‎∵,∴中一个取值1一个取值,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质,考查三角函数的最值、周期、对称性等.正弦函数的性质:过正弦函数图象的最高点或者最低点与边垂直的直线是其对称轴.即对称轴对应的函数值是最值.‎ ‎10.中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 总共有10种结果,其中相生的有5种,由古典概型的计算公式计算出概率即可 ‎【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种,共种,‎ 而相生的有5种,则抽到的两种物质不相生的概率 故选:D ‎【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率,较简单.‎ ‎11.已知是抛物线的焦点,是轴上一点,线段与抛物线相交于点,若,则( )‎ - 23 -‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的坐标,点的坐标,根据向量关系解方程即可得解.‎ ‎【详解】由题意得点的坐标为,设点的坐标,点的坐标,‎ 所以向量:,,‎ 由向量线性关系可得:,,解得:,‎ 代入抛物线方程可得:,则,‎ 由两点之间的距离公式可得:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】此题考查根据直线与抛物线的交点构造向量关系求解参数,考查基本运算.‎ ‎12.已知正方体,过对角线作平面交棱于点E,交棱于点F,则:‎ ‎①平面分正方体所得两部分的体积相等;‎ ‎②四边形一定是平行四边形;‎ ‎③平面与平面不可能垂直;‎ ‎④四边形的面积有最大值.‎ 其中所有正确结论的序号为( )‎ A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 根据正方体的性质对每个命题进行判断.结合排除法可选正确结论.‎ ‎【详解】截面上方几何体分割成四棱锥四棱锥,四棱锥,三棱锥,截面下方几何体对称的也是三个棱锥,对应体积相等(特殊位置截面更容易得此结论),①正确,排除B;‎ 由正方体相对两个面平行,根据面面平行的性质定理知四边形的两组对边平行,从而是平行四边形,②正确,排除A;‎ 当是中点,是中点,这时可证平面(先证),从而平面与平面垂直,③错误,排除D,‎ 只有C可选了.‎ 事实上,四边形即有最大值也有最小值.与(或)重合时面积最大,是中点时,面积最小.‎ 设,正方体棱长为1,,,,,‎ 在中,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以或1时,取得最大值.④正确.‎ 故选:C.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查正方体的截面的性质.解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系.如果空间想象能力丰富,结论易得,由正方体对称性,①正确,从运动角度考虑,当从运动到时,截面面积发生变化,这是一个有限的连续过程,其中必有最大值和最小值.④正确,②③易于从面线面关系说明.‎ 二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.的展开式中项的系数是____________‎ ‎【答案】420‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用多项式乘法法则确定项的系数,‎ ‎【详解】由题意展开式中项的系数是.‎ 故答案为:420.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用,求多项式展开式中某一项系数,可能利用多项式乘法法则,结合组合的知识求解.‎ ‎14.已知实数满足则取得最大值的最优解为_________.‎ ‎【答案】(4,2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先作出不等式组表示的可行域,然后利用z的几何意义,作出直线,向上平移直线到最高点,此时目标函数取得最大值,求出此时直线与可行域的交点坐标即可 ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示:‎ 作出直线如图所示,向上平移直线,当经过点A时,目标函数取得最大值,所以点A所对的坐标即为所求的最优解.‎ - 23 -‎ 联立方程,解方程组得,即点A坐标为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题;利用z的几何意义和数形结合的思想是求解本题的关键;属于中档题.‎ ‎15.设数列的前n项和为,且,则数列的前10项的和是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用得出数列的递推关系,变形后求出,然后用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】由题意,时,,‎ ‎,即,‎ ‎∴数列是等差数列,公差为2,首项为1,∴,,‎ ‎,‎ - 23 -‎ ‎∴数列的前10项的和为.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题考查由数列与的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和.掌握关系式是解题关键.‎ ‎16.已知函数,,若与的图象上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数关于直线的对称函数,令与的图象有交点得出的范围即可.‎ ‎【详解】关于直线对称的直线为,‎ ‎∴直线与在上有交点,‎ 作出与函数图象,如图所示:‎ 若直线经过点,则,若直线与相切,‎ - 23 -‎ 设切点为,则,解得.‎ ‎∴,故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的对称问题解法,注意运用转化思想,以及零点与函数图象的关系,导数的几何意义,属于中档题.‎ 三.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共 60 分.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C的对边分別为a,b,c,若.‎ ‎(1)求a;‎ ‎(2)已知点M在边BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面积.‎ ‎【答案】(1)2;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由平方关系求出,由二倍角公式求得,由正弦定理求得;‎ ‎(2)用诱导公式求出,由正弦定理求出,用三角形内角平分线定理求出,由三角形面积公式计算即得.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ - 23 -‎ ‎∴,,‎ 由得;‎ ‎(2),∴,∴,‎ 由(1),‎ ‎.‎ 由正弦定理得.‎ 又平分,∴,又,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理,考查三角形面积公式,考查三角函数的恒等变换.掌握正弦定理是解题关键.‎ ‎18.如图,已知三棱柱中,平面平面,,.‎ - 23 -‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设,,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连结.