2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题18 函数、不等式恒成立问题（练）（解析版） 9页

专题18 函数、不等式中恒成立问题 ‎1．【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】存在，使得，即有，‎ 化为，可得，即，‎ 由，可得.则实数的最大值是.‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.‎ ‎2.【2018年天津卷】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+)，f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】［，2］‎ ‎【解析】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.‎ ‎3.(2017天津)已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解法一 函数的图象如图所示，‎ 当的图象经过点时，可知．当的图象与的图象相切时，‎ 由，得，由，并结合图象可得，‎ 要使恒成立，当时，需满足，‎ 即，当时，需满足，所以．‎ 解法二 由题意时，的最小值2，所以不等式等价于在上恒成立．‎ 当时，令，得，不符合题意，排除C、D；当时，令，得，不符合题意，排除B；选A．‎ ‎4.【2015高考新课标1】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是( )‎ ‎(A)[-，1) (B)[-，) (C)[，) (D)[，1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过(1,0)斜率且，故 ‎，且，解得≤＜1. ‎ ‎5.【2017天津，】设，.已知函数，.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线，‎ ‎(i)求证：在处的导数等于0；‎ ‎(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)递增区间为，，递减区间为.(2)(ⅰ)在处的导数等于0.(ⅱ)的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎(II)(i)因为，由题意知，‎ 所以，解得.‎ 所以，在处的导数等于0.‎ ‎(ii)因为，，由，可得.‎ 又因为，，故为的极大值点，由(I)知.‎ 另一方面，由于，故，‎ 由(I)知在内单调递增，在内单调递减，‎ 故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.‎ 由，得，.‎ 令，，所以，‎ 令，解得(舍去)，或.‎ 因为，，，故的值域为.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎2.练模拟 ‎1. 【江西省新八校2020届高三联考】若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】……①，……②，‎ 联立①②，解得，则，，，切线方程为：，即.‎ ‎2、【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由恒成立得恒成立，设，则.‎ 设，则恒成立，在上单调递减，‎ 又，当时，，即；‎ 当时，，即，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，.‎ ‎【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.‎ ‎3.【广东省佛山市顺德区2020届高三检测】已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得 ‎，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．‎ ‎4.在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2‎ ‎＋a＋1≥0恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)≤0，解得－≤a≤.‎ ‎5.【山东省济南第一中学2020届高三上学期期中】已知函数 .‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)对任意的， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)单调递增区间是，单调递减区间是和. (Ⅱ)‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)对任意的， 恒成立，等价于恒成立. 令，所以，令，可证得在上单调递增. 所以，即可求出的取值范围.‎ 试题解析：(Ⅰ)因为， 所以， 所以 ‎ 令，即，所以令，即，所以 ‎ 所以在上单调递增，在和上单调递减. ‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是和. ‎ ‎(Ⅱ)因为，所以因为所以对任意的， 恒成立，即恒成立. 等价于恒成立. 令，所以令，所以所以当时， 所以在上单调递增. 所以所以当时， 所以在上单调递增. ‎ 所以所以 ‎3.练原创 ‎1.【山东省新泰市第一中学2019届高三上学期第二次检测】对任意，不等式 恒成立，则下列不等式错误的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，则，‎ ‎∵，∴，即在上为增函数，‎ 由，即，即，故A正确；‎ ‎，即，即，故B正确；‎ ‎，即，即，故C正确；‎ 由，即，即，即，故错误的是D．‎ ‎2. 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使在R上恒成立，即在R上恒成立。‎ ‎(1)时， 成立 ‎(2)时，，‎ 由(1)、(2)可知，‎ ‎3. 当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】=，则的图象为右图所示的抛物线，要使对一切， <恒成立即的图象一定要在的图象所的下方，显然，并且必须也只需，故.‎ ‎4. 设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是增函数对于任意恒成立 对于任意恒成立 对于任意恒成立，令，，所以原问题，又即 易求得.‎ ‎5、已知函数，，.‎ ‎(1)求函数的极值点；(2)若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)极大值点为，无极小值点.(2).‎ ‎【解析】(1)的定义域为，，‎ 当时，，所以在上单调递增，无极值点；‎ 当时，解得，解得，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，为，无极小值点.‎ ‎(2)由条件可得恒成立，则当时，恒成立，‎ 令，则，令，‎ 则当时，，所以在上为减函数.‎ 又，所以在上，；在上，.‎ 所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以.‎ ‎【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.‎