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- 2021-06-10 发布
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湖南省常德市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷
时量:120分钟 满分:150分 命题单位
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
2. 函数y=2log4(1-x)的定义域为( )
A. (-∞,1) B. (-∞,2) C. (1,+∞) D. (2,+∞)
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A. y= B. y=x+1 C. y=-x2+1 D. y=lg x
4. 设甲、乙两地的距离为a(a>0),小明骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小明从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
5. 设a=0.60.4,b=log0.46,c=log0.60.4,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
6. 方程lg x+x=3的解所在区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
7. 用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球体
8. 对于空间中的两条直线m,n和一个平面α,下列结论正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m⊥α,n⊥α,则m⊥n
9. 若过点M(-2,m),N(m,4)的直线与直线x-y + 5=0平行,则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
10. 如果A·C > 0且B·C < 0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1. 体已知两个球的表面积之比为1∶9,则这两个球的体积之比为( )
A.1∶ B.1∶3 C.1∶9 D.1∶27
2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π C.8π D.10π
二、填空题:本大题共4小题.每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.
3. 计算: × 100= .
4. 若直线x-y-=0的倾斜角为α,则α= .
5. 如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
6. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式为V=l2h。该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π取近似值得到的。则根据你所学知识,该公式中π取的近似值为______.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内.
7. (本小题满分10分)
设集合A={x | lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 };B={x | },求.
8. (本小题满分12分)
已知幂函数ƒ(x) =的图像过点(2,4)
(1)求函数ƒ(x) 的解析式;
(2)设函数h(x)=2ƒ(x)–k x–1在[-1,1]是单调函数,求实数k的取值范围。
1. (本小题满分12分)
如图,AB是⊙O的直径,PA⊥⊙O所在的平面,C是圆上一点,
∠BAC = 60°,PA = AB.
(1) 求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2) 求直线PC与平面ABC所成角的正切值。
2. (本小题满分12分)
已知不经过原点的直线m在两坐标轴上的截距相等,且点P(2,2)在直线m上;
(1) 求直线m的方程;
(2) 过点P作直线n,若直线n,m与x轴围成的三角形的面积为2,求直线n的方程。
1. (本小题满分12分)
如图,已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)若A′A=2,求三棱柱ABC-A′B′C′的体积;
(2)证明:MN∥平面AA′C′C;
(3)请问当A′A为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论。
2. (本小题满分12分)
在海上进行工程建设时,一般需要在工地某处设置警戒水域;现有一海上作业工地记为点E,在一个特定时段内,以点E为中心的1海里以内海域被设为警戒水域,点E正北4海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距10海里的位置B,经过12分钟又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距2海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点E与船的距离小于1海里即为进入警戒水域),并说明理由。
数学 参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
D
C
D
C
A
D
D
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分)
13. - ; 14. 30°; 15. 1:47 ; 16. 3
三、解答题 (参考答案,仅供参考,其它解法,酌情计分)
17.【解析】解:因为 lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 的解为x=3(x=-2舍去)
所以A={3 } .............................................................(4分)
又因为的解为x=
所以B={} ........................................................(8分)
所以={3, } ...............................................(10分)
18. 【解析】解:(1)因为ƒ(x)= 的图像过点(2,4)
所以=4 则α=2
所以函数ƒ(x)的解析式为:ƒ(x)= .................(5分)
(2) 由(1)得h(x)=2x2 -k x–1,
所以函数h(x)的对称轴为 x= .............(8分)
若函数h(x)在[-1,1]是单调函数
则 ≤-1或 ≥1
即k≤-4或k≥4
所以实数k的取值范围为(-∞,-4][4,+∞).........(12分)
18. 【解析】解:(1)证明:∵AB是直径
∴∠ACB = 90°,即BC⊥AC ..........(2分)
又∵PA⊥⊙O所在的平面
BC在⊙O所在的平面内
∴PA⊥BC ........(4分)
∴BC⊥平面PAC
又BC平面PBC
∴平面PBC⊥平面PAC ........(6分)
(2)∵PA⊥平面ABC
∴直线PC与平面ABC所成角即∠PCA ........(8分)
设AC = 1,∵∠BAC = 60°∴∠ABC = 30°
∴PA = AB = 2
∴tan∠PCA = = 2 ........(12分)
20.【解析】解:(1)因为直线m在两坐标轴上的截距相等
设直线m: =1
将点P(2,2)代入方程,得=4
所以直线m的方程为x+y-4=0 .......(6分)
(2) ①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,
直线m,直线n和x轴围成的三角形的面积为2,
则直线m的方程为x=2符合题意; ..........(8分)
②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;
③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,
得x=2-,由(1)得直线m交x轴(4,0),
依题意有×|(2-)-4|×2=2,即|(2-)-4|=2,
解得k=-,所以直线m的方程为y-2=-(x-2),
即x+2y-6=0.
综上,直线m的方程为x+2y-6=0或x=2. ......(12分)
21.【解析】解:(1)∵三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面
且AB=AC=2,∠BAC=90°,A′A=2
∴由三棱柱体积公式得:V=×2×2×2=4 ... .......( 3分)
(2)证明 (方法一)取A′B′的中点E,连接ME,NE,
∵M,N分别为A′B和B′C′的中点,
∴NE∥A′C′,ME∥AA′.
∵A′C′⊂平面AA′C′C,A′A⊂平面AA′C′C,
∴ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,
又ME∩NE=E,
∴平面MNE∥平面AA′C′C,
∵MN⊂平面MNE,∴MN∥平面AA′C′C. .......(7分)
(方法二)连接B′A,AC,说明M在B′A上,证明MN∥AC;
即可证得MN∥平面AA′C′C.
(3)连接BN,设AA′=a,
则由题意知BC=2, NC=BN,
∵三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,
∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,
∵AB=AC,∴A′B′=A′C′,又点N是B′C′的中点,
∴A′N⊥平面BB′C′C,∴CN⊥A′N.
要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可, .......(10分)
又∵NC=BN,∴NC=BN=AA′= a
∴NC2+BN2=BC2,即2( a)2=(2)2,
∴a=,则AA′=时,CN⊥平面A′MN. .......(12分)
22.【解析】解:(1)如图建立平面直角坐标系:设一个单位长度为1海里
则坐标平面中AB = 10,AC = 2 A(0,0),E(0, -4)
再由方位角可求得:B(5,5),C(3,) .....( 3分)
A
BA
CA
E
所以|BC| = = 2
又因为12分钟=0.2小时
则V=2÷0.2=10(海里/小时)
所以该船行驶的速度为10海里/小时 .....( 6分)
(2)直线BC的斜率为k= = 2
所以直线BC的方程为:y- = 2(x-3)
即2x-y-5 =0 .....(9分)
所以E点到直线BC的距离为 = < 1
即该船不改变航行方向行驶时离E点的距离小于1海里,
所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 .....(12分)