由菱形得对角线垂直,再由已知及面面垂直的性质定理得线面垂直平面,平面,从而,于是证得线面垂直后再得线线垂直;‎ ‎(2)取的中点为,连结,证得与都垂直后,以为原点,为正方向建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面的法向量,则法向量夹角得二面角,注意要判断二面角是锐角还是钝角.‎ ‎【详解】(1)连结.‎ ‎∵,四边形为菱形,∴.‎ ‎∵平面平面,平面平面,‎ 平面,,‎ ‎∴平面.‎ 又∵,∴平面,∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴平面,而平面,‎ - 23 -‎ ‎∴ ‎ ‎(2)取的中点为,连结.‎ ‎∵,四边形为菱形,,∴,.‎ 又由(1)知,以为原点,为正方向建立空间直角坐标系,如图.‎ 设,,,,‎ ‎∴(0,0,0),(1,0,),(2,0,0),(0,1,0),(-1,1,).‎ 由(1)知,平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为,则,∴.‎ ‎∵,,∴.‎ 令,得,即.‎ ‎∴,‎ ‎∴二面角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直,考查用空间向量法求二面角.立体几何中证明垂直时,线线垂直,线面垂直,面面垂直常常是相互转化,判定定理与性质定理要灵活应用.在有垂直的情况下常常建立空间直角坐标系,用向量法求空间角.‎ ‎19.已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)设不经过点的直线与曲线相交于两点.若直线与的斜率之和为1,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)(2)3‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设P,A,B的坐标,由坐标化可得变量间的关系,再由,求出曲线的方程 .‎ ‎(2)设直线的方程及和坐标,由直线与圆锥曲线联立,利用韦达定理、 根的判别式、直线的斜率,结合已知条件能求出定点的坐标以及此常数 .‎ ‎【详解】解:(1)设.‎ ‎,,即.‎ ‎.‎ 又,.从而.‎ 曲线的方程为.‎ ‎(2)设.‎ 联立,消去,得.‎ 由,可得.‎ 又直线不经过点,且直线与的斜率存在,‎ ‎.,且.‎ ‎,.‎ ‎,‎ - 23 -‎ ‎.‎ 解得.‎ 的值为3.‎ ‎【点睛】本题考查曲线方程的求法, 考查满足条件的轴上的定点是否存在的判断与求法, 考查椭圆、 直线方程、 根的判别式、 韦达定理等基础知识, 考查函数与方程思想, 考查运算求解能力, 是中档题 .‎ ‎20.某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)选择延保方案二较合算 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,分别求出对应的概率,列出分布列即可;(Ⅱ)求出两种方案下所需费用的分布列,然后分别求出对应的期望值,比较二者的大小即可选出最合算的方案.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,‎ ‎,,‎ - 23 -‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎∴的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)选择延保一,所需费用元的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (元).‎ 选择延保二,所需费用元的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(元).‎ ‎∵,∴该医院选择延保方案二较合算.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查了概率的计算,考查了期望的求法,属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎21.已知函数 ‎(1)若在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.‎ ‎(2)证明:‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)构造函数,要求在上的最小值即得;‎ ‎(2)由(1)时有,且当时,,‎ 令,,得个不等式,相加后即证.‎ ‎【详解】(1)设,‎ ‎,‎ ‎,即时,恒成立,在上是增函数,‎ ‎∴,∴满足题意,‎ 时,有两个不等实根,,,‎ 不妨设,则,‎ 当时,,递减,时,,递增,‎ ‎∴在时,,‎ ‎,又,,‎ ‎∴,‎ 令,,‎ - 23 -‎ ‎∴在上递减,‎ ‎∴,在上不恒成立,‎ 综上,.即的取值范围是.‎ ‎(2)由(1)时,,且当时,,‎ 令,则有,‎ ‎∴,,‎ 这个不等式相加得,‎ 整理得.证毕.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题,用导数证明不等式,不等式恒成立问题常常转化为研究函数的最值,为了研究导函数的正负,可能对导函数(或其中一部分构成的新函数)再求导,确定正负,确定单调性.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(k为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)..(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)联想二倍角公式化弦为切的结构特征,即 - 23 -‎ ‎,结合,所以将参数方程化为,即可化为普通方程;‎ 展开,,代入,即可化为直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)将椭圆方程化为参数方程,利用辅助角公式,结合余弦函数的有界性,即可得出结论.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ),平方后得,‎ 又,的普通方程为.‎ ‎,即,‎ 将,代入即可得到.‎ ‎(Ⅱ)将曲线C化成参数方程形式为(为参数),‎ 则,其中 所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化,注意消参方法,考查极坐标方程化直角坐标方程,应用参数方程求点到直线距离的范围,属于中档题.‎ ‎23.设函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)对任意,恒有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎(1)由绝对值不等式的解法,当,分三种情况讨论,求解不等式即可得解;‎ ‎(2)由绝对值不等式的三角不等式性质可得,‎ 再转化为恒成立,再分和讨论即可得解.‎ ‎【详解】解:(1)当时,,‎ 则等价于或或,‎ 解得或,‎ 所以的解集为.‎ ‎(2)由绝对值不等式的性质有:,由恒成立,有恒成立,‎ 当时不等式显然恒成立,‎ 当时,由得,‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质,主要考查了不等式恒成立问题,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属中档题.‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